تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 25 kNP2​ = 35 kNABCRA​ = ?5 m2 m3 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 7 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 7 mAC = 10 mP1 = 25 kN عند 5 mP2 = 35 kN عند 10 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
P = 75 kN, 50°Q = 55 kNABα = ?2 m5 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2 m من A، مائلًا بزاوية 50° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 7 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.

L = 8 mP = 75 kN عند 2 m, θ = 50°Q = 55 kN عند 7 m
α = °
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 20 kNP2​ = 60 kNABC1 m7 m1 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9 mP1 = 20 kN عند 1 mP2 = 60 kN عند 9 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m
Mx = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mP = 80 kNAB1 m7 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 8 mP = 80 kN عند 1 mw = 10 kN/m من 0 إلى 8 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH10 kN40 kN30 kN30 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB35 kN30 kN4 m3 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 30 kN →
FAB = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 5 kN/mδL = 3 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 2,5 kN/mABδ4 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm
hreq = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 md = 40 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 40 kNL = 1 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = −7,857 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·7 = 25·5 + 35·10
RB = 475/7 = 67,86 kN

الاتزان الرأسي

RA = 25 + 35 − 67,86 = −7,857 kN

الإجابة

RA = −7,857 kN

RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: α = 46,02 °

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

Pv = 75·sin 50° = 57,45 kN
Ph = 75·cos 50° = 48,21 kN

ردود الأفعال

ΣMA = 0: RB·8 = 57,45·2 + 55·7 → RB = 62,49 kN
Ay = 57,45 + 55 − 62,49 = 49,96 kN
Ax = Ph = 48,21 kN

الاتجاه عند A

α = atan(Ay/Ax) = atan(49,96/48,21) = 46,02°

الإجابة

α = 46,02°
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 10 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 60·9
RB = 560/8 = 70 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 70 = 10 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·1 = 10·1 = 10 kN·m

الإجابة

Mx = 10 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 125 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 80·1 + 10·8·4
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 160 − 50 = 110 kN

أين يكون V = 0؟

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (110 − 80)/10 = 3 m

أقصى عزم

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 125 kN·m

الإجابة

Mmax = 125 kN·m

يقع عند x = 3 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 76,67 kN (T), DE: 76,67 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 95,83 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 37,5 kN (T), HC: 29,17 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = 11,27 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB35 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 30·2 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 41,25 = −6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−6,25/0,5547 = 11,27 kN

الإجابة

FAB = 11,27 kN (شدّ)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 3,995 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,995 mm

الإجابة

δmax = 3,995 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: hreq = 165,7 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,682 × 10⁷/150)1/3 = 165,7 mm

الإجابة

hreq = 165,7 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 3,876 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·4000 = 8000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3,876 kN

الإجابة

Pcr = 3,876 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 55,42 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 55,42 mm

الإجابة

d = 55,42 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 144,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis