ورقة عمل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مع الإجابات

لكثير الحدود المميِّز Q(s) = s³ + 5s² + 3s + 13، أوجد عنصر العمود الأول b₁ في الصف s¹ من جدول راوث.

المعادلة المميِّزة لحلقة مغلقة هي s³ + a·s² + 4s + 32 = 0. أوجد قيمة a التي يكون النظام فوقها مستقرًا.

لحلقة المخطط دالة نقل الحلقة المفتوحة L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8)). يُرفع الكسب حتى تصبح الحلقة المغلقة على حافة الاستقرار. أوجد تردد ω التذبذب المستمر.

لحلقة تغذية عكسية وحدوية L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 5)) مع K > 0. أوجد أكبر كسب K_max تكون الحلقة المغلقة عنده مستقرة.

يغادر المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8)) المحور الحقيقي بين s = 0 وs = −6. أوجد نقطة الانفصال s_b.

رُسم المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/((s + 2)(s + 10)). أوجد الكسب K عند نقطة الانفصال s_b حيث يلتقي قطبا الحلقة المغلقة على المحور الحقيقي.