ورقة عمل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مع الإجابات

المعادلة المميِّزة لحلقة مغلقة هي s³ + a·s² + 3s + 6 = 0. أوجد قيمة a التي يكون النظام فوقها مستقرًا.

كثير الحدود المميِّز لنظام تغذية عكسية هو Q(s) = s⁴ + s³ + 5s² + 15s + 12. ابنِ جدول راوث وأوجد عدد الجذور N لـ Q(s) الواقعة في النصف الأيمن من المستوى.

للمحطة G(s) = (s + 5)/((s − 4)(s + 5)) قطب غير مستقر عند s = 4. يغلق كسب تناسبي K حلقة تغذية عكسية وحدوية حولها. أوجد أصغر كسب K_min يجعل الحلقة المغلقة مستقرة.

لحلقة تغذية عكسية وحدوية L(s) = K(s + 10)/(s(s + 3)(s + 4)) مع K > 0. أوجد أكبر كسب K_max تكون الحلقة المغلقة عنده مستقرة.

رُسم المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/(s(s + 8)). أوجد الكسب K الذي تكون عنده نسبة التخميد لأقطاب الحلقة المغلقة ζ = 0,3.

لـ L(s) = K/((s + 5)(s² + 4s + 13))، أوجد زاوية المغادرة θ_d للمحل الهندسي للجذور من القطب المركّب في النصف العلوي من المستوى، مقيسة من المحور الحقيقي الموجب.