Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Bestimme den Grenzwert L = limx→∞ (1 + 2/x)2x. Gib einen Dezimalwert an.
Bestimme den Grenzwert L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².
Gegeben ist f(x) = x·sin(3x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(0,5).
Gegeben ist f(x) = x3 − 12x2 + 45x + 5. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.
Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 1000 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die Höhe h der Dose, bei der am wenigsten Material verbraucht wird.
Ein kleines Unternehmen verkauft sein Produkt zu einem festen Marktpreis von 70 € pro Stück. Die Produktion von q Stück kostet C(q) = 700 + 48q + 0,1q² Euro. Bestimme den maximalen Gewinn P.
Berechne I = ∫₀1 x·cos x dx (x im Bogenmaß).
Berechne I = ∫₀0,5 x²·eˣ dx.
Antwort: L = 54,6
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
ln(1 + u)/u → 1 für u → 0, also x·ln(1 + a/x) → a.
Antwort: L = 0,5
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
Antwort: f′(0.5) = 1,104
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Antwort: x = 3
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
f″(x) = 6x − 24: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.
Antwort: h = 10,84 cm
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, also ist das ein Minimum.
Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.
Antwort: P = 510 €
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
P″(q) = −0,2 < 0, also ist das ein Maximum.
Antwort: I = 0,3818
Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.
Antwort: I = 0,0609
Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.
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