Analysis 1: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Ableitungen und Integrale: die Ableitungsregeln, Anwendungen wie Tangenten und Optimierung sowie die wichtigsten Integrationstechniken.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Grenzwertedirektes Einsetzen und Faktorisieren · Grenzwerte im Unendlichen · Regel von L'HôpitalRechenaufgaben
  2. AbleitungenPotenzregel · Ketten- und Produktregel · Tangenten und ExtremaRechenaufgaben
  3. Optimierungmaximaler Flächeninhalt oder maximales Volumen · minimale Kosten oder minimaler Materialverbrauch · Gewinn und UmsatzRechenaufgaben
  4. IntegralePolynome · Exponential, Logarithmus und Substitution · Flächen zwischen KurvenRechenaufgaben

Prüfungstipps für Analysis 1

  • Schreibe die Kettenregel vollständig aus: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
  • Prüfe ein Integral, indem du dein Ergebnis ableitest.
  • Bei einem bestimmten Integral ändert eine Substitution auch die Grenzen.

Beispielaufgaben

GrenzwerteLeicht
xyx = 1

Bestimme den Grenzwert L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Gesucht: L

Tipps anzeigen
  1. Einsetzen ergibt 0/0. Faktorisiere den Zähler.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Direktes Einsetzen versuchen

Zähler → 0 und Nenner → 0, also liegt die Form 0/0 vor.

Faktorisieren und kürzen

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Einsetzen

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwort

L = 4

Das ist die Ableitung von xⁿ an der Stelle x = a: n·aⁿ⁻¹.

AbleitungenMittel
xyx = 1

Gegeben ist f(x) = x3·e−x. Bestimme f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gesucht: f′(1)

Tipps anzeigen
  1. Produktregel mit u = x3 und v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Einsetzen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwort

f′(1) = 0,7358

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Ableitungsrechner mit RechenschrittenIntegralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)

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