Grenzwerte: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Grenzwertberechnung · Regel von L’Hospital
Kostenlose Übungsaufgaben zu Grenzwerte mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: direktes Einsetzen und Faktorisieren, Grenzwerte im Unendlichen, Regel von L'Hôpital.
Grenzwerte von Grund auf lernen
1Was ein Grenzwert ist
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn x sich einer Zahl nähert. Was genau an dieser Zahl geschieht, spielt keine Rolle.
Nimm f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Bei x = 1 erhältst du 0/0, das keinen Wert hat. Du kannst aber Zahlen nahe 1 ausprobieren.
- x = 0,9 ergibt f = 1,9.
- x = 0,99 ergibt f = 1,99.
- x = 1,01 ergibt f = 2,01.
Die Werte kommen 2 immer näher. Wir schreiben:
limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
Der Graph ist eine Gerade mit einem fehlenden Punkt, einer Lücke bei (1, 2). Der Grenzwert ist die Höhe der Lücke.
Selbsttest Eine Funktion g liefert g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 und g(3,01) = 6,01. Sie ist bei x = 3 nicht definiert. Wie groß ist der Grenzwert für x → 3?
- 3
- 5,99
- 6
- Er existiert nicht, weil g(3) nicht definiert ist
Antwort: 6. Die Werte nähern sich von beiden Seiten 6, der Grenzwert ist also 6. Ein Grenzwert betrachtet nur Werte nahe x = 3, nie x = 3 selbst.
2Einsetzen, 0/0 und Faktorisieren
Versuche immer zuerst das direkte Einsetzen: Setze die Zahl ein. Erhältst du eine gewöhnliche Zahl, ist das der Grenzwert.
limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10
Erhältst du 0/0, bist du noch nicht fertig. 0/0 heißt unbestimmter Ausdruck: Es ist ein Signal zum Vereinfachen, keine Antwort.
Meist haben Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor, der an dieser Stelle null ist. Faktorisiere beide, kürze den gemeinsamen Faktor und setze dann erneut ein.
(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3
Der Grenzwert für x → 3 ist also 3 + 3 = 6. Nützliche Faktorisierungsmuster:
- x² − a² = (x − a)(x + a)
- x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
- x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
- Ein quadratischer Term wie x² − x − 30 zerfällt in (x − 6)(x + 5): Suche zwei Zahlen, deren Produkt −30 und deren Summe −1 ist.
Bei einer Wurzel multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.
Selbsttest Was ist limx→2 (x² − 4)/(x − 2)?
- 0
- 2
- 4
- Er existiert nicht, weil man 0/0 erhält
Antwort: 4. Einsetzen ergibt 0/0, also faktorisiere: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, und das ist 4 bei x = 2. Bei 0/0 aufzuhören ist der Fehler hinter „existiert nicht“.
3Grenzwerte im Unendlichen und die Regel von L’Hôpital
x → ∞ bedeutet, dass x ohne Ende wächst. Bei einem Bruch aus Polynomen zählen nur die höchsten Potenzen, wenn x riesig ist.
Teile jeden Term durch die höchste Potenz von x im Nenner. Terme wie 4/x und 7/x² gehen gegen 0.
(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
- Gleiche höchste Potenz in Zähler und Nenner: Der Grenzwert ist das Verhältnis der führenden Koeffizienten.
- Höhere Potenz im Nenner: Der Grenzwert ist 0.
- Höhere Potenz im Zähler: Der Bruch wächst ohne Ende, es gibt also keinen endlichen Grenzwert.
Bei √(x² + 6x) − x multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck. Du erhältst 6x/(√(x² + 6x) + x), was gegen 6/(1 + 1) = 3 geht.
Regel von L’Hôpital: Ergibt das Einsetzen 0/0 oder ∞/∞, darfst du Zähler und Nenner durch ihre Ableitungen ersetzen, jeweils einzeln.
limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1
Erhältst du wieder 0/0, wende die Regel noch einmal an. Trigonometrische Grenzwerte verwenden x immer im Bogenmaß.
Selbsttest Was ist limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?
- 0
- 2
- ½
- ∞
Antwort: 2. Die höchsten Potenzen sind gleich (x²), der Grenzwert ist also das Verhältnis der führenden Koeffizienten: 4/2 = 2. ½ entsteht durch Teilen in die falsche Richtung.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Setze die Zahl ein. Eine gewöhnliche Zahl ist die Antwort.
- Erhältst du 0/0, faktorisiere Zähler und Nenner oder multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck, falls eine Wurzel vorkommt.
- Kürze den gemeinsamen Faktor und setze erneut ein.
- Gilt x → ∞, teile jeden Term durch die höchste Potenz von x und lass Terme wie a/x gegen 0 gehen.
- Funktioniert das Faktorisieren nicht (eˣ, sin, cos, ln), wende die Regel von L’Hôpital auf die Form 0/0 oder ∞/∞ an.
- Prüfe mit einer Zahl sehr nahe am Punkt, zum Beispiel x = 1,001.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielBestimme L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).
1((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0
Das ist der unbestimmte Ausdruck 0/0, du musst also zuerst vereinfachen.
28 = 2³, der Zähler ist also eine Summe von Kuben mit a = 2.
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4
Das ist erlaubt, weil x −2 nur nahekommt, also x + 2 nie genau 0 ist.
4(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5Probiere x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, das ist nahe bei 12.
Der Graph ist die Parabel x² − 2x + 4 mit einer Lücke bei (−2, 12).
6Häufige Fehler
- 0/0 als Antwort hinschreiben oder sagen, der Grenzwert existiere nicht. 0/0 heißt: erst vereinfachen.
- Die Regel von L’Hôpital anwenden, wenn das Einsetzen nicht 0/0 oder ∞/∞ ergibt.
- Die Quotientenregel in der Regel von L’Hôpital verwenden. Leite Zähler und Nenner getrennt ab.
- Im Unendlichen die ersten geschriebenen Terme statt der höchsten Potenzen vergleichen.
- Bei Grenzwerten mit sin oder cos Grad statt Bogenmaß verwenden.
Selbsttest Was ist limx→1 (x² + 1)/(x + 1)?
- 0
- 1
- 2
- Er existiert nicht
Antwort: 1. Einsetzen ergibt 2/2 = 1, eine gewöhnliche Zahl, das ist also der Grenzwert. L’Hôpital hier anzuwenden (2x/1 = 2) ist falsch, weil die Form nicht 0/0 war.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: direktes Einsetzen und Faktorisieren. Einsetzen ergibt 0/0, dann faktorisierst du und kürzt, wie im Beispiel.
- Mittel: Grenzwerte im Unendlichen. Teile durch die höchste Potenz oder verwende den konjugierten Ausdruck bei einer Wurzel wie √(x² + 4x) − x.
- Schwer: die Regel von L’Hôpital, zum Beispiel (eˣ − 1 − x)/x² oder (1 − cos 3x)/x² für x → 0. Möglicherweise brauchst du die Regel zweimal.
Eine schnelle Probe: Setze mit dem Taschenrechner eine Zahl sehr nahe am Punkt ein. Das Ergebnis sollte nahe an deiner Antwort liegen.
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