Differentialgleichungen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: DGL · gewöhnliche Differentialgleichungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Differentialgleichungen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall, Newtonsches Abkühlungsgesetz, lineare DGL erster Ordnung.
Differentialgleichungen von Grund auf lernen
Davor: Ableitungen, Integrale
1Was eine Differentialgleichung ist
Eine Differentialgleichung verknüpft eine Größe mit ihrer eigenen Änderungsrate. Sie beschreibt, wie sich etwas ändert, nicht was es ist.
Bakterien teilen sich, eine größere Kolonie wächst also schneller. Die Wachstumsrate ist proportional zur Zellzahl N:
dN/dt = k · N
Hier ist dN/dt die Ableitung von N nach der Zeit t, und k ist die Geschwindigkeitskonstante. Mit k = 0,4 h⁻¹ und N = 1000 Zellen wächst die Kolonie in diesem Moment um 400 Zellen pro Stunde.
Die Gleichung zu lösen heißt, die Funktion N(t) selbst zu finden. Du brauchst auch einen Anfangswert, etwa N(0) = 200. Das heißt Anfangsbedingung.
Selbsttest Eine Population folgt dN/dt = 0,2 · N. In diesem Moment ist N = 500. Wie schnell wächst sie?
- 0,2 pro Stunde
- 100 pro Stunde
- 2500 pro Stunde
- 500 pro Stunde
Antwort: 100 pro Stunde. Setze die Zahlen in die Gleichung ein: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. 500 durch 0,2 zu teilen ergibt 2500, das verwendet k falsch herum.
2Exponentielles Wachstum und Zerfall
Die Gleichung dy/dt = k·y hat immer dieselbe Lösung, eine Exponentialfunktion:
y(t) = y0 · ekt
Hier ist y0 der Wert bei t = 0. Ein positives k bedeutet Wachstum. Für den Zerfall lautet die Gleichung dy/dt = −k·y und die Lösung y = y0e−kt.
Radioaktiver Zerfall wird oft durch seine Halbwertszeit t½ angegeben: die Zeit, nach der die Hälfte der Substanz übrig ist. Die Geschwindigkeitskonstante folgt daraus:
k = ln 2 / t½
Um eine Zeit zu bestimmen, bilde auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus:
t = ln(y / y0) / k
Zum Beispiel erreichen 200 Zellen, die mit k = 0,4 h⁻¹ wachsen, nach t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h die Zahl 1000.
Selbsttest Eine Substanz hat eine Halbwertszeit von 10 Tagen. Du beginnst mit 80 mg. Wie viel ist nach 20 Tagen übrig?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Antwort: 20 mg. 20 Tage sind zwei Halbwertszeiten: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg entsteht durch den Gedanken, dass zwei Hälften das Ganze ergeben; die Menge halbiert sich jedes Mal.
3Abkühlung und lineare Gleichungen
Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ein heißer Körper kühlt schneller ab, wenn er viel heißer als der Raum ist. Mit der Raumtemperatur Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
Die Differenz T − Ta nimmt exponentiell ab, die Temperatur nähert sich also der Raumtemperatur und fällt nie darunter.
Um k aus einer Messung zu bestimmen, setze die bekannten Werte ein und bilde ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y′ + p(x)·y = q(x). Multipliziere sie mit dem integrierenden Faktor μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Integriere dann beide Seiten und teile durch μ. Für p = 2/x ist μ = e2 ln x = x².
Selbsttest Tee mit 90 °C wird in einem Raum mit 20 °C stehen gelassen. Welcher Temperatur nähert er sich nach sehr langer Zeit?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Antwort: 20 °C. Der Term (T0 − Ta)e−kt geht gegen 0, T nähert sich also Ta = 20 °C. 0 °C wäre die Antwort, wenn man die Raumtemperatur vergisst.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Erkenne den Typ: dy/dt = ky (Wachstum oder Zerfall), das newtonsche Abkühlungsgesetz oder y′ + p(x)y = q(x).
- Schreibe die Standardlösung für diesen Typ auf.
- Bestimme mit den gegebenen Daten die Konstanten: y0 aus dem Anfang, k aus einer Halbwertszeit oder einer zweiten Messung.
- Beantworte die Frage: Setze eine Zeit ein, um einen Wert zu finden, oder verwende ln, um eine Zeit zu finden.
- Prüfe die Einheiten von k (h⁻¹, min⁻¹) gegen die Einheiten von t.
Bei einer linearen Gleichung: Bestimme μ, integriere (μy)′ = μq, füge die Konstante C hinzu und bestimme C dann mit der Anfangsbedingung.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin radioaktiver Tracer hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Eine Probe enthält anfangs 60 mg. Der Zerfall folgt dm/dt = −k·m. Wie viel m bleibt nach 12 Tagen übrig?
1Das ist exponentieller Zerfall, die Lösung lautet also:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 Tag⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 Tage sind 1,5 Halbwertszeiten. Nach 8 Tagen sind 30 mg übrig und nach 16 Tagen 15 mg, 21,2 mg liegt also dazwischen, wie erwartet.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Antwort Nach 12 Tagen bleiben m ≈ 21,2 mg übrig.
6Häufige Fehler
- Beim newtonschen Abkühlungsgesetz vergessen, die Raumtemperatur Ta abzuziehen und wieder hinzuzufügen.
- Einen positiven Exponenten für den Zerfall verwenden, sodass die Menge wächst, statt zu schrumpfen.
- log10 statt des natürlichen Logarithmus ln verwenden.
- Zeiteinheiten mischen, etwa k in min⁻¹ mit t in Stunden.
- Bei einem integrierenden Faktor nur die linke Seite mit μ multiplizieren.
Selbsttest Ein Bauteil mit 80 °C kühlt in einem Raum mit 20 °C ab. Zu einem Zeitpunkt t ist e−kt = 0,5. Welche Temperatur hat es dann?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Antwort: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. 80 direkt zu halbieren ergibt 40 °C, das vergisst die Raumtemperatur.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: exponentielles Wachstum und Zerfall. Bestimme die Menge nach einer Zeit oder die Zeit bis zu einer Menge, oft aus einer Halbwertszeit.
- Mittel: das newtonsche Abkühlungsgesetz. Bestimme mit einer Messung k und dann eine Temperatur oder eine Zeit.
- Schwer: eine lineare Gleichung erster Ordnung wie y′ + 2y/x = 3 mit y(1) = 1. Verwende den integrierenden Faktor und bestimme y bei einem anderen x.
Eine schnelle Probe: Antworten bei Zerfall und Abkühlung müssen zwischen dem Anfangswert und dem Endwert liegen (0 oder die Raumtemperatur).
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