Beschreibende Statistik: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: deskriptive Statistik · Mittelwert · Standardabweichung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Beschreibende Statistik mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Mittelwert und Median, Standardabweichung, Normalverteilung.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme den Mittelwert x̄ der Daten: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
Die deskriptive Statistik fasst eine Liste von Zahlen, die Daten, mit wenigen Werten zusammen. Die erste Frage lautet: Wo liegt das Zentrum?
Der Mittelwert ist der gewöhnliche Durchschnitt: Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl n.
x̄ = Σx / n
Das Symbol Σ bedeutet „addiere alles auf“, und x̄ wird „x quer“ gesprochen. Für 3, 5 und 10 ist der Mittelwert 18/3 = 6.
Der Median ist der mittlere Wert, nachdem du die Daten von klein nach groß sortiert hast.
Ungerades n: Der Median ist der einzelne mittlere Wert. Für 3, 5, 10 ist er 5.
Gerades n: Der Median ist der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Ein einzelner Extremwert, ein Ausreißer, zieht den Mittelwert zu sich, bewegt den Median aber kaum. Einkommen werden deshalb oft mit dem Median zusammengefasst.
Selbsttest Wie groß ist der Median von 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Antwort: 21. Sortiert: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Die beiden mittleren Werte sind 20 und 22, also ist der Median 21. 25,5 ergibt sich, wenn man die Mitte der unsortierten Liste nimmt; 22 ist der Mittelwert.
2Die Streuung: Standardabweichung
Zwei Datensätze können denselben Mittelwert, aber eine sehr unterschiedliche Streuung haben. Die Standardabweichung s misst, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen.
Jeder Wert hat eine Abweichung x − x̄. Die Abweichungen summieren sich zu null, also quadrierst du sie zuerst, wodurch sie alle positiv werden.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Das ist die Stichproben-Standardabweichung: Du teilst durch n − 1, nicht durch n. Das Quadrat von s heißt Varianz.
Für 2, 4 und 6: Der Mittelwert ist 4, die Abweichungen sind −2, 0 und 2, die Quadrate ergeben zusammen 8, 8/2 = 4, und s = √4 = 2.
Selbsttest Wie groß ist die Stichproben-Standardabweichung von 2, 4 und 6?
0
1,633
2
4
Antwort: 2. Σ(x − x̄)² = 8, geteilt durch n − 1 = 2 ergibt 4, und √4 = 2. Teilst du durch n = 3, erhältst du 1,633; 4 vergisst die Wurzel, und 0 ist die Summe der Abweichungen vor dem Quadrieren.
3z-Werte und die Normalverteilung
Viele Messwerte, etwa Körpergrößen oder Prüfungsergebnisse, folgen einer glockenförmigen Kurve: der Normalverteilung. Ihre Mitte ist der Mittelwert μ und ihre Breite die Standardabweichung σ.
Ein z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt:
z = (x − μ) / σ
Mit μ = 70 und σ = 10 hat ein Ergebnis von 74 den Wert z = 4/10 = 0,4. Ein negatives z bedeutet, dass der Wert unter dem Mittelwert liegt.
Die 68-95-99,7-Regel: Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb von 1σ um den Mittelwert, 95 % innerhalb von 2σ und 99,7 % innerhalb von 3σ.
Mit μ = 50 und σ = 5 hat der Wert 60 den Wert z = 2. Etwa 95 % liegen zwischen 40 und 60, also liegen etwa 2,5 % über 60. Eine z-Tabelle gibt den genauen Wert 0,0228.
Selbsttest IQ-Werte sind normalverteilt mit μ = 100 und σ = 15. Etwa wie viel Prozent der Menschen erreichen mehr als 115?
16%
32%
34%
68%
Antwort: 16%. 115 liegt 1σ über dem Mittelwert. 68 % liegen innerhalb von 1σ, also liegen 32 % außerhalb, gleichmäßig auf beide Enden verteilt: 16 % darüber. 32 % vergisst, die beiden Enden aufzuteilen.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Schreibe die Daten in eine Reihe und zähle n.
Mittelwert: alles addieren und durch n teilen.
Median: zuerst sortieren, dann den mittleren Wert nehmen oder den Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Standardabweichung: von jedem Wert den Mittelwert abziehen, quadrieren, addieren, durch n − 1 teilen, die Wurzel ziehen.
z-Wert: μ abziehen, durch σ teilen. Verwende dann die 68-95-99,7-Regel oder eine z-Tabelle für einen Anteil.
Eine Tabelle mit den Spalten x, x − x̄ und (x − x̄)² hält die Berechnung der Standardabweichung übersichtlich.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme den Mittelwert, den Median und die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Der Mittelwert
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Der Median
Sortiert: 4, 5, 6, 7, 8. Bei n = 5 ist der mittlere Wert der dritte.
Median = 6
3
Abweichungen und Quadrate
Ziehe von jedem Wert den Mittelwert ab: −2, 2, 0, −1, 1. Kontrolle: Sie ergeben zusammen 0.
Quadriere sie: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Teile durch n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Wurzel ziehen
s = √2,5 ≈ 1,58
Kontrolle: Die Werte liegen 0, 1 oder 2 vom Mittelwert entfernt, ein typischer Abstand von etwa 1,6 ist also plausibel.
Antwort
Mittelwert x̄ = 6, Median 6 und s ≈ 1,58.
6Häufige Fehler
Die Mitte der Liste nehmen, ohne sie vorher zu sortieren.
Bei einer Stichproben-Standardabweichung durch n statt durch n − 1 teilen.
Die Wurzel am Ende vergessen, wodurch du die Varianz statt s erhältst.
Das Vorzeichen eines z-Werts falsch bestimmen: Ein Wert unter dem Mittelwert hat ein negatives z.
Vergessen, beim z-Wert durch σ zu teilen.
Selbsttest Prüfungsergebnisse haben den Mittelwert 70 und die Standardabweichung 10. Wie groß ist der z-Wert eines Ergebnisses von 60?
1
6
−10
−1
Antwort: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Das Ergebnis liegt unter dem Mittelwert, also ist z negativ. −10 vergisst, durch σ zu teilen.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: der Mittelwert oder der Median einer kurzen Datenliste.
Mittel: die Stichproben-Standardabweichung von fünf oder sechs Werten. Teile durch n − 1.
Schwer: die Normalverteilung. Bestimme einen z-Wert oder den Anteil der Werte über oder unter einem gegebenen Wert.
Eine schnelle Kontrolle: Mittelwert und Median liegen zwischen dem kleinsten und dem größten Wert, und s ist nie negativ.
Bestimme den Median M der Daten: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Gesucht: M
Tipps anzeigen
Sortiere die Werte vom kleinsten zum größten.
Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median der mittlere.
sortiert: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Sortieren
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Mittlerer Wert
M = 18
Antwort
M = 18
Beispiel 2Mittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Gesucht: s
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Bestimme zuerst den Mittelwert.
Quadriere jede Abweichung vom Mittelwert, addiere sie, teile durch n − 1 und ziehe die Wurzel.
x̄ = 37,71.
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Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Gesucht: P
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Rechne zuerst in einen z-Wert um.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Lies Φ(z) aus der Standardnormalverteilungstabelle ab.
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Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −2
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Antwort
P = 0,02275
Fragen und Antworten
Beschreibende Statistik: Worum geht es?
Die deskriptive Statistik fasst eine Liste von Zahlen, die Daten, mit wenigen Werten zusammen. Die erste Frage lautet: Wo liegt das Zentrum?
Der Mittelwert ist der gewöhnliche Durchschnitt: Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl n.
Beschreibende Statistik: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Was wird geübt?
Leicht: Mittelwert und Median
Mittel: Standardabweichung
Schwer: Normalverteilung
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.