Numerische Verfahren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Numerik · Newton-Verfahren · Simpsonregel · Euler-Verfahren
Kostenlose Übungsaufgaben zu Numerische Verfahren mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Nullstellen und Interpolation, Trapez- und Simpson-Regel, Euler, Heun und Runge-Kutta.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.
Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Häufige Fehler
Die falsche Hälfte des Bisektionsintervalls behalten oder sich bei den Schritten verzählen.
x − f′/f statt x − f/f′ beim Newton-Raphson-Verfahren schreiben.
Inneren Knoten bei der Trapezregel das Gewicht 1 geben oder Simpson mit einer ungeraden Anzahl von Streifen verwenden.
Iterierte zu früh runden.
Einen Euler-Schritt zu wenig oder zu viel machen, um die Endzeit zu erreichen.
Wichtige Formeln
Bisektion
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Viele Gleichungen und Integrale haben keine Formel für ihre Lösung: x = cos x, ∫e−x²dx oder die meisten Differentialgleichungen. Numerische Verfahren berechnen die Lösung Schritt für Schritt mit jeder gewünschten Genauigkeit.
Das Bisektionsverfahren findet eine Nullstelle von f(x) = 0 auf einem Intervall [a, b], auf dem f das Vorzeichen wechselt. Nimm den Mittelpunkt c = (a + b)/2 und behalte die Hälfte, in der das Vorzeichen noch wechselt.
Beispiel: f(x) = x² − 2 auf [1, 2]. c₁ = 1,5 ergibt f = 0,25 > 0, also behalte [1, 1,5]. c₂ = 1,25 ergibt f = −0,4375 < 0, also behalte [1,25, 1,5]. Dann c₃ = 1,375.
Jeder Schritt halbiert das Intervall, nach n Schritten ist es also (b − a)/2ⁿ breit. Die Bisektion ist langsam, funktioniert aber immer, sobald du einen Vorzeichenwechsel hast.
Selbsttest Die Bisektion beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Wie breit ist das Intervall nach 10 Schritten?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Antwort: 1/1024. Jeder Schritt halbiert es: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Durch 10 oder 20 zu teilen behandelt die Halbierung, als wäre sie additiv.
2Newton-Raphson
Das Newton-Raphson-Verfahren folgt der Tangente hinunter zur x-Achse und nimmt diesen Schnittpunkt als nächsten Schätzwert:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Für f(x) = x² − 2 mit f′(x) = 2x und x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. Die Nullstelle ist √2 = 1,414214.
Nahe der Nullstelle verdoppelt Newton in jedem Schritt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen. Es kann versagen, wenn f′(xₙ) nahe 0 ist oder der Start weit von der Nullstelle entfernt liegt.
Behalte in jeder Iterierten mindestens sechs Stellen; frühes Runden hindert das Verfahren daran, sich zu verbessern.
Selbsttest Ein Newton-Schritt für f(x) = x² − 5 ab x₀ = 2 ergibt …
1,75
2,25
2,2
2,5
Antwort: 2,25. f(2) = −1 und f′(2) = 4, also x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Addiert man −1/4 statt es zu subtrahieren, erhält man 1,75.
3Lineare Interpolation
Tabellen geben Werte nur an bestimmten Punkten an. Die lineare Interpolation zieht eine Gerade zwischen den beiden benachbarten Tabellenpunkten:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Beispiel: Die Tabelle gibt f(1) = 2,0 und f(2) = 2,6 an. Bei x = 1,4 ist der Anteil 0,4, also f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Die inverse Interpolation funktioniert genauso in umgekehrter Richtung: Um zu finden, wo y = 2,3 ist, beträgt der Anteil (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, also x ≈ 1,5.
4Trapezregel und Simpson-Regel
Um f von a bis b zu integrieren, teile das Intervall in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀, x₁, …, xₙ.
Die Trapezregel ersetzt die Kurve in jedem Streifen durch eine Gerade. Jeder innere Knoten gehört zu zwei Streifen und zählt daher doppelt:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Die Simpson-Regel legt Parabeln durch jeweils drei Knoten. Sie braucht ein gerades n:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Für ∫01 x² dx = 1/3 mit n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, während S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, exakt.
Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² und der der Simpson-Regel wie h⁴: Halbiert man h, wird Simpson etwa 16-mal genauer.
Selbsttest Welche Gewichte gibt die Trapezregel den Knoten x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Antwort: 1, 2, 2, 1. Die beiden Endpunkte gehören zu einem Streifen und die inneren Punkte zu zweien, also 1, 2, 2, 1 mit dem Faktor h/2. Die 4er gehören zur Simpson-Regel.
5Euler und Heun für Differentialgleichungen
Gehe für y′ = f(t, y) mit y(t₀) = y₀ mit einer Schrittweite h in der Zeit voran. Das Euler-Verfahren verwendet die Steigung am Anfang jedes Schritts:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) macht eine Euler-Vorhersage und mittelt dann die Steigungen an beiden Enden: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Der Fehler des Euler-Verfahrens ist proportional zu h, der des Heun-Verfahrens zu h². Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) verwendet vier Steigungen und ist bis h⁴ genau.
Durchgerechnetes Beispiel
Löse y′ = y, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und h = 0,1 bis t = 0,3 und vergleiche mit der exakten Lösung eᵗ.
1
Schritt 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Schritt 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Schritt 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Vergleichen
Der exakte Wert ist e0,3 = 1,349859, der globale Fehler beträgt also 0,0189. Ein Heun-Schritt von y₀ aus würde 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 gegenüber e0,1 = 1,105171 ergeben.
Antwort
y(0,3) ≈ 1,331 mit Euler; der Fehler 0,019 schrumpft ungefähr proportional zu h.
6Häufige Fehler und Prüfungsfragen
Den ersten Bisektionsmittelpunkt als Schritt 0 zählen oder die falsche Hälfte des Intervalls behalten.
x − f′/f statt x − f/f′ beim Newton-Verfahren schreiben.
Den Faktor 2 bei den inneren Knoten vergessen oder bei der Trapezregel h statt h/2 verwenden.
Die Simpson-Regel mit einer ungeraden Anzahl von Streifen verwenden.
Beim Euler-Verfahren die Steigung am Ende des Schritts verwenden oder einen Schritt zu wenig machen.
Leicht: Bisektion, Newton-Iterationen und Interpolation in einer Tabelle. Mittel: die Trapez- und die Simpson-Regel, ihr Fehler und die nötige Anzahl von Streifen. Schwer: Euler-, Heun- und Runge-Kutta-Schritte für Differentialgleichungen.
Selbsttest y′ = 2y mit y(0) = 1. Was ergibt ein Euler-Schritt mit h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Antwort: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Vergisst man den Faktor 2 in der Steigung, erhält man 1,2; 1,49 ist der exakte Wert e0,4.
Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?
b − a = 4ε = 0,0001
Gesucht: n
Tipps anzeigen
Nach n Schritten hat das Intervall die Länge (b − a)/2ⁿ.
Löse 4/2ⁿ < 0,0001, also 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Nullstellensuche und Interpolation: Das Bisektionsverfahren behält ein Intervall [a, b], auf dem f das Vorzeichen wechselt; jeder Schritt nimmt den Mittelpunkt c = (a + b)/2 und behält die Hälfte, in der das Vorzeichen noch wechselt, sodass das Intervall nach n Schritten (b − a)/2ⁿ breit ist. Das Newton-Raphson-Verfahren folgt der Tangente bis zur Achse: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); nahe einer einfachen Nullstelle verdoppelt es pro Schritt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen. Lineare Interpolation zwischen zwei Tabellenpunkten: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Bedingung
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logarithmus
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Probe
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Antwort
n = 16
Beispiel 2Mittel
Nähere ∫01,5 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Gesucht: T
Tipps anzeigen
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; die Knoten sind 0, 0,5, 1, 1,5.
Gewichte: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Die gewichtete Summe ist Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.
Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.
Viele Gleichungen und Integrale haben keine Formel für ihre Lösung: x = cos x, ∫e−x²dx oder die meisten Differentialgleichungen. Numerische Verfahren berechnen die Lösung Schritt für Schritt mit jeder gewünschten Genauigkeit.
Das Bisektionsverfahren findet eine Nullstelle von f(x) = 0 auf einem Intervall [a, b], auf dem f das Vorzeichen wechselt. Nimm den Mittelpunkt c = (a + b)/2 und behalte die Hälfte, in der das Vorzeichen noch wechselt.
Numerische Verfahren: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.
Numerische Verfahren: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Die falsche Hälfte des Bisektionsintervalls behalten oder sich bei den Schritten verzählen.
x − f′/f statt x − f/f′ beim Newton-Raphson-Verfahren schreiben.
Inneren Knoten bei der Trapezregel das Gewicht 1 geben oder Simpson mit einer ungeraden Anzahl von Streifen verwenden.
Iterierte zu früh runden.
Einen Euler-Schritt zu wenig oder zu viel machen, um die Endzeit zu erreichen.
Numerische Verfahren: Was wird geübt?
Leicht: Nullstellen und Interpolation
Mittel: Trapez- und Simpson-Regel
Schwer: Euler, Heun und Runge-Kutta
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.