Wahrscheinlichkeit: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Wahrscheinlichkeitsrechnung · Stochastik · Baumdiagramm

Kostenlose Übungsaufgaben zu Wahrscheinlichkeit mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: gleich wahrscheinliche Ergebnisse, Zählen und Gegenereignis, Binomialverteilung.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Summe ≥ 4Würfel 1Würfel 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass die Augensumme mindestens 4 ist?

2 Würfel≥ 4

Gib die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 an.

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Was du übst

  1. Leichtgleich wahrscheinliche Ergebnisse
  2. MittelZählen und Gegenereignis
  3. SchwerBinomialverteilung

Wichtige Formeln

Gegenereignis
P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Wahrscheinlichkeit von Grund auf lernen

1Was Wahrscheinlichkeit ist

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie wahrscheinlich etwas ist. 0 bedeutet, dass es nie eintritt, 1 bedeutet, dass es immer eintritt.

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, zähle sie:

P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse

Ein Beutel enthält 3 rote, 5 blaue und 2 grüne Kugeln, insgesamt 10. Ziehst du zufällig eine, ist P(blau) = 5/10 = 0,5.

Ein fairer Würfel hat 6 Seiten, also P(Sechs) = 1/6 ≈ 0,167 und P(gerade) = 3/6 = 0,5.

Eine Wahrscheinlichkeit kann auch als Prozentwert geschrieben werden: 0,5 sind 50 %. Antworten in Prüfungen sind meist Dezimalzahlen zwischen 0 und 1.

Selbsttest Ein Beutel enthält 2 rote, 8 blaue und 4 grüne Kugeln. Du ziehst zufällig eine. Wie groß ist P(rot)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Antwort: 2/14 ≈ 0,143. Es sind 2 + 8 + 4 = 14 Kugeln, und 2 sind rot: 2/14 ≈ 0,143. Die Division durch 12 zählt nur die anderen Kugeln, aber die Gesamtzahl muss auch die roten enthalten.

2Regeln zum Kombinieren von Ereignissen

  • Gegenereignis: P(nicht A) = 1 − P(A). Verwende es für „mindestens ein“-Fragen: P(mindestens ein) = 1 − P(keines).
  • Und, unabhängige Ereignisse: multiplizieren. Zwei faire Münzen ergeben P(zweimal Kopf) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Oder: P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B). Subtrahiere die Überschneidung, damit du sie nicht doppelt zählst.

Das Ziehen ohne Zurücklegen verändert den Beutel. Nachdem du eine rote Kugel entnommen hast, gibt es eine rote Kugel weniger und insgesamt eine Kugel weniger.

Bei 5 roten und 4 blauen Kugeln ist P(zweimal rot) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Um Gruppen zu zählen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, verwende Kombinationen. Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen, ist:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Hier ist n! = n · (n − 1) · … · 1. Also ist C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 Ausschüsse mit 4 Personen aus 6.

Selbsttest Ein Beutel enthält 5 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zwei, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist P(beide rot)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Antwort: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Mit 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 vergisst man, dass die erste rote Kugel nicht mehr im Beutel ist.

3Die Binomialverteilung

Manche Fragen wiederholen denselben Versuch n-mal: 5 Bauteile prüfen, 8 Antworten raten, eine Münze 3-mal werfen. Jeder Versuch ist mit der Wahrscheinlichkeit p ein Erfolg, unabhängig von den anderen.

Die Anzahl der Erfolge X folgt dann einer Binomialverteilung:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: die k Erfolge.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: die n − k Misserfolge.
  • C(n, k): die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen, in denen die Erfolge auftreten können.

Für „höchstens einer“ addiere P(X = 0) und P(X = 1). Für „mindestens einer“ verwende 1 − P(X = 0).

Selbsttest Du wirfst eine faire Münze 3-mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2-mal Kopf?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Antwort: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Vergisst man C(3, 2), erhält man 0,125: Das ist nur eine Reihenfolge, etwa KKZ, aber ZKK und KZK zählen ebenfalls.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe auf, was ein Ergebnis ist und wie viele Ergebnisse es insgesamt gibt.
  2. Übersetze die Wörter: „und“ bedeutet multiplizieren, „oder“ bedeutet addieren (minus der Überschneidung), „nicht“ bedeutet 1 − P.
  3. Berechne bei „mindestens einer“ zuerst das Gegenereignis „keiner“.
  4. Ohne Zurücklegen: Verringere die Anzahlen nach jedem Zug. Oder zähle mit Kombinationen.
  5. Wiederholte unabhängige Versuche mit festem p: Verwende die Binomialformel.
  6. Prüfe, dass die Antwort zwischen 0 und 1 liegt.

Ein Baumdiagramm hilft, wenn es mehrere Schritte gibt: entlang eines Astes multiplizieren und die Äste addieren, die du brauchst.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Beutel enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass mindestens eine davon rot ist?

1

Das Gegenereignis verwenden

„Mindestens eine rote“ hat drei Fälle: rot–rot, rot–blau und blau–rot. Das Gegenteil, „keine rote“, hat nur einen Fall: blau–blau.

P(mindestens eine rote) = 1 − P(beide blau)
2

Erster Zug

Es gibt 6 blaue Kugeln von 10.

P(erste blau) = 6/10
3

Zweiter Zug

Eine blaue Kugel fehlt, also bleiben 5 blaue Kugeln von 9.

P(beide blau) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Im Baum ist R eine rote Kugel und B eine blaue. Der fett gedruckte Ast ist blau–blau.

4

Das Gegenereignis bilden

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Antwort prüfen

Zähle mit Kombinationen: Es gibt C(10, 2) = 45 Paare, und C(6, 2) = 15 davon sind blau–blau. 15/45 = 1/3, dasselbe wie zuvor.

Die drei anderen Äste des Baums ergeben zusammen 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3, ebenfalls.

Antwort

P = 2/3 ≈ 0,667

6Häufige Fehler

  • Bei „mindestens einer“ Wahrscheinlichkeiten addieren, statt 1 − P(keiner) zu verwenden.
  • Beim Ziehen ohne Zurücklegen vergessen, die Anzahlen zu verringern.
  • Den Faktor C(n, k) in der Binomialformel vergessen.
  • Durch die falsche Gesamtzahl teilen, zum Beispiel nur durch die anderen Farben.
  • Eine Wahrscheinlichkeit über 1 oder unter 0 angeben. Das ist immer ein Zeichen für einen Fehler.
Selbsttest Du würfelst zweimal mit einem fairen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Antwort: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(keine Sechs) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Die Addition 1/6 + 1/6 ergibt 1/3, was den Fall von zwei Sechsen doppelt zählt.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Ein Zug aus einem Beutel mit farbigen Kugeln oder ein Würfelwurf.
  • Mittel: Zählen und Gegenereignisse. Ausschüsse mit C(n, k) oder zwei Züge ohne Zurücklegen.
  • Schwer: die Binomialverteilung. Genau k Erfolge oder „höchstens einer“ als P(X = 0) + P(X = 1).

Gib die Antwort als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 an, gerundet auf drei oder vier Nachkommastellen.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, aber eine Wahrscheinlichkeit fehlt. Bestimme P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Gesucht: P(X = 1)

Tipps anzeigen
  1. Alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung summieren sich zu 1.
  2. Addiere die bekannten Wahrscheinlichkeiten.
  3. P = 1 − 0,75.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Summe der bekannten Wahrscheinlichkeiten

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Fehlende Wahrscheinlichkeit

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Antwort

P(X = 1) = 0,25
Beispiel 2Mittel
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Varianz Var(X) von X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Gesucht: Var(X)

Tipps anzeigen
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Dann ist E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Varianz

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Antwort

Var(X) = 1,848
Beispiel 3Schwer
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Ein Test hat 12 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 12p = 0,3k = 5

Gesucht: P

Tipps anzeigen
  1. Das ist eine Binomialverteilung: feste Zahl unabhängiger Versuche, gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomialformel

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Antwort

P = 0,1585

Fragen und Antworten

Wahrscheinlichkeit: Worum geht es?

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie wahrscheinlich etwas ist. 0 bedeutet, dass es nie eintritt, 1 bedeutet, dass es immer eintritt.

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, zähle sie:

Wahrscheinlichkeit: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σY = |a|·σX; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Wahrscheinlichkeit: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Das ist die Summe der bekannten Wahrscheinlichkeiten. Die fehlende ist 1 minus diese Summe.
  • Die Werte sind nicht gleich wahrscheinlich: Nutze, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren.
  • E(X²) ist nicht die Varianz: Subtrahiere μ².
Wahrscheinlichkeit: Was wird geübt?
  • Leicht: gleich wahrscheinliche Ergebnisse
  • Mittel: Zählen und Gegenereignis
  • Schwer: Binomialverteilung

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