Folgen & Reihen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Folgen und Reihen · Konvergenzkriterien · Taylorreihe · Potenzreihen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Folgen & Reihen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: arithmetische und geometrische Reihen, Konvergenz und Potenzreihen, Taylor- und Maclaurin-Polynome.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
kak​12345678

Bestimme die Summe S8 der ersten 8 Glieder der geometrischen Folge 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
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Was du übst

  1. Leichtarithmetische und geometrische Reihen
  2. MittelKonvergenz und Potenzreihen
  3. SchwerTaylor- und Maclaurin-Polynome

So löst du Aufgaben zu Folgen & Reihen

  1. Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
  2. Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
  3. Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
  4. Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Häufige Fehler

  • n statt n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d oder a₁rⁿ⁻¹ verwenden.
  • Die Formel für die unendliche Summe verwenden, wenn |r| ≥ 1, oder mit dem falschen ersten Glied.
  • Auf Konvergenz schließen, nur weil die Glieder gegen 0 streben.
  • Den Grenzwert des Quotientenkriteriums invertieren: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, nicht sein Kehrwert.
  • Die Fakultäten oder die wechselnden Vorzeichen in einem Taylor-Polynom vergessen.

Wichtige Formeln

Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Folgen & Reihen von Grund auf lernen

Davor: Grenzwerte, Ableitungen

1Arithmetische und geometrische Folgen

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen a₁, a₂, a₃, … und eine Reihe ist ihre Summe. Zwei Arten kommen in jeder Prüfung wieder.

Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt dieselbe Differenz d: 3, 7, 11, 15, … hat d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Für 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 und S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Beachte das n − 1: Vom ersten bis zum 20. Glied sind es nur 19 Schritte.

Eine geometrische Folge multipliziert in jedem Schritt mit demselben Quotienten r: 2, 6, 18, … hat r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Selbsttest Was ist das 10. Glied von 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Antwort: 32. d = 3, also a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Mit 10·3 statt 9·3 erhält man 35.

2Unendliche geometrische Reihe

Addiert man weiter Glieder von 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + …, nähert sich die Summe 4, ohne sie je zu überschreiten.

nSₙ4123456789233,5

Für |r| < 1 schrumpft rⁿ in Sₙ gegen 0, und die unendliche Summe existiert:

S = a₁/(1 − r), nur für |r| < 1

Hier ist a₁ das erste Glied der Summe. Für Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ ist das erste Glied 8·(1/2)² = 2, also S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Für |r| ≥ 1 schrumpfen die Glieder nicht, und die Reihe hat keine Summe: Sie divergiert.

Selbsttest Was ist Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Antwort: 4. Das erste Glied (k = 0) ist 3 und r = 1/4, also S = 3/(1 − 1/4) = 4. Mit 1 + r im Nenner erhält man 2,4.

3Konvergiert eine Reihe?

Die meisten Reihen haben keine einfache Summenformel, aber man kann trotzdem entscheiden, ob die Summe endlich ist. Verwende die Kriterien in dieser Reihenfolge:

  1. Trivialkriterium: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe. Σ k/(k + 1) divergiert, weil ihre Glieder gegen 1 streben.
  2. Standardreihen: Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 (also divergiert Σ1/k, die harmonische Reihe). Σrᵏ konvergiert nur für |r| < 1.
  3. Vergleich: 1/(k² + 3) ist kleiner als 1/k², also konvergiert auch Σ1/(k² + 3).
  4. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 liefert keine Antwort. Verwende es bei Fakultäten und k-ten Potenzen.
  5. Alternierende Reihe: Σ(−1)ᵏ/k konvergiert, weil die Glieder abwechselnd das Vorzeichen wechseln und gegen 0 fallen.

Beispiel: Für Σ k/2ᵏ ist der Quotient ((k + 1)/k)·(1/2), der gegen L = 1/2 < 1 strebt, sie konvergiert also.

Selbsttest Welche dieser Reihen divergiert?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Antwort: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 ist eine p-Reihe mit p = 1/2 ≤ 1, sie divergiert also. 1/k² hat p = 2, (2/3)ᵏ ist geometrisch mit r < 1, und das Quotientenkriterium liefert L = 0 für 3ᵏ/k!.

4Potenzreihen und Konvergenzradius

Eine Potenzreihe Σ ck(x − x₀)ᵏ ist ein Polynom ohne Ende. Sie konvergiert für x nahe genug am Mittelpunkt x₀.

Das Quotientenkriterium auf das gesamte Glied ergibt den Konvergenzradius R: Die Reihe konvergiert für |x − x₀| < R und divergiert für |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Beispiel: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) hat ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, was gegen 3 strebt. Also ist R = 3, und die Reihe konvergiert für −3 < x < 3.

An den beiden Randpunkten liefert das Kriterium keine Antwort; prüfe sie getrennt, wenn nach dem vollen Intervall gefragt ist.

5Taylor- und Maclaurin-Polynome

Nahe einem Punkt a sieht eine glatte Funktion wie ein Polynom aus. Das Taylor-Polynom vom Grad n stimmt in a im Wert und in den ersten n Ableitungen überein:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Für a = 0 heißt es Maclaurin-Polynom. Lerne diese Reihen auswendig:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Je mehr Terme du nimmst, desto länger bleibt das Polynom nahe an der Funktion.

Durchgerechnetes Beispiel

Nähere e0,5 mit dem Maclaurin-Polynom vom Grad 3 an und schätze den Fehler ab.

1

Das Polynom aufschreiben

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

x = 0,5 einsetzen

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Lagrangesche Fehlerschranke

Der Fehler beträgt höchstens M·|x|⁴/4!, wobei M der größte Wert der 4. Ableitung eᵗ zwischen 0 und 0,5 ist: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Vergleichen

Der Taschenrechner liefert e0,5 = 1,648721, der wahre Fehler beträgt also 0,0029, innerhalb der Schranke.

Antwort

e0,5 ≈ 1,6458 mit einem Fehler von höchstens 0,0043.

6Häufige Fehler und Prüfungsfragen

  • n statt n − 1 Schritte für das n-te Glied verwenden.
  • a/(1 − r) mit dem falschen ersten Glied schreiben, wenn die Summe nicht bei k = 0 beginnt.
  • Schließen, dass eine Reihe konvergiert, weil ihre Glieder gegen 0 streben. Σ1/k ist das Gegenbeispiel.
  • Die Fakultäten in einem Taylor-Polynom oder die Minuszeichen von sin und cos vergessen.
  • |x|ⁿ/n! statt |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! in der Fehlerschranke verwenden.

Leicht: Summen arithmetischer und geometrischer Folgen. Mittel: Konvergenz entscheiden, Quotientenkriterium und Konvergenzradius. Schwer: Taylor-Polynome, ihre Koeffizienten und Fehlerschranken.

Selbsttest Was ist der Koeffizient von x³ in der Maclaurin-Reihe von sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Antwort: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, und 3! = 6, also ist der Koeffizient −1/6. Lässt man das Minuszeichen weg, erhält man 1/6.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
kak​13579111315ε = 0,2

Die geometrische Folge aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ fällt. Bestimme den ersten Index n, für den aₙ < 0,2 gilt.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Gesucht: n

Tipps anzeigen
  1. Löse 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 mit Logarithmen.
  2. ln 0,85 ist negativ: Beim Teilen dadurch dreht sich die Ungleichung um.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Arithmetische und geometrische Reihen: Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt dieselbe Differenz d, aₙ = a₁ + (n − 1)d, und ihre Summe ist Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Eine geometrische Folge multipliziert mit demselben Quotienten r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, mit Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Für |r| < 1 schrumpfen die Glieder schnell genug, damit die unendliche Summe existiert: S = a₁/(1 − r), wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.

Ungleichung

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logarithmen

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Probe

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Antwort

n = 21
Beispiel 2Mittel
kSn​12345678910S = ?

Bestimme die Summe S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Gesucht: S

Tipps anzeigen
  1. Partialbruchzerlegung: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Schreibe die ersten Glieder aus: Die meisten kürzen sich weg (eine Teleskopsumme).
  3. Übrig bleibt (12/3)·(1 + … + 1/3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Partialbruchzerlegung

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Abbrechen

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwort

S = 7,333
Beispiel 3Schwer

f(x) = cos x wird bei x = 1 durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad n angenähert. Bestimme mit der Lagrangeschen Schranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! und M = 1 den kleinsten Grad n, der einen Fehler unter 1 × 10⁻⁶ garantiert.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Gesucht: n

Tipps anzeigen
  1. Probiere n = 1, 2, 3, … und berechne jedes Mal 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Die Fakultät wächst schnell, wenige Schritte genügen also.
  3. Halte beim ersten n an, bei dem die Schranke unter 1 × 10⁻⁶ liegt.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

n(n + 1)!Schranke011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Schranken für wachsendes n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Kleinster Grad

n = 9

Antwort

n = 9

Fragen und Antworten

Folgen & Reihen: Worum geht es?

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen a₁, a₂, a₃, … und eine Reihe ist ihre Summe. Zwei Arten kommen in jeder Prüfung wieder.

Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt dieselbe Differenz d: 3, 7, 11, 15, … hat d = 4.

Folgen & Reihen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
  2. Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
  3. Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
  4. Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Folgen & Reihen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • n statt n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d oder a₁rⁿ⁻¹ verwenden.
  • Die Formel für die unendliche Summe verwenden, wenn |r| ≥ 1, oder mit dem falschen ersten Glied.
  • Auf Konvergenz schließen, nur weil die Glieder gegen 0 streben.
  • Den Grenzwert des Quotientenkriteriums invertieren: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, nicht sein Kehrwert.
  • Die Fakultäten oder die wechselnden Vorzeichen in einem Taylor-Polynom vergessen.
Folgen & Reihen: Was wird geübt?
  • Leicht: arithmetische und geometrische Reihen
  • Mittel: Konvergenz und Potenzreihen
  • Schwer: Taylor- und Maclaurin-Polynome

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