Analysis 2: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Der zweite Analysiskurs: Integrationstechniken, Folgen und Reihen mit Konvergenzkriterien, Potenzreihen und Taylor-Polynome sowie Analysis mehrerer Variablen mit partiellen Ableitungen, Gradienten, kritischen Punkten und Doppelintegralen. Je nach Studienplan wird ein Teil dieses Stoffs als Analysis 3 gelehrt.

Diesen Kurs kostenlos übenDiesen Kurs übenProbeklausur schreibenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. IntegralePolynome · Exponential, Logarithmus und Substitution · Flächen zwischen KurvenRechenaufgaben
  2. Folgen & Reihenarithmetische und geometrische Reihen · Konvergenz und Potenzreihen · Taylor- und Maclaurin-PolynomeRechenaufgaben
  3. Analysis mehrerer Variablenpartielle Ableitungen und Doppelintegrale · Gradient, Tangentialebene und Kettenregel · kritische Punkte und Integrale über BereicheRechenaufgaben
  4. Differentialgleichungenexponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall · Newtonsches Abkühlungsgesetz · lineare DGL erster OrdnungRechenaufgaben

Prüfungstipps für Analysis 2

  • Prüfe vor jedem Konvergenzkriterium, ob die Glieder gegen 0 gehen; wenn nicht, divergiert die Reihe.
  • Schreibe das Taylor-Polynom mit den Fakultäten auf, bevor du eine Zahl einsetzt.
  • Skizziere bei einem Doppelintegral zuerst den Bereich: Die Skizze liefert die Grenzen des inneren Integrals.

Beispielaufgaben

IntegraleLeicht
xy3y = 0,5x

Das Gebiet unter y = 0,5x von x = 0 bis x = 3 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Kegel).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Gesucht: V

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  1. Eine Scheibe bei x ist eine Kreisscheibe mit dem Radius y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integrieren

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Antwort

V = 7,069

Kontrolle: Ein Kegel mit dem Radius 1,5 und der Höhe 3 hat (1/3)πr²h = 7,069.

Folgen & ReihenMittel
kSn​12345678910S = ?

Bestimme die Summe S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Gesucht: S

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  1. Partialbruchzerlegung: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Schreibe die ersten Glieder aus: Die meisten kürzen sich weg (eine Teleskopsumme).
  3. Übrig bleibt (12/3)·(1 + … + 1/3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Partialbruchzerlegung

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Abbrechen

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwort

S = 7,333

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für Halbwertszeit und exponentiellen ZerfallIntegralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)

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