Statistik 2: Schließende Statistik: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Von der Normalverteilung zu Konfidenzintervallen und Hypothesentests: die schließende Statistik, die auf einen Einführungskurs folgt.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. NormalverteilungFläche auf einer Seite · Fläche zwischen zwei Werten · PerzentileRechenaufgaben
  2. Konfidenzintervallez-Intervall · t-Intervall · StichprobenumfangRechenaufgaben
  3. Hypothesentests & Konfidenzintervallez-Statistik · t-Statistik · KonfidenzintervalleRechenaufgaben
  4. Lineare Regression und KorrelationSteigung und Achsenabschnitt · Korrelationskoeffizient · VorhersageRechenaufgaben
  5. Chi-Quadrat-TestsAnpassungstest · Unabhängigkeitstest · Entscheidung mit dem kritischen WertRechenaufgaben

Prüfungstipps für Statistik 2: Schließende Statistik

  • Standardisiere zuerst: Fast jede Aufgabe beginnt mit einem z-Wert oder einem t-Wert.
  • Nimm t statt z, wenn σ unbekannt und die Stichprobe klein ist.
  • Ein 95-%-Konfidenzintervall und ein zweiseitiger Test zum Niveau 5 % kommen immer zum selben Ergebnis.

Beispielaufgaben

NormalverteilungLeicht
μ = 3236,8P = ?

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Welcher Anteil liegt über 36,8 min? Bestimme P(X > x) als Dezimalzahl.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Gesucht: P(X > x)

Tipps anzeigen
  1. Rechne in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Wert

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Antwort

P = 0,2119

Das sind 21,19 %.

KonfidenzintervalleMittel
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 50 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 7,8. Wie groß ist die Fehlermarge E₂, wenn dieselbe Studie stattdessen 100 Beobachtungen verwendet?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Gesucht: E₂

Tipps anzeigen
  1. E = z·σ/√n, und σ bleibt gleich.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Neue Fehlermarge

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Antwort

E₂ = 5,515

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für z-Wert und NormalverteilungRechner für KonfidenzintervalleRechner für den StichprobenumfangRechner für lineare RegressionRechner für den Chi-Quadrat-AnpassungstestNormalverteilung-Rechnert-Test-Rechnerp-Wert-RechnerKorrelationskoeffizient-Rechner (Pearson und Spearman)Einfaktorielle-ANOVA-Rechner

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