Normalverteilung-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Berechne Wahrscheinlichkeiten für jede Normalverteilung N(μ, σ²): die Fläche links oder rechts eines Wertes, zwischen zwei Werten oder in beiden Rändern. Die Umkehrmodi gehen von einer Fläche rückwärts zum Wert x; so findest du Perzentile und Schwellenwerte. Jede Antwort zeigt die z-Werte und die verwendeten Φ-Werte, damit du sie mit einer Standardnormalverteilungstabelle vergleichen kannst.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Standardisieren
Flächen unter der Standardnormalverteilungskurve
Wichtige Formeln
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Unterhalb von x
- P(X < x) = Φ(z)
- Oberhalb von x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Dazwischen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Perzentil
- x = μ + z·σ
So findest du die Wahrscheinlichkeit einer Normalverteilung
- Notiere den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ. Ist die Varianz σ² gegeben, ziehe zuerst die Quadratwurzel.
- Standardisiere jeden Wert mit z = (x − μ)/σ. Der z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen der Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.
- Schlage Φ(z), die Fläche links von z unter der Standardnormalverteilungskurve, in einer Tabelle nach oder berechne sie mit dem Taschenrechner.
- Kombiniere die Flächen: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) und P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Um von einer Fläche rückwärts zu rechnen, bestimme das z mit Φ(z) gleich der linksseitigen Fläche und rechne es dann mit x = μ + z·σ zurück.
Fragen und Antworten
Was ist der Unterschied zwischen P(X < a) und P(X ≤ a)?
Bei einer stetigen Verteilung wie der Normalverteilung gibt es keinen. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen genauen Wertes ist null, also gilt P(X < a) = P(X ≤ a). Bei diskreten Verteilungen wie der Binomial- und der Poisson-Verteilung ist das anders.
Wie finde ich ein Perzentil einer Normalverteilung?
Verwende den Umkehrmodus mit einer linksseitigen Fläche. Das 90. Perzentil ist der Wert x mit P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, also x = μ + 1,2816σ. Für eine Grenze für die oberen 10 % verwende die rechtsseitige Fläche 0,10; sie liefert denselben Wert.
Was besagt die 68-95-99,7-Regel?
Etwa 68 % einer Normalverteilung liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei (genauer 1,96σ) und etwa 99,7 % innerhalb von drei. So kannst du schnell prüfen, ob ein Ergebnis im richtigen Bereich liegt.
Warum liefert meine z-Tabelle ein etwas anderes Ergebnis?
Eine gedruckte Tabelle rundet z auf zwei Dezimalstellen und Φ(z) auf vier. Der Rechner bestimmt Φ numerisch, viel genauer als eine gedruckte z-Tabelle, auch weit draußen in den Rändern, und zeigt das Ergebnis mit 4 signifikanten Stellen; Tabellenwerte können daher in der letzten Stelle abweichen.
Wann darf ich die Normalverteilung für eine Binomialaufgabe verwenden?
Wenn np und n(1 − p) beide mindestens etwa 10 sind, liegt eine Binomialverteilung nahe an einer Normalverteilung mit μ = np und σ = √(np(1 − p)). Addiere oder subtrahiere 0,5 an der Grenze (Stetigkeitskorrektur). Für ein exaktes Ergebnis verwende den Binomialverteilung-Rechner.
Übe es selbst
Normalverteilung üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.