Binomialverteilung-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Berechne Binomialwahrscheinlichkeiten für n unabhängige Versuche, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p gelingen: genau x Erfolge, höchstens x, mindestens x, weniger als x oder mehr als x. Der Rechner zeigt die Binomialformel, jeden addierten Summanden (oder das kürzere Komplement), den Erwartungswert np und die Standardabweichung √(np(1 − p)). Für n bis 30 listet er außerdem die gesamte Verteilung in einer Tabelle auf.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Binomialverteilung: Formel für die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeiten addieren
Erwartungswert und Standardabweichung
Wichtige Formeln
- Binomialverteilung
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Gegenereignis
- P(not A) = 1 − P(A)
So berechnest du Binomialwahrscheinlichkeiten
- Prüfe, ob die Situation binomial ist: eine feste Anzahl von Versuchen n, zwei Ausgänge pro Versuch, jedes Mal dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p und unabhängige Versuche.
- Für genau x Erfolge gilt P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, wobei C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) die Reihenfolgen zählt, in denen die Erfolge auftreten können.
- Für „höchstens x“ addiere P(X = 0) bis P(X = x). Für „mindestens x“ addiere P(X = x) bis P(X = n).
- Hat die Summe viele Summanden, verwende das Komplement: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Übersetze die Formulierung sorgfältig: „weniger als 4“ bedeutet X ≤ 3 und „mehr als 4“ bedeutet X ≥ 5.
Fragen und Antworten
Wie lauten Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung?
Der Erwartungswert ist μ = np und die Varianz ist σ² = np(1 − p), also ist die Standardabweichung σ = √(np(1 − p)). Für n = 10 und p = 0,3 ergibt das μ = 3 und σ = 1,449.
Was ist der Unterschied zwischen „mindestens“ und „mehr als“?
„Mindestens 3“ schließt die 3 ein: P(X ≥ 3). „Mehr als 3“ schließt sie nicht ein: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Bei einer diskreten Verteilung sind das verschiedene Zahlen, also wähle die Variante, die zum Wortlaut der Aufgabe passt.
Warum verwendet der Rechner manchmal das Komplement?
Weil alle Wahrscheinlichkeiten die Summe 1 ergeben, gilt P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Hat das Komplement weniger Summanden, ist es von Hand schneller, und die Rechenschritte zeigen diesen Weg. Das Ergebnis ist dasselbe.
Wie groß darf n sein?
Bis zu 10 000 Versuche. Die Summanden werden mit Logarithmen berechnet, sodass die großen Fakultäten nicht überlaufen und die Wahrscheinlichkeiten genau bleiben.
Wann ist die Binomialverteilung nicht das richtige Modell?
Wenn die Versuche nicht unabhängig sind oder sich p ändert, zum Beispiel beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe: Das folgt der hypergeometrischen Verteilung. Ist n groß und p klein, ist die Poisson-Verteilung mit λ = np eine gute Näherung.
Übe es selbst
Wahrscheinlichkeit üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.