Poisson-Verteilung-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,01832 | 0,01832 |
| 1 | 0,07326 | 0,09158 |
| 2 | 0,1465 | 0,2381 |
| 3 | 0,1954 | 0,4335 |
| 4 | 0,1954 | 0,6288 |
| 5 | 0,1563 | 0,7851 |
| 6 | 0,1042 | 0,8893 |
| 7 | 0,05954 | 0,9489 |
| 8 | 0,02977 | 0,9786 |
| 9 | 0,01323 | 0,9919 |
| 10 | 0,005292 | 0,9972 |
| 11 | 0,001925 | 0,9991 |
| 12 | 0,0006415 | 0,9997 |
Berechne Poisson-Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall, etwa Anrufe pro Stunde, Fehler pro Meter oder Ankünfte pro Minute. Gib die mittlere Rate λ und eine Anzahl x ein und erhalte die Wahrscheinlichkeit für genau x Ereignisse, höchstens x, mindestens x, weniger als x oder mehr als x. Die Rechenschritte zeigen die Formel e^(−λ)·λˣ/x! für jeden Summanden und verwenden das Komplement, wo es kürzer ist.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Poisson-Verteilung: Formel für die Wahrscheinlichkeit
Das Komplement verwenden (weniger Summanden)
Erwartungswert und Varianz
Wichtige Formeln
- Gegenereignis
- P(not A) = 1 − P(A)
So berechnest du Poisson-Wahrscheinlichkeiten
- Bestimme λ, die mittlere Anzahl der Ereignisse in dem Intervall, um das es in der Aufgabe geht. Beträgt die Rate 3 pro Stunde und geht es um 2 Stunden, verwende λ = 6.
- Für genau x Ereignisse verwende P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
- Für „höchstens x“ addiere die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis x.
- Für „mindestens x“ verwende das Komplement P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), weil sich die Summe bis unendlich nicht ausschreiben lässt.
- Prüfe dein Ergebnis mit Erwartungswert und Varianz: Beide sind gleich λ.
Fragen und Antworten
Wann gilt eine Poisson-Verteilung?
Wenn Ereignisse einzeln, unabhängig voneinander und mit konstanter mittlerer Rate eintreten und du zählst, wie viele in ein festes Zeitintervall, eine feste Länge, Fläche oder ein festes Volumen fallen.
Wie lauten Erwartungswert und Varianz einer Poisson-Verteilung?
Beide sind gleich λ, also ist die Standardabweichung √λ. Ist die Varianz deiner Daten viel größer als der Mittelwert, treten die Ereignisse wahrscheinlich gehäuft auf, und das Poisson-Modell passt schlecht.
Kann λ eine Dezimalzahl sein?
Ja. λ ist ein Mittelwert, daher sind Werte wie 2,5 Ereignisse pro Stunde in Ordnung. Die Anzahl der Ereignisse x muss eine ganze Zahl sein.
Wie hängt die Poisson-Verteilung mit der Binomialverteilung zusammen?
Bei einer Binomialverteilung mit vielen Versuchen und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit liefert die Poisson-Verteilung mit λ = np fast dieselben Wahrscheinlichkeiten. Eine gängige Faustregel lautet n ≥ 20 und p ≤ 0,05.
Warum ist P(X ≥ 1) gleich 1 − e^(−λ)?
Weniger als ein Ereignis ist nur möglich, wenn keines eintritt, und P(X = 0) = e^(−λ). Also ist P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), das sind 0,8647 für λ = 2.
Übe es selbst
Wahrscheinlichkeit üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.