Permutationen- und Kombinationen-Rechner (nPr und nCr)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Zähle die Möglichkeiten, r Objekte aus n auszuwählen. Permutationen (nPr) zählen geordnete Anordnungen; Kombinationen (nCr) zählen Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt. Der Rechner liefert auch die Anzahlen für den Fall, dass Objekte wiederholt vorkommen dürfen, und rechnet mit exakten ganzen Zahlen für n und r bis 1000: Die Rechenschritte zeigen jede Ziffer, auch bei sehr großen Ergebnissen.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Permutationen: Die Reihenfolge spielt eine Rolle
Kombinationen: Die Reihenfolge spielt keine Rolle
Mit erlaubter Wiederholung
Wichtige Formeln
- Permutationen
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Kombinationen
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- Mit Wiederholung
- nr, wenn die Reihenfolge zählt, C(n + r − 1, r), wenn nicht
So berechnest du Permutationen und Kombinationen
- Entscheide, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Personen in einer Reihe anordnen, den ersten und zweiten Preis vergeben oder einen Code bilden: Die Reihenfolge spielt eine Rolle, also verwende Permutationen. Ein Team oder ein Kartenblatt auswählen: Die Reihenfolge spielt keine Rolle, also verwende Kombinationen.
- Permutationen: nPr = n!/(n − r)!, das Produkt der r Faktoren n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Kombinationen: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Die Division durch r! beseitigt die r! Reihenfolgen jeder Auswahl.
- Bei erlaubter Wiederholung ergeben geordnete Auswahlen nʳ und ungeordnete Auswahlen C(n + r − 1, r).
- Prüfe es an einem kleinen Fall: C(4, 2) = 6 und P(4, 2) = 12, weil sich jedes Paar in 2 Reihenfolgen schreiben lässt.
Fragen und Antworten
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
Eine Permutation ist eine geordnete Anordnung, eine Kombination eine ungeordnete Auswahl. Aus den Buchstaben A, B und C lassen sich 6 geordnete Paare bilden (AB, BA, AC, CA, BC, CB), aber nur 3 ungeordnete Paare ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Warum ist C(n, r) gleich C(n, n − r)?
Die r Objekte auszuwählen, die du nimmst, ist dasselbe, wie die n − r Objekte auszuwählen, die du zurücklässt. Zum Beispiel ist C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Was ist 0!?
0! = 1. Dadurch funktionieren die Formeln an den Rändern: C(n, 0) = C(n, n) = 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts oder alles auszuwählen.
Was sind Kombinationen mit Wiederholung?
Ungeordnete Auswahlen, bei denen dasselbe Objekt mehrfach gewählt werden darf, etwa 3 Kugeln aus 10 Eissorten. Die Anzahl ist C(n + r − 1, r), in diesem Beispiel C(12, 3) = 220.
Wo werden Kombinationen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet?
In der Binomialformel zählt C(n, x) die Reihenfolgen, in denen x Erfolge bei n Versuchen auftreten können. Bei Lotterien und Kartenspielen ist die Wahrscheinlichkeit eines Blattes die Anzahl der günstigen Kombinationen geteilt durch die Gesamtzahl der Kombinationen.
Übe es selbst
Wahrscheinlichkeit üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.