Normalverteilung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Gauß-Verteilung · Standardnormalverteilung · z-Wert

Kostenlose Übungsaufgaben zu Normalverteilung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Fläche auf einer Seite, Fläche zwischen zwei Werten, Perzentile.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
μ = 6567,5P = ?

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Welcher Anteil liegt über 67,5 Punkte? Bestimme P(X > x) als Dezimalzahl.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Nächste Aufgabe →
Normalverteilung kostenlos übenNormalverteilung jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtFläche auf einer Seite
  2. MittelFläche zwischen zwei Werten
  3. SchwerPerzentile

So löst du Aufgaben zu Normalverteilung

  1. Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  2. Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
  3. Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
  4. Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Häufige Fehler

  • Die Tabelle für die falsche Seite ablesen.
  • Vergessen, durch σ zu teilen.
  • Bei Perzentilen unter 50 % das Vorzeichen von z falsch herum verwenden.

Wichtige Formeln

z-Wert
z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x
P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen
Φ(z2) − Φ(z1)
Perzentil
x = μ + z·σ

Normalverteilung von Grund auf lernen

Davor: Beschreibende Statistik

1Die Glockenkurve

Viele Größen, etwa Körpergrößen, IQ-Werte oder das Gewicht von Packungen aus einer Maschine, folgen einer Normalverteilung. Die meisten Werte liegen nahe der Mitte, und weit entfernte Werte sind selten.

Der Graph ist eine symmetrische Glocke. Sie hat zwei Kennzahlen: den Mittelwert μ, wo der Gipfel liegt, und die Standardabweichung σ, die die Breite bestimmt.

7085100μ115130

Die Kernidee: Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter der Kurve. Die Gesamtfläche ist 1. Die schattierte linke Hälfte hat die Fläche 0,5, die Hälfte aller Werte liegt also unter dem Mittelwert.

Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb von einem σ um den Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zwei σ.

Selbsttest Packungen haben ein normalverteiltes Gewicht mit dem Mittelwert 500 g. Welcher Anteil der Packungen wiegt weniger als 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Das hängt von σ ab

Antwort: 0,5. Die Kurve ist symmetrisch um den Mittelwert, genau die Hälfte der Fläche liegt also unter μ, egal wie groß σ ist. 0,68 ist die Fläche innerhalb von einem σ auf beiden Seiten.

2z-Werte und die Tabelle

Jede Normalverteilung wird zur selben Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, σ = 1), wenn du einen Wert x in einen z-Wert umrechnest:

z = (x − μ) / σ

Die Tabelle gibt Φ(z): die Fläche links von z. Zum Beispiel ist Φ(1,2) = 0,8849, also liegen 88,49 % der Werte unter z = 1,2.

  • Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z).
  • Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z), weil die Gesamtfläche 1 ist.
  • Für ein negatives z: Φ(−z) = 1 − Φ(z), wegen der Symmetrie. Also ist Φ(−1,2) = 0,1151.

Werte, denen du oft begegnen wirst: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Selbsttest Φ(1,2) = 0,8849. Wie groß ist P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Antwort: 0,1151. Die Tabelle gibt die Fläche links an. Die Fläche rechts ist 1 − 0,8849 = 0,1151. Wer 0,8849 direkt verwendet, liest den falschen Rand ab.

3Zwischen zwei Werten und Perzentile

Für die Fläche zwischen zwei Werten subtrahiere die beiden linken Flächen: alles unter dem oberen Wert minus alles unter dem unteren Wert.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Ein Perzentil funktioniert rückwärts. Das 90. Perzentil ist der Wert, links von dem 90 % der Fläche liegen.

  • Finde das z, für das Φ(z) gleich der Fläche ist. Für 90 % ist z = 1,2816. Für 80 % ist z = 0,8416.
  • Rechne zurück auf x: x = μ + z · σ.

Für ein Perzentil unter 50 % ist z negativ. Das 10. Perzentil hat z = −1,2816.

Selbsttest IQ-Werte sind normalverteilt mit μ = 100 und σ = 15. Das z für das 80. Perzentil ist 0,8416. Wie groß ist das 80. Perzentil?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Antwort: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Mit dem Minuszeichen erhält man 87,4, das 20. Perzentil; 100,8 vergisst die Multiplikation mit σ.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Skizziere die Glockenkurve, markiere μ und den Wert bzw. die Werte und schattiere die gefragte Fläche.
  2. Rechne jeden Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  3. Lies Φ(z) ab, die Fläche links.
  4. Unterhalb: Φ(z). Oberhalb: 1 − Φ(z). Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Für ein Perzentil gehe rückwärts: Fläche → z → x = μ + zσ.
  6. Vergleiche mit deiner Skizze: Eine schattierte Fläche, die kleiner als die Hälfte ist, muss eine Zahl unter 0,5 ergeben.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 und der Standardabweichung 15. Welcher Anteil P liegt zwischen 91 und 121?

1

Die Fläche skizzieren

91x₁100121x₂

Die schattierte Fläche umfasst die Mitte und mehr von der rechten Seite. Erwarte eine Zahl etwas über 0,5.

2

Unterer z-Wert

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Oberer z-Wert

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Beide Flächen nachschlagen

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Subtrahieren

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Das ist etwas über 0,5, wie die Skizze vorhergesagt hat.

Antwort

P ≈ 0,645: Etwa 64,5 % der Werte liegen zwischen 91 und 121.

6Häufige Fehler

  • Den falschen Rand ablesen: Φ(z) verwenden, wenn die Aufgabe nach der Fläche oberhalb von x fragt.
  • Vergessen, beim z-Wert durch σ zu teilen.
  • Bei einem Intervall die beiden linken Flächen addieren, statt sie zu subtrahieren.
  • Bei einem Perzentil unter 50 % das falsche Vorzeichen von z verwenden.
  • σ und die Varianz σ² verwechseln. Teile durch σ, die Standardabweichung.
Selbsttest Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit μ = 65 und σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Welcher Anteil erreicht mehr als 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Antwort: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, und P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 ist die Fläche unter 50: der falsche Rand. Die meisten Studierenden erreichen mehr als 50, die Antwort muss also groß sein.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: die Fläche an einem Rand. Bestimme P(X < x) oder P(X > x) mit einem z-Wert.
  • Mittel: die Fläche zwischen zwei Werten, Φ(z₂) − Φ(z₁), wie im Beispiel.
  • Schwer: Perzentile. Bestimme den Wert, unter dem 80 % oder 90 % der Daten liegen.

Skizziere immer zuerst. Eine Skizze von zehn Sekunden fängt die meisten Fehler beim Rand ab.

Lerne Schritt für Schritt in der AppLerne Schritt für Schritt in der App

Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
μ = 3236,8P = ?

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Welcher Anteil liegt über 36,8 min? Bestimme P(X > x) als Dezimalzahl.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Gesucht: P(X > x)

Tipps anzeigen
  1. Rechne in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Wert

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Antwort

P = 0,2119

Das sind 21,19 %.

Beispiel 2Mittel
750 g769,7 gX + Y?

X ist normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 4 g; Y ist unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 500 g und der Standardabweichung 9 g. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass X + Y größer als 769,7 g ist. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Gesucht: P

Tipps anzeigen
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μX ± μY. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σX² + σY², also σ = √(σX² + σY²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Summe

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standardisieren

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Oberer Rand

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwort

P = 0,02275
Beispiel 3Schwer
μ = 178x = ?20%

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Bestimme den Wert x, unter dem 20 % von ihnen liegen (das 20. Perzentil).

μ = 178σ = 7P = 20%

Gesucht: x (cm)

Tipps anzeigen
  1. Rechne rückwärts: Suche in der Tabelle das z mit Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Dann x = μ + z·σ.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Zurück zu x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Antwort

x = 172,11 cm

Fragen und Antworten

Normalverteilung: Worum geht es?

Viele Größen, etwa Körpergrößen, IQ-Werte oder das Gewicht von Packungen aus einer Maschine, folgen einer Normalverteilung. Die meisten Werte liegen nahe der Mitte, und weit entfernte Werte sind selten.

Der Graph ist eine symmetrische Glocke. Sie hat zwei Kennzahlen: den Mittelwert μ, wo der Gipfel liegt, und die Standardabweichung σ, die die Breite bestimmt.

Normalverteilung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  2. Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
  3. Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
  4. Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.
Normalverteilung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die Tabelle für die falsche Seite ablesen.
  • Vergessen, durch σ zu teilen.
  • Bei Perzentilen unter 50 % das Vorzeichen von z falsch herum verwenden.
Normalverteilung: Was wird geübt?
  • Leicht: Fläche auf einer Seite
  • Mittel: Fläche zwischen zwei Werten
  • Schwer: Perzentile

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

Themen davor und danach

Zuerst lernen

Beschreibende Statistik

Danach weiter mit

Konfidenzintervalle

Rechner

Rechner für z-Wert und NormalverteilungNormalverteilung-Rechner

Kurse mit diesem Thema

Forschungsmethoden und Statistik in der PsychologieEinführung in die StatistikHöhere Mathematik für IngenieureStatistik 2: Schließende StatistikÜbungsaufgaben für die Prüfung FE CivilÜbungsaufgaben für AP StatisticsÜbungsaufgaben für CFA Level I: Quantitative Methods und Fixed Income

Weitere Themen in Mathematik & Statistik

GrenzwerteAbleitungenOptimierungIntegraleFolgen & ReihenAnalysis mehrerer VariablenDifferentialgleichungenKomplexe ZahlenNumerische VerfahrenMatrizen & DeterminantenVektoren: Skalar- und KreuzproduktAussagenlogik & BeweiseMengen, Relationen & FunktionenGraphentheorieZahlentheorie & modulare ArithmetikWahrscheinlichkeitBeschreibende StatistikKonfidenzintervalleHypothesentests & KonfidenzintervalleLineare Regression und KorrelationChi-Quadrat-Tests

Arbeitsblatt zum Ausdrucken

Arbeitsblatt Normalverteilung mit Lösungen
Normalverteilung kostenlos übenNormalverteilung jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.