Matrizen & Determinanten: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Determinante · Matrizenrechnung · inverse Matrix
Kostenlose Übungsaufgaben zu Matrizen & Determinanten mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: 2×2-Determinante, 3×3 und Produkte, Eigenwerte und Gleichungssysteme.
Matrizen & Determinanten von Grund auf lernen
1Matrizen und die 2×2-Determinante
Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen in Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten heißt 2×3-Matrix: zuerst Zeilen, dann Spalten.
Ingenieure verwenden Matrizen, um viele Gleichungen auf einmal aufzuschreiben. Das System 2x + y = 5 und x − y = 1 wird als Matrix [2 1; 1 −1] seiner Koeffizienten gespeichert.
Eine quadratische Matrix hat eine besondere Zahl, ihre Determinante, geschrieben det A. Bei einer 2×2-Matrix ist sie das Produkt der einen Diagonale minus das Produkt der anderen.
det A = a·d − b·c
Für [3 1; 2 4] ist die Determinante 3·4 − 1·2 = 10.
Ist det A = 0, hat die Matrix keine Inverse, und das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.
Selbsttest Wie groß ist die Determinante von [4 2; 3 5]? (Zeile 1 ist 4 2, Zeile 2 ist 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Antwort: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Addiert man die beiden Produkte, erhält man 26, und bc − ad ergibt −14.
23×3-Determinanten und Produkte
Entwickle eine 3×3-Matrix nach der ersten Zeile. Jeder Eintrag wird mit seiner Unterdeterminante multipliziert: der 2×2-Determinante, die übrig bleibt, wenn du Zeile und Spalte dieses Eintrags streichst.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
Die Vorzeichen laufen + − + entlang der ersten Zeile. Dieses Vorzeichenmuster vergisst man am leichtesten.
Ein Matrixprodukt AB wird aus Zeilen von A und Spalten von B gebildet. Der Eintrag in Zeile i, Spalte j ist Zeile i von A mal Spalte j von B: Paare multiplizieren und addieren.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
Das Produkt existiert nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen. Im Allgemeinen ist AB nicht gleich BA.
Selbsttest A = [2 1; 0 3] und B = [1 4; 2 1]. Wie groß ist der Eintrag in Zeile 1, Spalte 2 von AB?
- 13
- 4
- 6
- 9
Antwort: 9. Zeile 1 von A ist (2, 1) und Spalte 2 von B ist (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Multipliziert man nur die gleichliegenden Einträge, erhält man 1·4 = 4, und 13 ist der Eintrag von BA.
3Eigenwerte und Gleichungssysteme
Ein Eigenwert λ von A ist eine Zahl, für die A·v = λ·v für einen Vektor v ≠ 0 gilt. Die Matrix streckt diesen Vektor nur, sie dreht ihn nicht.
Du findest die Eigenwerte aus der charakteristischen Gleichung. Hier ist I die Einheitsmatrix [1 0; 0 1].
det(A − λI) = 0
Für eine 2×2-Matrix wird daraus eine quadratische Gleichung. Ihr mittlerer Koeffizient ist die Spur a + d, und ihr konstanter Term ist det A:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
Für [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, also (λ − 2)(λ − 5) = 0, und die Eigenwerte sind 2 und 5.
Die Cramersche Regel löst ein System mit Determinanten. Ersetze Spalte i von A durch die rechte Seite, um Ai zu erhalten, dann ist xi = det Ai / det A.
Für 2x + y = 5 und x − y = 1: det A = −3 und det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, also x = −6/−3 = 2.
Selbsttest Wie groß ist der größere Eigenwert von [2 1; 1 2]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Antwort: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 ergibt (λ − 1)(λ − 3) = 0, die Eigenwerte sind also 1 und 3. 4 ist die Spur, also die Summe der Eigenwerte, keiner von ihnen.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Schreibe die Matrix sorgfältig ab, mit jedem Minuszeichen.
- 2×2-Determinante: ad − bc.
- 3×3-Determinante: Streiche für jeden Eintrag der ersten Zeile seine Zeile und Spalte und bestimme die 2×2-Unterdeterminante.
- Kombiniere mit den Vorzeichen + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Eigenwerte: Schreibe λ² − (a + d)λ + det A = 0 und löse die quadratische Gleichung.
- Probe: Eine Nullzeile oder zwei gleiche Zeilen ergeben immer det A = 0.
Tipp: Entwickle nach einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen. Jeder Nulleintrag erspart dir eine Unterdeterminante.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielBestimme die Determinante der 3×3-Matrix A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].
1Streiche Zeile 1 und Spalte 1 des Eintrags 2. Übrig bleibt [3 1; 2 4].
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2Streiche Zeile 1 und Spalte 2 des Eintrags 1. Übrig bleibt [1 1; 0 4].
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3Der Eintrag a13 ist 0, sein Term ist also 0, was auch immer die Unterdeterminante ist. Du kannst ihn überspringen.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5Bei 3×3-Matrizen liefert die Regel von Sarrus denselben Wert: drei „abwärts“ verlaufende Diagonalprodukte minus drei „aufwärts“ verlaufende Diagonalprodukte.
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Häufige Fehler
- Das Minuszeichen für den mittleren Term der 3×3-Entwicklung vergessen.
- bc − ad statt ad − bc berechnen.
- Ein Minuszeichen verlieren, wenn ein Eintrag negativ ist: −2 · −3 ist +6.
- Matrizen Eintrag für Eintrag statt Zeile mal Spalte multiplizieren.
- Die Spur oder einen Diagonaleintrag als Eigenwert nehmen, statt die charakteristische Gleichung zu lösen.
Selbsttest Wie groß ist die Determinante von [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
- 10
- 14
- −10
- −14
Antwort: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Mit + für den mittleren Term erhält man 2 + 12 = 14, der häufigste Ausrutscher.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: die Determinante einer 2×2-Matrix, oft mit negativen Einträgen. Verwende ad − bc.
- Mittel: eine 3×3-Determinante oder ein Matrixprodukt. Entwickle nach der ersten Zeile mit + − +.
- Schwer: Eigenwerte einer 2×2-Matrix oder eine Unbekannte eines 2×2-Systems mit der Cramerschen Regel.
Eine schnelle Probe für Eigenwerte: Ihre Summe muss die Spur a + d sein, ihr Produkt det A.
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