Analysis mehrerer Variablen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: partielle Ableitungen · Doppelintegrale · Funktionen mehrerer Veränderlicher

Kostenlose Übungsaufgaben zu Analysis mehrerer Variablen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: partielle Ableitungen und Doppelintegrale, Gradient, Tangentialebene und Kettenregel, kritische Punkte und Integrale über Bereiche.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
xy3−3P

Bestimme für f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
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Was du übst

  1. Leichtpartielle Ableitungen und Doppelintegrale
  2. MittelGradient, Tangentialebene und Kettenregel
  3. Schwerkritische Punkte und Integrale über Bereiche

So löst du Aufgaben zu Analysis mehrerer Variablen

  1. Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
  2. Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (fx, fy) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
  3. Löse für Extrema fx = 0 und fy = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = fxx·fyy − fxy².
  4. Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.

Häufige Fehler

  • Die Variable differenzieren, die konstant gehalten werden sollte.
  • Vergessen, den Richtungsvektor zu normieren.
  • D = fxx·fyy + fxy² schreiben oder einen Punkt mit D < 0 ein Extremum nennen.
  • Konstante innere Grenzen für einen von Kurven begrenzten Bereich verwenden.
  • Den Faktor r in dA = r dr dθ weglassen.

Wichtige Formeln

Partielle Ableitungen
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtungsableitung
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Tangentialebene
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettenregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test mit der zweiten Ableitung
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Doppelintegral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polarkoordinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Analysis mehrerer Variablen von Grund auf lernen

Davor: Ableitungen, Integrale

1Partielle Ableitungen

Eine Funktion von zwei Variablen, z = f(x, y), ist eine Fläche über der xy-Ebene. Auf einer Karte wird sie mit Höhenlinien gezeichnet, Linien, auf denen f denselben Wert hat.

Eine partielle Ableitung misst die Steigung in einer Richtung. Für ∂f/∂x (auch fx geschrieben) hältst du y konstant und differenzierst nach x mit den gewöhnlichen Regeln.

Beispiel: f(x, y) = x²y + 3y². Behandle y für fx als Zahl und x für fy als Zahl:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Bei (1, 2) ergibt das fx = 4 und fy = 1 + 12 = 13.

Erneutes Differenzieren liefert die zweiten partiellen Ableitungen fxx, fyy und fxy. Die Reihenfolge der gemischten Ableitung spielt keine Rolle: fxy = fyx. Hier ist fxy = 2x.

Selbsttest Was ist ∂f/∂y für f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Antwort: 2x³y. Halte x konstant: x³ ist ein konstanter Faktor, und y² ergibt 2y, also fy = 2x³y. 3x²y² ist ∂f/∂x.

2Gradient und Richtungsableitung

Der Gradient fasst beide partiellen Ableitungen zusammen: ∇f = (fx, fy). Er zeigt in die Richtung, in der f am schnellsten steigt, senkrecht zur Höhenlinie.

xy∇fP

Die steilste Steigung selbst ist die Länge |∇f| = √(fx² + fy²).

Die Steigung in jeder anderen Richtung v ist die Richtungsableitung. Mache v zuerst zu einem Einheitsvektor u = v/|v| und bilde dann das Skalarprodukt:

Duf = ∇f·u

Für f = x²y + 3y² bei (1, 2): ∇f = (4, 13). In Richtung v = (3, 4) ist u = (0,6, 0,8), also Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Selbsttest In einem Punkt ist ∇f = (3, 4). Wie groß ist dort die größte Anstiegsrate von f?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Antwort: 5. Es ist |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Addiert man die Komponenten, erhält man 7, und lässt man die Wurzel weg, 25.

3Tangentialebene und Kettenregel

Nahe einem Punkt (a, b) ist die Fläche fast eben. Die Tangentialebene ist

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Sie liefert die lineare Näherung f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Beispiel: f = x²y + 3y² hat f(1, 2) = 14, also nahe (1, 2): f(1,1, 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Der exakte Wert ist 13,129.

Hängen x und y beide von t ab, addiert die Kettenregel die beiden Wege: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Kritische Punkte

An einem Maximum, einem Minimum oder einem Sattelpunkt ist die Fläche waagerecht: fx = 0 und fy = 0. Solche Punkte sind kritische Punkte.

Der Test mit der zweiten Ableitung verwendet D = fxxfyy − fxy² im Punkt:

  • D > 0 und fxx > 0: lokales Minimum.
  • D > 0 und fxx < 0: lokales Maximum.
  • D < 0: Sattelpunkt, in einer Richtung aufwärts und in einer anderen abwärts.
  • D = 0: Der Test entscheidet nichts.
Durchgerechnetes Beispiel

Bestimme und klassifiziere die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Beide partiellen Ableitungen null setzen

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Die kritischen Punkte sind (1, 2) und (−1, 2).

2

Zweite Ableitungen

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

(1, 2) testen

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 und fxx = 6 > 0: ein lokales Minimum mit f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

(−1, 2) testen

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: ein Sattelpunkt.

Antwort

Lokales Minimum bei (1, 2) mit f = −6; Sattelpunkt bei (−1, 2).

5Doppelintegrale

Ein Doppelintegral ∬R f dA summiert f über einen Bereich R auf; für f = 1 ist es der Flächeninhalt von R. Berechne es als zwei einfache Integrale, das innere zuerst.

Über ein Rechteck sind die Grenzen Zahlen: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Das innere Integral ergibt x + 1, und ∫02 (x + 1) dx = 4.

Über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die ihn begrenzen. Für den Bereich zwischen y = x² und y = 2x läuft y von x² bis 2x und x von 0 bis 2.

xyy = 2xy = x²2
Fläche = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten: x² + y² = r² und dA = r dr dθ. Über die Kreisscheibe r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Selbsttest Was wird in Polarkoordinaten aus dA?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Antwort: r dr dθ. Ein kleines Polarflächenstück ist Δr breit und r·Δθ lang, also dA = r dr dθ. Den Faktor r zu vergessen ist der häufigste Fehler.

6Häufige Fehler und Prüfungsfragen

  • Bei einer partiellen Ableitung auch die „konstante“ Variable differenzieren.
  • Bei einer Richtungsableitung v statt des Einheitsvektors u verwenden.
  • D = fxxfyy + fxy² schreiben oder einen Punkt mit D < 0 als Extremum einordnen.
  • Zahlen als innere Grenzen verwenden, wenn der Bereich von Kurven begrenzt wird.
  • Den Faktor r in Polarkoordinaten vergessen.

Leicht: partielle Ableitungen in einem Punkt und Integrale über Rechtecke. Mittel: Gradient, Richtungsableitung, Tangentialebene und Kettenregel. Schwer: Klassifikation kritischer Punkte und Integrale über gekrümmte Bereiche, in Polarkoordinaten oder mit vertauschter Reihenfolge.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
xy−1−3P

Bestimme für f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy die partielle Ableitung ∂f/∂x im Punkt (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Gesucht: fx(−1, −3)

Tipps anzeigen
  1. Behandle y als konstante Zahl und differenziere nach x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Setze x = −1 und y = −3 ein.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Partielle Ableitungen: ∂f/∂x ist die gewöhnliche Ableitung nach x, während y konstant gehalten wird (behandle y als Zahl), und ∂f/∂y umgekehrt. Die Regeln (Potenz-, Produkt-, Kettenregel) sind dieselben wie bei einer Variablen. Gemischte zweite Ableitungen liefern in jeder Reihenfolge dasselbe Ergebnis: fxy = fyx. Ein Doppelintegral über ein Rechteck wird als zwei einfache Integrale berechnet, das innere zuerst: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Differenzieren

y wird konstant gehalten.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Einsetzen

fx(−1, −3) = −4

Antwort

fx(−1, −3) = −4
Beispiel 2Mittel

z = 2x²e3y mit x = −t − 2 und y = t² + 2. Bestimme mit der Kettenregel dz/dt bei t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Gesucht: dz/dt

Tipps anzeigen
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Bei t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gradient: ∇f = (fx, fy) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, und |∇f| ist die größte Änderungsrate. Die Richtungsableitung in Richtung v ist Duf = ∇f·u mit dem Einheitsvektor u = v/|v|. Die Tangentialebene in (a, b) ist z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); sie liefert die lineare Näherung von f in der Nähe dieses Punktes. Kettenregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punkt und Änderungsraten

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Partielle Ableitungen

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Kettenregel

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Antwort

dz/dt = 3227
Beispiel 3Schwer
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy hat einen kritischen Punkt bei (1, 1). Berechne dort die Diskriminante D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Gesucht: D

Tipps anzeigen
  1. Bestimme die drei zweiten Ableitungen fxx, fyy und fxy.
  2. Im Punkt: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Kritische Punkte und Doppelintegrale: Ein kritischer Punkt hat fx = fy = 0. Test mit der zweiten Ableitung mit D = fxxfyy − fxy²: D > 0 und fxx > 0 ist ein lokales Minimum, D > 0 und fxx < 0 ein lokales Maximum, D < 0 ein Sattelpunkt, und D = 0 entscheidet nichts. Für ein Doppelintegral über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die den Bereich begrenzen; für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten, x = r cos θ, y = r sin θ und dA = r dr dθ (vergiss den Faktor r nicht).

Zweite Ableitungen

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Diskriminante

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ lokales Minimum

Antwort

D = 27

Fragen und Antworten

Analysis mehrerer Variablen: Worum geht es?

Eine Funktion von zwei Variablen, z = f(x, y), ist eine Fläche über der xy-Ebene. Auf einer Karte wird sie mit Höhenlinien gezeichnet, Linien, auf denen f denselben Wert hat.

Eine partielle Ableitung misst die Steigung in einer Richtung. Für ∂f/∂x (auch fx geschrieben) hältst du y konstant und differenzierst nach x mit den gewöhnlichen Regeln.

Analysis mehrerer Variablen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
  2. Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (fx, fy) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
  3. Löse für Extrema fx = 0 und fy = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = fxx·fyy − fxy².
  4. Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.
Analysis mehrerer Variablen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die Variable differenzieren, die konstant gehalten werden sollte.
  • Vergessen, den Richtungsvektor zu normieren.
  • D = fxx·fyy + fxy² schreiben oder einen Punkt mit D < 0 ein Extremum nennen.
  • Konstante innere Grenzen für einen von Kurven begrenzten Bereich verwenden.
  • Den Faktor r in dA = r dr dθ weglassen.
Analysis mehrerer Variablen: Was wird geübt?
  • Leicht: partielle Ableitungen und Doppelintegrale
  • Mittel: Gradient, Tangentialebene und Kettenregel
  • Schwer: kritische Punkte und Integrale über Bereiche

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

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