Komplexe Zahlen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Gaußsche Zahlenebene · Satz von Moivre
Kostenlose Übungsaufgaben zu Komplexe Zahlen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Rechnen in kartesischer Form, Polar- und Exponentialform, De Moivre, Wurzeln und Gleichungen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme für z₁ = 1 + j4 und z₂ = 5 + j6 den Imaginärteil von w = 2z₁ + 5z̄₂.
Entscheide, welche Form zur Operation passt: kartesisch a + jb zum Addieren und Subtrahieren, polar r∠θ zum Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Wurzelziehen.
Multipliziere mit j² = −1 aus; dividiere, indem du Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multiplizierst.
Wandle mit r = √(a² + b²) um und bestimme θ anhand einer Skizze des Punktes (Quadrant prüfen), und zurück mit a = r cos θ, b = r sin θ.
Verwende für Potenzen De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; liste für zⁿ = R∠φ alle n Wurzeln R1/n∠((φ + 360°k)/n) auf.
Häufige Fehler
j² beim Ausmultiplizieren als +1 behandeln.
Real- und Imaginärteil getrennt dividieren.
atan(b/a) als Argument für einen Punkt in der linken Halbebene nehmen.
Grad und Bogenmaß vermischen, besonders in ejθ.
Nur eine Lösung von zⁿ = w angeben oder vergessen, die n-te Wurzel des Betrags zu ziehen.
Wichtige Formeln
Kartesische Form
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Betrag und Argument
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Die Gleichung x² = −1 hat keine reelle Lösung. Ingenieure führen eine neue Zahl j mit j² = −1 ein. Mathematiker schreiben i; in der Technik verwendet man j, weil i bereits den Strom bezeichnet.
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + jb. Die Zahl a ist der Realteil und b der Imaginärteil: Re(z) = a und Im(z) = b.
Du kannst z als Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen: den Realteil entlang der waagerechten Achse, den Imaginärteil entlang der senkrechten.
Der Abstand vom Ursprung ist der Betrag |z| = √(a² + b²). Der Winkel von der positiven reellen Achse ist das Argument θ. Das Spiegelbild an der reellen Achse, z̄ = a − jb, ist die konjugiert komplexe Zahl.
Selbsttest Was ist der Betrag von z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Antwort: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Addiert man 3 und 4, erhält man 7, und lässt man die Wurzel weg, 25.
2Addieren, Multiplizieren und Dividieren
Addiere und subtrahiere Teil für Teil: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Multipliziere die Klammern aus und ersetze j² durch −1:
Antwort: 2. Es ist eine Zahl mal ihre konjugiert komplexe Zahl: 1² + 1² = 2. Wer 1 − j² als 1 − 1 = 0 schreibt, vergisst, dass j² = −1 ist, also −j² = +1.
3Polar- und Exponentialform
Ein Punkt lässt sich auch durch seinen Abstand und seinen Winkel angeben: z = r∠θ, mit r = |z| und θ = arg z. Zurück zur kartesischen Form mit a = r cos θ und b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Die letzte Form verwendet die Eulersche Formel ejθ = cos θ + j sin θ. In der Exponentialform muss θ im Bogenmaß stehen.
Achte auf den Quadranten. Ein Taschenrechner liefert atan(b/a) zwischen −90° und 90°. Ist a < 0, liegt der Punkt links, also addiere oder subtrahiere 180°.
Beispiel: z = −2 + j2. Dann ist r = √8 = 2,828. Der Bezugswinkel ist atan(2/2) = 45°, und der Punkt liegt im zweiten Quadranten, also θ = 180° − 45° = 135°.
Selbsttest Was ist das Argument von z = −1 − j, zwischen −180° und 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Antwort: −135°. Der Punkt liegt im dritten Quadranten. Der Bezugswinkel ist 45°, also θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° zeigt in den gegenüberliegenden Quadranten.
4Multiplizieren in Polarform, Potenzen und Wurzeln
In der Polarform ist die Multiplikation einfach: Multipliziere die Beträge und addiere die Argumente. Bei der Division teile die Beträge und subtrahiere die Argumente.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Wiederholt man das, erhält man den Satz von De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Die Gleichung zⁿ = R∠φ hat genau n Lösungen. Sie haben alle den Betrag R1/n und die Argumente (φ + 360°·k)/n für k = 0, 1, …, n − 1.
Für z³ = 8 = 8∠0°: Der Betrag ist 2, und die Argumente sind 0°, 120° und 240° (das heißt −120°). Die Lösungen bilden ein regelmäßiges Dreieck auf dem Kreis.
Eine quadratische Gleichung z² + pz + q = 0 mit p² < 4q hat die komplexen Lösungen −p/2 ± j√(q − p²/4). Reelle Polynome haben ihre komplexen Nullstellen immer in konjugierten Paaren.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Potenzen von Zahlen wie 1 + j gehen in Polarform viel schneller als durch Ausmultiplizieren.
Durchgerechnetes Beispiel
Berechne (1 + j)6 mit dem Satz von De Moivre.
1
1 + j in Polarform schreiben
r = √(1² + 1²) = √2. Der Punkt liegt im ersten Quadranten, also θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
De Moivre anwenden
Potenziere den Betrag mit 6 und multipliziere den Winkel mit 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Den Winkel in den Bereich bringen
270° ist dieselbe Richtung wie −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Zurück zur kartesischen Form
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Antwort
(1 + j)6 = −j8: Realteil 0, Imaginärteil −8.
6Häufige Fehler und Prüfungsfragen
Vergessen, dass j² = −1 ist, wenn man ausmultipliziert, sodass ein Term das falsche Vorzeichen bekommt.
Teil für Teil dividieren: (a + jb)/(c + jd) ist nicht a/c + jb/d. Verwende die konjugiert komplexe Zahl.
atan(b/a) als Argument nehmen, wenn a < 0. Skizziere den Punkt zuerst.
Grad in ejθ verwenden oder den Taschenrechner auf Bogenmaß lassen, wenn r∠θ in Grad gegeben ist.
Bei De Moivre vergessen, den Betrag zu potenzieren, oder nur eine Lösung von zⁿ = w angeben.
Leichte Aufgaben fragen nach einem Teil eines Produkts, Quotienten oder einer Summe. Mittlere wandeln zwischen kartesischer Form, Polarform und Exponentialform um. Schwere nutzen De Moivre, die n-ten Wurzeln und Polynomgleichungen.
Selbsttest z₁ = 2∠30° und z₂ = 4∠50°. Was ist z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Antwort: 8∠80°. Multipliziere die Beträge (2·4 = 8) und addiere die Argumente (30° + 50° = 80°). Addiert man die Beträge, erhält man 6, und das Multiplizieren der Winkel ergibt keinen Sinn.
Bestimme für z₁ = −7 + j und z₂ = 4 + j2 den Realteil des Produkts z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Gesucht: Re(z₁z₂)
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Multipliziere die Klammern wie (a + b)(c + d) aus, das ergibt vier Terme.
Ersetze j² durch −1, damit einer der vier Terme reell wird.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
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Komplexe Zahlen: z = a + jb hat den Realteil a und den Imaginärteil b, mit j² = −1 (Mathematiker schreiben i). Addiere und subtrahiere Teil für Teil; multipliziere die Klammern aus und ersetze j² durch −1; dividiere, indem du Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, z̄ = a − jb, multiplizierst, denn z·z̄ = a² + b² ist reell. In der Gaußschen Zahlenebene ist z der Punkt (a, b): Sein Abstand vom Ursprung ist der Betrag |z| = √(a² + b²), und der Winkel von der positiven reellen Achse ist das Argument θ.
Schreibe z = 4∠160° in kartesischer Form a + jb und gib den Imaginärteil b an.
r = 4θ = 160°
Gesucht: b
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a = r·cos θ und b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Multipliziere mit r = 4.
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Polarform: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, mit r = |z| und θ = arg z. Zurück zur kartesischen Form: a = r cos θ, b = r sin θ. Für das Argument braucht man den Quadranten: θ = atan(b/a) gilt nur für a > 0; für a < 0 addiere oder subtrahiere 180°. In der Polarform ist die Multiplikation einfach: Multipliziere die Beträge und addiere die Argumente; bei der Division teile die Beträge und subtrahiere die Argumente.
Komponenten
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Kartesische Form
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Antwort
b = 1,368
Beispiel 3Schwer
Die Lösungen von zⁿ = w mit n = 4 und w = 16∠−60° sind zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Bestimme den Realteil von z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Gesucht: Re(z₂)
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Jede Wurzel hat den Betrag R1/n = 161/4 = 2.
Das Argument von z₂ ist (φ + 360°·k)/n mit φ = −60°, k = 2 und n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
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De Moivre und Wurzeln: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Die Gleichung zⁿ = R∠φ hat genau n Lösungen, alle mit dem Betrag R1/n, bei den Argumenten (φ + 360°·k)/n für k = 0, 1, …, n − 1: Sie liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis, jeweils 360°/n auseinander. Eine quadratische Gleichung z² + pz + q = 0 mit p² < 4q hat die komplexen Lösungen z = −p/2 ± j√(q − p²/4); ein Polynom mit reellen Koeffizienten hat seine komplexen Nullstellen immer in konjugierten Paaren a ± jb.
Betrag der Wurzeln
161/4 = 2
Argument der Wurzel
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Kartesische Form
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Antwort
Re(z₂) = −1,932
Die 4 Wurzeln liegen auf dem Kreis mit dem Radius 2, jeweils 90° auseinander.
Fragen und Antworten
Komplexe Zahlen: Worum geht es?
Die Gleichung x² = −1 hat keine reelle Lösung. Ingenieure führen eine neue Zahl j mit j² = −1 ein. Mathematiker schreiben i; in der Technik verwendet man j, weil i bereits den Strom bezeichnet.
Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + jb. Die Zahl a ist der Realteil und b der Imaginärteil: Re(z) = a und Im(z) = b.
Komplexe Zahlen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Entscheide, welche Form zur Operation passt: kartesisch a + jb zum Addieren und Subtrahieren, polar r∠θ zum Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Wurzelziehen.
Multipliziere mit j² = −1 aus; dividiere, indem du Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multiplizierst.
Wandle mit r = √(a² + b²) um und bestimme θ anhand einer Skizze des Punktes (Quadrant prüfen), und zurück mit a = r cos θ, b = r sin θ.
Verwende für Potenzen De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; liste für zⁿ = R∠φ alle n Wurzeln R1/n∠((φ + 360°k)/n) auf.
Komplexe Zahlen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
j² beim Ausmultiplizieren als +1 behandeln.
Real- und Imaginärteil getrennt dividieren.
atan(b/a) als Argument für einen Punkt in der linken Halbebene nehmen.
Grad und Bogenmaß vermischen, besonders in ejθ.
Nur eine Lösung von zⁿ = w angeben oder vergessen, die n-te Wurzel des Betrags zu ziehen.
Komplexe Zahlen: Was wird geübt?
Leicht: Rechnen in kartesischer Form
Mittel: Polar- und Exponentialform
Schwer: De Moivre, Wurzeln und Gleichungen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.