Ableitungen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Differentialrechnung · Ableitungsregeln · Kettenregel

Kostenlose Übungsaufgaben zu Ableitungen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Potenzregel, Ketten- und Produktregel, Tangenten und Extrema.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
xyx = −2

Gegeben ist f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Bestimme die Steigung des Graphen bei x = −2, also f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
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Was du übst

  1. LeichtPotenzregel
  2. MittelKetten- und Produktregel
  3. SchwerTangenten und Extrema

So löst du Aufgaben zu Ableitungen

  1. Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
  2. Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
  3. Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
  4. Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Häufige Fehler

  • Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen.
  • Bei der Quotientenregel die Reihenfolge vertauschen.
  • Ein konstantes Vielfaches wie ein Produkt behandeln.

Wichtige Formeln

Potenzregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Ableitungen von Grund auf lernen

Davor: Grenzwerte

1Was eine Ableitung ist

Eine Ableitung misst, wie schnell sich etwas ändert. Wenn sich der Ort eines Autos jede Stunde um 50 km ändert, beträgt seine Geschwindigkeit 50 km/h: die Änderungsrate des Ortes.

In einem Graphen ist die Ableitung an einem Punkt die Steigung der Kurve dort: wie steil sie ansteigt oder abfällt, wenn du ganz nah heranzoomst.

Diese Steigung ist die Steigung der Tangente, der Geraden, die die Kurve an diesem Punkt gerade berührt.

xy(1, 1)m = 2

Für y = x² hat die Tangente bei x = 1 die Steigung 2. Wir schreiben f′(1) = 2, gelesen „f Strich von 1“.

  • Positive Ableitung: Der Graph steigt.
  • Negative Ableitung: Der Graph fällt.
  • Ableitung null: Der Graph ist dort waagerecht, zum Beispiel an einem Hoch- oder Tiefpunkt.
Selbsttest An einem Punkt, an dem der Graph von f fällt, ist die Ableitung …
  1. negativ
  2. nicht definiert
  3. null
  4. positiv

Antwort: negativ. Die Ableitung ist die Steigung. Ein Graph, der von links nach rechts fällt, hat eine negative Steigung.

2Die Grundregeln

Du brauchst nicht jedes Mal Grenzwerte. Einige Regeln decken die meisten Funktionen ab.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Das ist die Potenzregel: Schreibe den Exponenten nach vorn und verringere ihn um eins. Also (x³)′ = 3x² und (x)′ = 1.

  • Eine Konstante allein hat die Ableitung 0: Sie ändert sich nicht.
  • Ein konstanter Faktor bleibt erhalten: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Bei einer Summe leitest du jeden Term einzeln ab.

Lerne auch diese: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x und (cos x)′ = −sin x.

Selbsttest Wie lautet die Ableitung von 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Antwort: 12x² − 2. Potenzregel für jeden Term: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, und die Konstante 7 ergibt 0.

3Produkt- und Kettenregel

Zwei weitere Regeln behandeln Funktionen, die aus anderen Funktionen aufgebaut sind.

Produktregel, für zwei miteinander multiplizierte Funktionen:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Kettenregel, für eine Funktion in einer anderen Funktion: Leite die äußere Funktion ab, lass die innere unverändert und multipliziere dann mit der Ableitung der inneren.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Die Quotientenregel folgt aus diesen beiden: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Selbsttest Wie lautet die Ableitung von (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Antwort: 6(2x + 5)². Äußere: 3(2x + 5)². Innere: (2x + 5)′ = 2. Multiplizieren: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Die innere 2 zu vergessen ist der klassische Fehler.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Sieh dir die Struktur an: eine Summe von Termen, ein Produkt, ein Quotient oder eine Funktion in einer Funktion.
  2. Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen: √x = x1/2 und 1/x² = x−2.
  3. Wende die Regeln von außen nach innen an, Stück für Stück.
  4. Vereinfache das Ergebnis.
  5. Wenn ein Wert gefragt ist, setze die Zahl erst ganz am Ende ein.

Um einen Hoch- oder Tiefpunkt eines Graphen (ein Extremum) zu finden, löse f′(x) = 0. Die zweite Ableitung verrät dir, um welchen es sich handelt: f″ < 0 ist ein Maximum, f″ > 0 ein Minimum.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Sei f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Bestimme die Steigung bei x = 0 sowie das lokale Maximum und Minimum.

1

Gliedweise ableiten

Wende die Potenzregel auf jeden Term an. Die Konstante 1 fällt weg.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Die Steigung bei x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Die Tangente bei x = 0 steigt also um 9 Einheiten pro Einheit nach rechts.

3

Ableitung gleich null setzen

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Welches ist das Maximum?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 ist negativ, also ist x = 1 ein Maximum. f″(3) = 6 ist positiv, also ist x = 3 ein Minimum.

5

Die Werte bestimmen

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Der Graph bestätigt es: waagerecht an beiden Punkten, ein Hochpunkt bei (1, 5) und ein Tiefpunkt bei (3, 1).

Antwort

f′(0) = 9. Lokales Maximum bei (1, 5), lokales Minimum bei (3, 1).

6Häufige Fehler

  • Die Ableitung der inneren Funktion bei der Kettenregel vergessen.
  • (u · v)′ = u′ · v′ schreiben. Die Produktregel hat zwei Terme.
  • Bei der Quotientenregel die Reihenfolge verwechseln: Im Zähler steht u′v − uv′, mit einem Minus.
  • Die Zahl vor dem Ableiten einsetzen. Leite zuerst ab, setze dann ein.
  • Ein konstantes Vielfaches wie 5x³ als Produkt behandeln. Es ist einfacher: Die 5 bleibt einfach stehen.
Selbsttest Wie lautet die Ableitung von √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Antwort: 1/(2√x). √x = x1/2, also ist die Ableitung ½x−1/2 = 1/(2√x). Die Wurzel zuerst als Potenz zu schreiben macht es leicht.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: ein Polynom. Verwende die Potenzregel und bestimme die Steigung bei einem gegebenen x.
  • Mittel: die Ketten- oder die Produktregel, zum Beispiel (2x + 5)⁵ oder x²·e−x, an einer Stelle ausgewertet.
  • Schwer: Tangenten und Extrema. Löse f′(x) = 0 und entscheide, welcher Punkt das Maximum ist.

Eine schnelle Kontrolle bei Steigungsaufgaben: Stell dir den Graphen vor. Wenn er dort ansteigt, sollte deine Antwort positiv sein.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
xyx = 1

Gegeben ist f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Bestimme die Steigung des Graphen bei x = 1, also f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Gesucht: f′(1)

Tipps anzeigen
  1. Leite gliedweise mit der Potenzregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ab. Eine Konstante fällt weg.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Setze jetzt x = 1 ein.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Gliedweise ableiten

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Einsetzen

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Antwort

f′(1) = −6
Beispiel 2Mittel
xyx = 1

Gegeben ist f(x) = x3·e−x. Bestimme f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gesucht: f′(1)

Tipps anzeigen
  1. Produktregel mit u = x3 und v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Einsetzen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwort

f′(1) = 0,7358
Beispiel 3Schwer
xy

Gegeben ist f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Gesucht: x

Tipps anzeigen
  1. An einem lokalen Maximum oder Minimum ist die Ableitung null.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Bei einer kubischen Funktion mit positivem x³-Term kommt das Maximum zuerst (kleineres x) und das Minimum danach.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Ableitung

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

f′(x) = 0 lösen

x = 3 oder x = 6

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 27: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Antwort

x = 6

Fragen und Antworten

Ableitungen: Worum geht es?

Eine Ableitung misst, wie schnell sich etwas ändert. Wenn sich der Ort eines Autos jede Stunde um 50 km ändert, beträgt seine Geschwindigkeit 50 km/h: die Änderungsrate des Ortes.

In einem Graphen ist die Ableitung an einem Punkt die Steigung der Kurve dort: wie steil sie ansteigt oder abfällt, wenn du ganz nah heranzoomst.

Ableitungen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
  2. Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
  3. Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
  4. Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.
Ableitungen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen.
  • Bei der Quotientenregel die Reihenfolge vertauschen.
  • Ein konstantes Vielfaches wie ein Produkt behandeln.
Ableitungen: Was wird geübt?
  • Leicht: Potenzregel
  • Mittel: Ketten- und Produktregel
  • Schwer: Tangenten und Extrema

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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