Übungsaufgaben für AP Calculus: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Übung für die Themen von AP Calculus AB und BC: Grenzwerte, Ableitungen und ihre Anwendungen, Optimierung, Integrale, Differentialgleichungen und die BC-Themen zu Reihen mit Taylor-Polynomen.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

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Themen in diesem Kurs

  1. Grenzwertedirektes Einsetzen und Faktorisieren · Grenzwerte im Unendlichen · Regel von L'HôpitalRechenaufgaben
  2. AbleitungenPotenzregel · Ketten- und Produktregel · Tangenten und ExtremaRechenaufgaben
  3. Optimierungmaximaler Flächeninhalt oder maximales Volumen · minimale Kosten oder minimaler Materialverbrauch · Gewinn und UmsatzRechenaufgaben
  4. IntegralePolynome · Exponential, Logarithmus und Substitution · Flächen zwischen KurvenRechenaufgaben
  5. Differentialgleichungenexponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall · Newtonsches Abkühlungsgesetz · lineare DGL erster OrdnungRechenaufgaben
  6. Folgen & Reihenarithmetische und geometrische Reihen · Konvergenz und Potenzreihen · Taylor- und Maclaurin-PolynomeRechenaufgaben

Prüfungstipps für Übungsaufgaben für AP Calculus

  • Prüfe Grenzwerte zuerst durch direktes Einsetzen.
  • Prüfe bei der Optimierung sowohl die Randpunkte als auch die kritischen Punkte.
  • Trenne die Variablen, bevor du eine Differentialgleichung integrierst.

Beispielaufgaben

GrenzwerteLeicht
xyx = 1

Bestimme den Grenzwert L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Gesucht: L

Tipps anzeigen
  1. Einsetzen ergibt 0/0. Faktorisiere den Zähler.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Direktes Einsetzen versuchen

Zähler → 0 und Nenner → 0, also liegt die Form 0/0 vor.

Faktorisieren und kürzen

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Einsetzen

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwort

L = 4

Das ist die Ableitung von xⁿ an der Stelle x = a: n·aⁿ⁻¹.

AbleitungenMittel
xyx = 1

Gegeben ist f(x) = x3·e−x. Bestimme f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gesucht: f′(1)

Tipps anzeigen
  1. Produktregel mit u = x3 und v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Einsetzen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwort

f′(1) = 0,7358

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für Halbwertszeit und exponentiellen ZerfallAbleitungsrechner mit RechenschrittenIntegralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)

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