Integralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Die Stammfunktion von 1/x ist ln|x|: Der Betrag macht sie auch für negatives x gültig.
Finde eine Stammfunktion oder werte ein bestimmtes Integral aus. Bei Summen von Standardtermen wie Potenzen von x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos und sec² von ax + b, (ax + b)ⁿ und ln(ax + b) integriert der Rechner Term für Term und wertet F(b) − F(a) exakt aus. Jede andere stetige Funktion wird numerisch mit der adaptiven Simpson-Regel integriert, und der Rechner warnt vor uneigentlichen Integralen.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Die Funktion und die Grenzen lesen
Eine Stammfunktion finden, Term für Term
F(b) − F(a) berechnen
Numerische Kontrolle
Wichtige Formeln
- Potenzregel
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Bestimmtes Integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Wichtige Integrale
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Fläche zwischen Kurven
- ∫ab (f − g) dx
So wertest du ein bestimmtes Integral aus
- Zerlege den Integranden in eine Summe von Termen und integriere jeden einzeln; konstante Faktoren bleiben vorn stehen.
- Verwende die Potenzregel ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) für n ≠ −1 und ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Teile bei einer Funktion von ax + b durch a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a und ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Werte die Stammfunktion an der oberen und der unteren Grenze aus und subtrahiere: ∫ f(x) dx von a bis b = F(b) − F(a). Die Konstante C fällt weg.
- Prüfe, ob der Integrand auf [a, b] stetig ist. Hat er dort eine senkrechte Asymptote, wie 1/x bei x = 0, ist das Integral uneigentlich und braucht einen Grenzwert.
Fragen und Antworten
Welche Integrale löst der Rechner exakt?
Summen von konstanten Vielfachen von xⁿ (mit beliebigem rationalem n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan und csc·cot von ax + b, (ax + b)ⁿ und ln(ax + b). Produkte wie x·eˣ brauchen partielle Integration und werden stattdessen numerisch ausgewertet.
Wie genau ist die numerische Integration?
Die adaptive Simpson-Regel halbiert immer wieder die Teile des Intervalls, in denen sich die Schätzung ändert, bis sie bei glatten Funktionen auf etwa zehn signifikante Stellen übereinstimmt. Der Rechner zeigt die Anzahl der Funktionsauswertungen und eine Fehlerabschätzung.
Was ist das + C?
Die Integrationskonstante. Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, weil die Ableitung einer Konstanten null ist. Bei einem bestimmten Integral fällt sie weg.
Warum erhalte ich eine Fehlermeldung zu einem uneigentlichen Integral?
Der Integrand ist irgendwo in [a, b] nicht definiert oder unendlich, zum Beispiel 1/x auf [−1, 1] oder tan(x) über π/2 hinweg. Solche Integrale brauchen einen Grenzwert und können divergieren, deshalb gibt der Rechner dafür keinen Wert an.
Kann ich π in den Grenzen verwenden?
Ja. Tippe pi, pi/2 oder 2pi oder e als Grenze ein; zum Beispiel ist das Integral von sin(x) von 0 bis pi gleich 2.
Übe es selbst
Integrale üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.