Integrale: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Integralrechnung · Stammfunktion · partielle Integration
Kostenlose Übungsaufgaben zu Integrale mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Polynome, Exponential, Logarithmus und Substitution, Flächen zwischen Kurven.
Integrale von Grund auf lernen
Davor: Ableitungen
1Was ein Integral ist
Ein Integral addiert eine Größe auf, die sich ändert. Das anschaulichste Bild ist eine Fläche unter einem Graphen.
Ein Auto fährt 5 s lang mit 20 m/s. Es legt 20 · 5 = 100 m zurück. In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist das die Fläche des Rechtecks unter der Linie.
Ändert sich die Geschwindigkeit, ist die Form unter dem Graphen gekrümmt, aber die Idee bleibt dieselbe: Die Fläche ist die Strecke.
Wir schreiben die Fläche unter f zwischen x = a und x = b so:
∫ab f(x) dx
Die Zahlen a und b sind die Grenzen des Integrals. Das dx sagt dir, dass x die Variable ist.
Selbsttest Ein Radfahrer fährt 4 s lang mit konstant 10 m/s. Wie groß ist die Fläche unter dem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm?
- 10 m
- 14 m
- 2,5 m
- 40 m
Antwort: 40 m. Die Fläche ist ein Rechteck: Höhe 10 m/s mal Breite 4 s ergibt 40 m. 10 durch 4 zu teilen ergibt 2,5, das ist keine Fläche.
2Stammfunktionen und die Potenzregel
Integrieren ist Differenzieren rückwärts. Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung f ist.
Da (x³)′ = 3x², ist x³ eine Stammfunktion von 3x². Jede Konstante könnte addiert werden, also schreiben wir ∫3x² dx = x³ + C.
Die Potenzregel für Integrale: Erhöhe die Potenz um eins und teile dann durch die neue Potenz.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
- Ein konstanter Faktor bleibt vorn stehen: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
- Eine Konstante allein: ∫4 dx = 4x + C.
- Bei einer Summe integrierst du jeden Term einzeln.
Lerne auch diese: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x und ∫sin x dx = −cos x.
Du kannst eine Stammfunktion immer prüfen: Leite sie ab, und du musst die ursprüngliche Funktion zurückerhalten.
Selbsttest Was ist ∫6x² dx?
- 12x + C
- 2x³ + C
- 3x³ + C
- 6x³ + C
Antwort: 2x³ + C. Erhöhe die Potenz auf 3 und teile durch 3: 6x³/3 = 2x³. 12x ist die Ableitung, nicht das Integral, und 6x³ vergisst die Division durch die neue Potenz.
3Bestimmte Integrale und Flächen
Ein bestimmtes Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl. Bestimme eine Stammfunktion F und subtrahiere dann ihre Werte an den beiden Grenzen.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Die Konstante C hebt sich bei der Subtraktion auf, du kannst sie hier also weglassen.
Beispiel: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, weil ln 1 = 0.
Die Substitution hilft, wenn eine Funktion in einer anderen steckt. Für e0,5x setze u = 0,5x. Das Ergebnis ist die obige Regel: durch die 0,5 teilen.
∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963
Die Fläche zwischen zwei Kurven ist das Integral der oberen Kurve minus der unteren Kurve, zwischen den Punkten, an denen sie sich treffen.
Für y = 2x und y = x² treffen sich die Kurven bei x = 0 und x = 2. In diesem Intervall liegt 2x oben.
A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Selbsttest Die Kurven y = x und y = x² treffen sich bei x = 0 und x = 1. Dazwischen liegt y = x oben. Wie groß ist die eingeschlossene Fläche?
- 1/2
- 1/6
- 5/6
- −1/6
Antwort: 1/6. ∫(x − x²) dx von 0 bis 1 ist 1/2 − 1/3 = 1/6. Wer unten minus oben rechnet, erhält −1/6, und wer die beiden Integrale addiert, erhält 5/6.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Schreibe die Funktion als Summe einfacher Terme um. Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen: √x = x1/2.
- Bestimme zu jedem Term mit der Potenzregel oder einem Standardintegral eine Stammfunktion.
- Prüfe es kurz, indem du im Kopf ableitest.
- Berechne bei einem bestimmten Integral F(b) und F(a) getrennt.
- Subtrahiere: F(b) − F(a). Achte auf die Minuszeichen, wenn a negativ ist.
Löse bei einer Fläche zwischen Kurven zuerst f(x) = g(x), um die Grenzen zu finden, und integriere dann oben minus unten.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielBerechne I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.
13x² ergibt 3x³/3 = x³. 2x ergibt 2x²/2 = x². Die Konstante 1 ergibt x.
F(x) = x³ + x² + x
2F′(x) = 3x² + 2x + 1
Das ist die ursprüngliche Funktion, also ist F richtig.
5I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
Das Integral ist die schattierte Fläche unter der Kurve zwischen x = 0 und x = 2.
6Häufige Fehler
- Vergessen, durch den neuen Exponenten zu teilen.
- Ableiten statt integrieren: die Potenz senken statt erhöhen.
- ∫1/x dx als x⁰/0 schreiben. Die Potenzregel funktioniert für n = −1 nicht; verwende ln|x|.
- Die Minuszeichen in F(a) vergessen, wenn a negativ ist, zum Beispiel (−1)³ = −1.
- + C bei einem unbestimmten Integral vergessen oder die Grenzen nach einer Substitution nicht ändern.
Selbsttest Was ist ∫02 x³ dx?
- 12
- 16
- 4
- 8
Antwort: 4. F(x) = x⁴/4, also F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Wer die Division durch die neue Potenz 4 vergisst, erhält 16.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: ein bestimmtes Integral eines Polynoms, manchmal mit negativen Grenzen. Verwende die Potenzregel und F(b) − F(a).
- Mittel: Exponentialfunktionen, Logarithmen und Substitution, etwa ∫e0,5x dx oder ∫3/x dx zwischen zwei Grenzen.
- Schwer: die von zwei Kurven eingeschlossene Fläche, etwa y = x² und y = 4x. Bestimme, wo sie sich treffen, und integriere dann oben minus unten.
Eine schnelle Probe: Eine von zwei Kurven eingeschlossene Fläche ist immer positiv. Erhältst du eine negative Zahl, hast du in der falschen Reihenfolge subtrahiert.
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