Laplace-Transformationen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Laplace-Transformation · Übertragungsfunktion
Kostenlose Übungsaufgaben zu Laplace-Transformationen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Tabellenpaare und Wertesätze, Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung, Differentialgleichungen und Übertragungsfunktionen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Signal f(t) hat die Laplace-Transformierte F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Bestimme mit dem Endwertsatz den Wert f(∞), auf den sich f(t) einschwingt.
Schaltungen, Motoren und Tanks werden durch Differentialgleichungen beschrieben: Der Ausgang hängt von seiner eigenen Änderungsrate ab. Sie direkt zu lösen ist mühsam.
Die Laplace-Transformation macht aus einem solchen Problem Algebra. Du ersetzt jede Zeitfunktion f(t) durch eine Funktion F(s) einer neuen Variablen s.
Du löst das Problem mit gewöhnlicher Algebra in s und übersetzt das Ergebnis dann zurück in die Zeit. Dieser letzte Schritt ist die Rücktransformation.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Du verwendest dieses Integral selten selbst. In der Praxis schlägst du Korrespondenzen in einer Tabelle nach, wie Wörter in einem Wörterbuch zwischen zwei Sprachen.
Die Abbildung zeigt drei gängige Signale: eine Konstante 1 (einen Sprung), eine abklingende Exponentialfunktion und einen Sinus. Unter jedem steht seine Transformierte.
Selbsttest Wie lautet die Laplace-Transformierte des konstanten Signals f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Antwort: 5/s. Ein konstanter Faktor bleibt vorn stehen, und ℒ{1} = 1/s. Also ℒ{5} = 5/s. Die Antwort 5 vergisst, dass die Transformierte einer Konstante immer den Faktor 1/s trägt.
2Die Tabelle der Korrespondenzen
Lerne diese fünf Paare. Zusammen mit zwei Regeln decken sie fast jede Prüfungsaufgabe ab.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Linearität: Konstanten bleiben vorn, und eine Summe wird Term für Term transformiert. Also 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Verschiebung: Das Ersetzen von s durch s + a multipliziert die Zeitfunktion mit e−at. Also (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Achte auf das Sinus-Paar: Der Zähler muss ω selbst sein. Für 12/(s² + 9) hast du ω = 3, schreibe also 12 = 4·3. Das Ergebnis ist 4·sin 3t.
In sin ωt und cos ωt ist der Winkel ωt im Bogenmaß. Stelle deinen Taschenrechner auf Bogenmaß, bevor du auswertest.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme f(t) für F(s) = 6/(s + 3) + 2/s und werte f(0,5) aus.
1
Jeden Term einem Paar zuordnen
6/(s + 3) hat die Form 1/(s + a) mit a = 3, mal 6. Der Term 2/s ist die Konstante 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
f(t) aufschreiben
Addiere die beiden Teile (Linearität):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Bei t = 0,5 auswerten
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Antwort
f(t) = 6·e−3t + 2, also f(0,5) ≈ 3,34.
Selbsttest Wie lautet die Rücktransformierte von 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Antwort: 2·sin 4t. ω² = 16, also ω = 4. Das Paar braucht 4 im Zähler: 8 = 2·4, was 2·sin 4t ergibt. 8·sin 4t vergisst, durch ω zu teilen. Der Kosinus gehört zu s im Zähler.
3Anfangs- und Endwerte ohne Rücktransformation
Manchmal brauchst du nur zu wissen, wo f(t) beginnt oder wo es endet. Zwei Sätze liefern das direkt aus F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Anfangswert (s → ∞): Für sehr große s zählt nur die höchste Potenz von s im Zähler und im Nenner.
Endwert (s → 0): Kürze den Faktor s, dann setze s = 0 in alle verbleibenden Faktoren ein, Nullstellen eingeschlossen.
Der Endwertsatz funktioniert nur, wenn f(t) wirklich einschwingt: Alle Pole von s·F(s) müssen einen negativen Realteil haben.
Endwert: Für F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) erhältst du s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Bei s = 0 ist das 12/6 = 2, also f(∞) = 2.
Anfangswert: Für F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) erhältst du s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Für große s verhält sich das wie 3s²/s², also f(0⁺) = 3.
Für die Anfangssteigung f′(0⁺) verwende die Transformierte der Ableitung, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Wende darauf dann den Anfangswertsatz an:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Für dasselbe F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Multipliziere mit s und lasse s → ∞ gehen. Die höchsten Potenzen ergeben −5s²/s², also f′(0⁺) = −5.
Antwort: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), das bei s = 0 gleich 20/20 = 1 ist. Lässt man den Nullstellenfaktor (s + 2) weg, erhält man 0,5. Der Wert 0 ist der Grenzwert s → ∞, also der Anfangswert.
4Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt
Die meisten F(s) stehen nicht so, wie sie sind, in der Tabelle. Du zerlegst sie in einfache Brüche, die darin stehen. Das nennt man Partialbruchzerlegung.
Jede Nullstelle des Nenners ist ein Pol. Ein einfacher Pol bei s = −a ergibt einen Term A/(s + a), der in der Zeit zu A·e−at wird.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Die Zuhalte-Methode (Cover-up) liefert jeden Koeffizienten. Um A zu finden, halte den Faktor (s + a) in F(s) zu und setze s = −a in alles Übrige ein.
Beispiel: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Dann ist A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 und B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Also f(t) = 2e−t − e−4t.
Die Lage eines Pols verrät dir die Form. Ein reeller Pol bei −3 ergibt einen reinen Abfall e−3t. Ein komplexes Paar −1 ± j2 ergibt eine abklingende Schwingung, e−t mal sin 2t oder cos 2t.
Mehrfacher Pol (s + a)²: Schreibe A/(s + a) + B/(s + a)². Der zweite Term ergibt B·t·e−at. Also (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Zerlege den Nenner in Faktoren und liste die Pole auf. Bei einer quadratischen Gleichung bestimme ihre Nullstellen oder ergänze quadratisch.
Schreibe einen Bruch pro Pol: A/s, B/(s + a) und so weiter. Ein mehrfacher Pol erhält auch einen quadrierten Term.
Bestimme jeden Koeffizienten mit der Zuhalte-Methode. Behalte die Vorzeichen der verbleibenden Faktoren bei.
Übersetze jeden Term mit der Tabelle zurück in die Zeit.
Setze die Zeit t ein (Bogenmaß für Sinus und Kosinus). Prüfe f(0⁺) und f(∞) mit den Wertsätzen.
Selbsttest F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). Wie groß ist A?
2
4
−1
−2
Antwort: 2. Verdecke (s + 1) und setze s = −1 in den Rest ein: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Der Wert −1 ist B. 4 vergisst die Division durch den verbleibenden Faktor, und −2 vertauscht das Vorzeichen des verbleibenden Faktors: 4/(−2) statt 4/2.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Das ist eine typische mittelschwere Frage. Probiere jeden Schritt selbst aus, bevor du ihn aufklappst.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme f(t) für F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) mit Partialbruchzerlegung und werte f(0,5) aus.
1
Die Brüche ansetzen
Der Nenner ist bereits zerlegt. Die Pole sind s = 0, s = −2 und s = −3, alle einfach.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Zuhalte-Methode für A
Halte den Faktor s zu und setze s = 0 in den Rest ein:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Zuhalte-Methode für B und C
Halte (s + 2) zu und setze s = −2. Halte dann (s + 3) zu und setze s = −3. Behalte jedes Vorzeichen.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Zurück in die Zeit
Jeder Term ist ein Tabellenpaar: 2/s ↔ 2, und B/(s + a) ↔ B·e−at.
Bei t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Der Anfangswertsatz stimmt überein, weil s·F(s) für große s gegen 0 geht.
Für t → ∞ bleibt nur die 2. Der Endwertsatz liefert 12/(2·3) = 2 ebenfalls.
Antwort
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, also f(0,5) ≈ 0,685.
6Häufige Fehler
Die Sätze verwechseln: s → ∞ ergibt den Anfangswert f(0⁺), und s → 0 ergibt den Endwert f(∞).
Den Faktor s in s·F(s) vergessen oder einen Nullstellenfaktor wie (s + 2) weglassen, wenn du s = 0 setzt.
Vorzeichenfehler bei der Zuhalte-Methode: Bei s = −3 ist der Faktor (s + 2) gleich −1, nicht 5.
Das Sinus-Paar verwenden, ohne durch ω zu teilen: ω/(s² + ω²) braucht ω im Zähler.
sin ωt oder cos ωt mit dem Taschenrechner in Grad auswerten. Der Winkel ωt ist im Bogenmaß.
Den Endwertsatz verwenden, wenn f(t) nie einschwingt, zum Beispiel bei F(s) = 1/(s² + 4), das ein reiner Sinus ist.
Selbsttest F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Wie groß ist mit der Zuhalte-Methode der Koeffizient B von e−3t?
3
6
−2
−3
Antwort: −3. Halte (s + 3) zu und setze s = −3 in den Rest ein: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Ein positives 3 ist ein Vorzeichenfehler (es ist der Koeffizient A von e−t). −2 teilt durch den Polwert statt durch den verbleibenden Faktor.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Tabellenpaare und Wertsätze. Du transformierst eine Konstante, eine Exponentialfunktion, t·e−at, einen Sinus oder einen Kosinus zurück und wertest sie aus, oder du bestimmst f(0⁺), f(∞) oder die Anfangssteigung f′(0⁺).
Mittel: Rücktransformation mit Partialbruchzerlegung. Du bestimmst einen Koeffizienten A, transformierst drei einfache Pole s(s + a)(s + b) zurück, einen mehrfachen Pol oder komplexe Pole durch quadratische Ergänzung.
Schwer: Differentialgleichungen und Übertragungsfunktionen, zum Beispiel y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) mit gegebenen Anfangswerten. Du bestimmst y zu einem gegebenen Zeitpunkt.
Transformiere für den schweren Level jede Ableitung zusammen mit ihren Anfangsbedingungen:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Löse dann die algebraische Gleichung nach Y(s) auf und transformiere mit Partialbruchzerlegung zurück, wie im durchgerechneten Beispiel.
Ein Signal f(t) hat die Laplace-Transformierte F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Bestimme mit dem Endwertsatz den Wert f(∞), auf den sich f(t) einschwingt.
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Gesucht: f(∞)
Tipps anzeigen
Endwertsatz: f(∞) = lim s·F(s) für s → 0.
Prüfe zuerst, ob alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen, damit sich f(t) wirklich einschwingt.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Prüfe, ob der Satz anwendbar ist
Der Satz gilt nur, wenn sich f(t) einschwingt; ein Pol auf der imaginären Achse oder in der rechten Halbebene würde eine falsche Antwort liefern.
Pole von s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, alle in der linken Halbebene.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Ihre Rücktransformierte hat die Form f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Bestimme den Koeffizienten A mit der Partialbruchzerlegung.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Gesucht: A
Tipps anzeigen
Zerlege den Nenner in Faktoren: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Zuhaltemethode: A = [(s + 6)·F(s)] bei s = −6.
Bei s = −6: Zähler 16, anderer Faktor 2.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Nenner in Faktoren zerlegen
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Zuhaltemethode
Multipliziere mit (s + 6) und setze s = −6: Der B-Term verschwindet.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Antwort
A = 8
(B = −7, also f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Beispiel 3Schwer
Ein System gehorcht y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), mit y(0) = 5 und y′(0) = 0. Bei t = 0 wird ein Sprung u(t) = 5 auf den Eingang gegeben. Bestimme mit der Laplace-Transformation y(0,6).
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Gleichung transformieren
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Partialbruchzerlegung
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Ergebnis
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Antwort
y(0,6) = 10,31
Kontrolle: y(0) = A + B + C = 5.
Fragen und Antworten
Laplace-Transformationen: Worum geht es?
Schaltungen, Motoren und Tanks werden durch Differentialgleichungen beschrieben: Der Ausgang hängt von seiner eigenen Änderungsrate ab. Sie direkt zu lösen ist mühsam.
Die Laplace-Transformation macht aus einem solchen Problem Algebra. Du ersetzt jede Zeitfunktion f(t) durch eine Funktion F(s) einer neuen Variablen s.
Laplace-Transformationen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Laplace-Transformationen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Bei s = 0 ist der Faktor s² + 2s + 23 gleich seinem konstanten Term 23.
Bilde den Grenzwert s → 0, nicht s = 1.
Das ist B, der Koeffizient von e−8t. A gehört zum Pol s = −6.
Laplace-Transformationen: Was wird geübt?
Leicht: Tabellenpaare und Wertesätze
Mittel: Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung
Schwer: Differentialgleichungen und Übertragungsfunktionen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.