Gleichstrommotoren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Gleichstrommotoren mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Gegen-EMK, Strom und Drehmoment, Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie und Wirkungsgrad, Anlauf und Drehzahlsteuerung.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
+−240 VRa​M+−E = 216 Vn = 1800 rpmT

Ein Gleichstrommotor dreht sich mit 1800 rpm, und seine Gegen-EMK bei dieser Drehzahl beträgt 216 V. Bestimme die Motorkonstante k in V·s/rad.

E = 216 Vn = 1800 rpm
V·s/rad
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Was du übst

  1. LeichtGegen-EMK, Strom und Drehmoment
  2. MittelDrehzahl-Drehmoment-Kennlinie und Wirkungsgrad
  3. SchwerAnlauf und Drehzahlsteuerung

So löst du Aufgaben zu Gleichstrommotoren

  1. Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
  2. Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
  3. Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
  4. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.

Häufige Fehler

  • Die Drehzahl in E = k·ω oder P = T·ω in rpm zu belassen.
  • Zu vergessen, dass die Gegen-EMK im Stillstand null ist, was den Anlaufstrom sehr groß macht.
  • Den Spannungsabfall im Anker zur Versorgung zu addieren, statt ihn abzuziehen.
  • Den Strom nach der Feldschwächung konstant zu lassen: Dasselbe Drehmoment braucht mehr Strom.

Wichtige Formeln

Ankerkreis
V = E + IaRa
Gegen-EMK und Drehmoment
E = k·ω, T = k·Ia
Geschwindigkeit
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Leerlaufdrehzahl und Blockiermoment
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Leistungen
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Anlauf
Istart = V/(Ra + Rst)
Drehzahländerung
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maximale entwickelte Leistung
Pmax = V²/(4Ra)
Gleichstromstellerantrieb
Va = D·Vdc

Gleichstrommotoren von Grund auf lernen

Davor: Reihen- und Parallelschaltung

1Was ein Gleichstrommotor ist

Ein Gleichstrommotor wandelt elektrische Leistung in Drehung um. Der Strom in der rotierenden Wicklung, dem Anker, liegt in einem Magnetfeld und erfährt eine Kraft, die ein Drehmoment an der Welle ergibt.

Während sich der Anker dreht, wirkt er auch als Generator. Er erzeugt eine Spannung, die der Versorgung entgegenwirkt: die Gegen-EMK E. Je schneller er sich dreht, desto größer ist E.

+−VRa​M+−EωT

Elektrisch ist der Anker ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK. Dieses einfache Modell erklärt, wie Drehzahl, Drehmoment und Strom voneinander abhängen.

Selbsttest Wie groß ist die Gegen-EMK eines Gleichstrommotors im Moment des Einschaltens, bevor er sich dreht?
  1. Die Hälfte der Versorgungsspannung
  2. Gleich der Versorgungsspannung
  3. Null
  4. Wie bei voller Drehzahl

Antwort: Null. Die Gegen-EMK ist proportional zur Drehzahl, E = k·ω. Im Stillstand ist ω = 0, also E = 0, und nur Ra begrenzt den Strom.

2Die vier Motorgleichungen

Durchlaufe den Ankerkreis:

V = E + Ia·Ra

Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl und das Drehmoment mit dem Strom, mit derselben Motorkonstante k in SI-Einheiten (V·s/rad = N·m/A):

E = k·ω T = k·Ia

Drehzahlen werden oft in Umdrehungen pro Minute angegeben. Rechne um, bevor du die Gleichungen verwendest:

ω = 2π·n/60

Die in mechanische Form umgesetzte Leistung ist die entwickelte Leistung E·Ia = T·ω. Die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Differenz Ia²Ra geht als Wärme im Anker verloren.

Selbsttest Ein Motor hat k = 0,5 N·m/A und nimmt einen Ankerstrom von 8 A auf. Welches Drehmoment entwickelt er?
  1. 0,0625 N·m
  2. 16 N·m
  3. 4 N·m
  4. 8 N·m

Antwort: 4 N·m. T = k·Ia = 0,5·8 = 4 N·m. Die Division des Stroms durch k ergibt 16, und die Division von k durch den Strom ergibt 0,0625.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Zeichne den Ankerkreis und liste auf, was gegeben ist: V, Ra, k und ein Lastmoment, ein Strom oder eine Drehzahl.
  2. Ist ein Drehmoment gegeben, bestimme den Strom aus Ia = T/k.
  3. Bestimme die Gegen-EMK aus V = E + IaRa.
  4. Bestimme die Drehzahl aus ω = E/k und rechne in rpm um, falls gefragt: n = 60·ω/(2π).
  5. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus und ziehe die Kupferverluste und dann die Rotationsverluste ab.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Gleichstrommotor mit Ra = 0,5 Ω und k = 0,8 V·s/rad läuft an 120 V und treibt ein Lastmoment von 8 N·m an. Bestimme seinen Ankerstrom, seine Drehzahl in rpm und seine entwickelte Leistung.

1

Betrachte die Schaltung

+−120 VRa​ = 0,5 ΩIa​ ?M+−En ?T = 8 N·m

Das Lastmoment legt den Strom fest; der Strom legt den Spannungsabfall fest; die Gegen-EMK legt dann die Drehzahl fest.

2

Ankerstrom

Ia = T/k = 8/0,8 = 10 A
3

Gegen-EMK

E = V − IaRa = 120 − 10·0,5 = 115 V
4

Geschwindigkeit

ω = E/k = 115/0,8 = 143,75 rad/s
n = 60·143,75/(2π) = 1373 rpm
5

Entwickelte Leistung und eine Probe

Pdev = E·Ia = 115·10 = 1150 W

Probe auf der Wellenseite: T·ω = 8·143,75 = 1150 W. Die Aufnahme beträgt 120·10 = 1200 W, also gehen 50 W in Ra verloren.

Antwort

Ia = 10 A, n = 1373 rpm und Pdev = 1150 W.

5Drehzahl-Drehmoment-Gerade, Anlauf und Drehzahlsteuerung

Das Zusammenfassen der Gleichungen ergibt eine Gerade: Die Drehzahl sinkt ein wenig, wenn das Lastmoment steigt.

ω = V/k − Ra·T/k²
Tn14321928 N·m, 1373
  • Leerlaufdrehzahl (T = 0): ω0 = V/k. Im Beispiel 150 rad/s oder 1432 rpm.
  • Blockiermoment (ω = 0): T = k·V/Ra = 0,8·120/0,5 = 192 N·m.
  • Anlaufstrom: V/Ra = 240 A, weit über dem Betriebsstrom. Ein Anlasswiderstand in Reihe hält ihn niedrig.
  • Drehzahlsteuerung: Senke die Ankerspannung (zum Beispiel mit einem Gleichstromsteller, Va = D·Vdc), füge einen Vorwiderstand hinzu oder schwäche das Feld, um oberhalb der Nenndrehzahl zu fahren.
Selbsttest Der 120-V-Motor mit Ra = 0,5 Ω muss mit höchstens 30 A anlaufen. Welcher Anlasswiderstand wird benötigt?
  1. 0,5 Ω
  2. 3,5 Ω
  3. 4 Ω
  4. 4,5 Ω

Antwort: 3,5 Ω. Der Gesamtwiderstand muss 120/30 = 4 Ω betragen. Der Anker liefert bereits 0,5 Ω, also ist der Widerstand 4 − 0,5 = 3,5 Ω. Wer Ra addiert statt zu subtrahieren, erhält 4,5 Ω.

6Häufige Fehler

  • Die Drehzahl in E = k·ω oder P = T·ω in rpm zu belassen.
  • Den Spannungsabfall im Anker zur Versorgung zu addieren, statt ihn abzuziehen: Bei einem Motor ist E kleiner als V.
  • Zu vergessen, dass die Gegen-EMK im Stillstand null ist.
  • Den Strom nach dem Schwächen des Feldes unverändert zu lassen: Bei kleinerem k braucht dasselbe Drehmoment mehr Strom.
Selbsttest Ein Motor hat bei 1000 rpm eine Gegen-EMK von 100 V. Wie groß ist seine Motorkonstante k?
  1. 0,0159 V·s/rad
  2. 0,1 V·s/rad
  3. 0,955 V·s/rad
  4. 6 V·s/rad

Antwort: 0,955 V·s/rad. ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s, also k = 100/104,7 = 0,955. Die direkte Division durch die rpm ergibt 0,1, und das Vergessen der 60 ergibt 0,0159.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Gegen-EMK, Strom und Drehmoment. Du bestimmst E, Ia, das Drehmoment aus k, die Motorkonstante aus einer Drehzahl, die Drehzahl, den Anlaufstrom oder die entwickelte Leistung.
  • Mittel: Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie und Wirkungsgrad. Du bestimmst die Leerlaufdrehzahl, die Drehzahl bei einer Last, das Blockiermoment, den Wirkungsgrad mit Rotationsverlusten, die Drehzahländerung oder das Wellenmoment aus einer Leistung.
  • Schwer: Anlauf und Drehzahlsteuerung. Du dimensionierst einen Anlasswiderstand, bestimmst die Ankerspannung oder den Vorwiderstand für eine Drehzahl, die Drehzahl nach einer Feldschwächung, den Tastgrad eines Gleichstromstellerantriebs, die maximale Leistung oder die Drehzahl nach einer Laständerung.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
+−120 VRa​Ia​ = 8 AM+−EωT = ?

Ein permanentmagneterregter Gleichstrommotor hat die Drehmomentkonstante k = 0,6 N·m/A. Bestimme das Drehmoment T, das er bei einem Ankerstrom von 8 A entwickelt.

k = 0,6 N·m/AIa = 8 A

Gesucht: T (N·m)

Tipps anzeigen
  1. Die Drehmomentkonstante verknüpft Drehmoment und Ankerstrom.
  2. T = k·Ia.
  3. T = 0,6·8.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Drehmoment

T = k·Ia = 0,6·8 = 4,8 N·m

Antwort

T = 4,8 N·m

In SI-Einheiten ist dasselbe k die Gegen-EMK-Konstante in V·s/rad.

Beispiel 2Mittel
T (N·m)n (rpm)20 N·mn0​n = ?

Ein Gleichstrommotor (k = 0,8 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) läuft an 110 V und treibt ein Lastmoment von 20 N·m an. Bestimme seine Drehzahl n in rpm.

V = 110 Vk = 0,8 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 20 N·m

Gesucht: n (rpm)

Tipps anzeigen
  1. Das Drehmoment bestimmt den Strom: Ia = T/k.
  2. Ia = 20/0,8 = 25 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Ankerstrom

Ia = T/k = 20/0,8 = 25 A

Gegen-EMK und Drehzahl

E = 110 − 25·0,4 = 100 V
ω = E/k = 125 rad/s → n = 1194 rpm

Antwort

n = 1194 rpm
Beispiel 3Schwer
+−120 VRa​ = 1 ΩM+−En = ?T = 6 N·m

Ein fremderregter Gleichstrommotor (k = 1,5 V·s/rad bei vollem Feld, Ra = 1 Ω, V = 120 V) treibt ein konstantes Lastmoment von 6 N·m an. Der Feldfluss wird auf 75 % seines vollen Werts verringert. Bestimme die neue Drehzahl n.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radRa = 1 ΩT = 6 N·mΦ = 75 %

Gesucht: n (rpm)

Tipps anzeigen
  1. Beide Konstanten skalieren mit dem Fluss: k₂ = 0,75·k = 1,125.
  2. Ia = T/k₂ = 5,333 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k₂.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gleichstrommotor: Der Anker ist ein Widerstand Ra in Reihe mit der Gegen-EMK E, also V = E + Ia·Ra. Die Gegen-EMK wächst mit der Drehzahl, E = k·ω, und das Drehmoment mit dem Strom, T = k·Ia, mit derselben Motorkonstante k (V·s/rad = N·m/A) in SI-Einheiten. Rechne Drehzahlen mit ω = 2π·n/60 um. Die entwickelte Leistung ist E·Ia = T·ω; die aufgenommene Leistung ist V·Ia, und die Kupferverluste Ia²Ra sowie die Reibungsverluste bilden die Differenz. Die Drehzahl fällt linear mit dem Drehmoment, ω = V/k − Ra·T/k², von der Leerlaufdrehzahl V/k bis null beim Blockiermoment k·V/Ra. Im Stillstand ist E = 0, daher ist der Anlaufstrom V/Ra groß, sofern kein Widerstand ihn begrenzt.

Geschwächte Motorkonstante

k₂ = 0,75·1,5 = 1,125 V·s/rad

Neuer Ankerstrom

Ia = 6/1,125 = 5,333 A

Neue Drehzahl

ω = (120 − 5,333·1)/1,125 = 101,9 rad/s → n = 973,3 rpm

Antwort

n = 973,3 rpm

So fährt ein Gleichstromantrieb oberhalb seiner Nenndrehzahl: mit Feldschwächung.

Fragen und Antworten

Gleichstrommotoren: Worum geht es?

Ein Gleichstrommotor wandelt elektrische Leistung in Drehung um. Der Strom in der rotierenden Wicklung, dem Anker, liegt in einem Magnetfeld und erfährt eine Kraft, die ein Drehmoment an der Welle ergibt.

Während sich der Anker dreht, wirkt er auch als Generator. Er erzeugt eine Spannung, die der Versorgung entgegenwirkt: die Gegen-EMK E. Je schneller er sich dreht, desto größer ist E.

Gleichstrommotoren: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Zeichne den Ankerkreis: Versorgung V, Widerstand Ra und Gegen-EMK E in Reihe.
  2. Verwende V = E + Ia·Ra, um Spannung, Strom und Gegen-EMK zu verknüpfen.
  3. Verwende E = k·ω für die Drehzahl und T = k·Ia für das Drehmoment, mit ω = 2π·n/60.
  4. Gehe für Leistung und Wirkungsgrad von V·Ia aus, ziehe die Kupferverluste Ia²·Ra ab und dann die Rotationsverluste.
Gleichstrommotoren: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die Drehzahl in E = k·ω oder P = T·ω in rpm zu belassen.
  • Zu vergessen, dass die Gegen-EMK im Stillstand null ist, was den Anlaufstrom sehr groß macht.
  • Den Spannungsabfall im Anker zur Versorgung zu addieren, statt ihn abzuziehen.
  • Den Strom nach der Feldschwächung konstant zu lassen: Dasselbe Drehmoment braucht mehr Strom.
Gleichstrommotoren: Was wird geübt?
  • Leicht: Gegen-EMK, Strom und Drehmoment
  • Mittel: Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie und Wirkungsgrad
  • Schwer: Anlauf und Drehzahlsteuerung

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