Überlagerungssatz: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Superpositionsprinzip · Überlagerungsprinzip · Überlagerungsverfahren
Kostenlose Übungsaufgaben zu Überlagerungssatz mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: 2 Spannungsquellen, Spannungs- + Stromquelle, 3 Quellen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme mit dem Überlagerungssatz den Strom IR1 durch R1 in Pfeilrichtung.
Zähle die unabhängigen Quellen. Für jede Quelle löst du eine einfachere Schaltung.
Behalte eine Quelle und schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss (ein Draht), eine Stromquelle zum Leerlauf (eine Unterbrechung).
Berechne in der einfacheren Schaltung die gesuchte Spannung oder den gesuchten Strom und achte auf die Richtung.
Wiederhole das für jede Quelle und addiere dann die Beiträge mit ihren Vorzeichen.
Häufige Fehler
Eine Spannungsquelle entfernen, statt sie durch einen Draht zu ersetzen.
Beiträge addieren, ohne ihre Richtungen zu prüfen.
Superposition für die Leistung verwenden: Die Leistung ist nicht linear, bestimme also zuerst den Gesamtstrom und dann die Leistung.
Viele Schaltungen haben mehr als eine Quelle: zwei Batterien oder eine Batterie und eine Stromquelle.
Sie alle auf einmal zu lösen, kann schwierig sein. Mit dem Überlagerungssatz teilst du die Aufgabe in einfachere Teile auf.
Die Idee: Jede Quelle treibt ihren eigenen Strom durch die Schaltung. Der tatsächliche Strom in einem Widerstand ist die Summe dessen, was jede Quelle für sich allein bewirkt.
Stell dir zwei Wasserhähne vor, die dieselbe Badewanne füllen. Der Wasserstand steigt um das, was der erste Hahn beisteuert, plus das, was der zweite beisteuert.
Selbsttest Was ermöglicht dir der Überlagerungssatz?
Alle Quellen außer der größten ignorieren
Alle Widerstände durch einen einzigen Widerstand ersetzen
Die Schaltung einmal pro Quelle lösen und die Ergebnisse addieren
Die Wirkungen der Quellen multiplizieren
Antwort: Die Schaltung einmal pro Quelle lösen und die Ergebnisse addieren. Du betrachtest jeweils eine Quelle, bestimmst, was sie bewirkt, und addierst am Ende alle Beiträge.
2Eine Quelle abschalten
Um eine Quelle für sich allein zu betrachten, schaltest du die anderen Quellen ab. Abschalten bedeutet, die Quelle auf null zu setzen.
Eine Spannungsquelle mit 0 V wird zu einem einfachen Draht (Kurzschluss).
Eine Stromquelle mit 0 A wird zu einer Lücke (Leerlauf).
Nur die Quellen werden abgeschaltet. Jeder Widerstand bleibt genau dort, wo er ist.
Das funktioniert für Schaltungen aus Widerständen und unabhängigen Quellen. Solche Schaltungen heißen linear: Verdoppelt man eine Quelle, verdoppelt sich alles, was sie bewirkt.
Selbsttest Wie schaltest du eine Stromquelle ab?
Den Widerstand daneben entfernen
Durch einen Kurzschluss (einen Draht) ersetzen
Durch einen Leerlauf (eine Lücke) ersetzen
Durch einen Widerstand von 1 Ω ersetzen
Antwort: Durch einen Leerlauf (eine Lücke) ersetzen. Eine abgeschaltete Stromquelle führt 0 A. Nur eine Lücke lässt unabhängig von der Spannung keinen Strom durch.
3Das Werkzeug, das du brauchst
Jede einfachere Schaltung hat nur eine Quelle, du kannst sie also mit Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen lösen.
Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)
Der Spannungsteiler ist das Werkzeug, das du am häufigsten brauchst. Zwei in Reihe geschaltete Widerstände teilen sich die Quellenspannung im Verhältnis ihrer Größe auf:
V2 = V · R2 / (R1 + R2)
Mit dem ohmschen Gesetz I = V/R erhältst du dann den Strom in jedem Widerstand, sobald du seine Spannung kennst.
Selbsttest Eine 12-V-Quelle speist 6 Ω und 2 Ω in Reihe. Wie groß ist die Spannung am 2-Ω-Widerstand?
3 V
4 V
6 V
9 V
Antwort: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. Der kleinere Widerstand bekommt den kleineren Anteil der Spannung.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zähle die unabhängigen Quellen. Für jede von ihnen löst du eine einfachere Schaltung.
Behalte eine Quelle und schalte alle anderen ab: Spannungsquellen werden zu Drähten, Stromquellen zu Lücken.
Löse die einfachere Schaltung für die gesuchte Größe. Behalte dabei dieselbe Richtung (oder dasselbe + und −) wie in der Aufgabe bei.
Wiederhole das für jede Quelle.
Addiere alle Beiträge mit ihren Vorzeichen. Ein Beitrag in Gegenrichtung zählt negativ.
Zeichne jede einfachere Schaltung, bevor du rechnest. Die meisten Fehler entstehen, wenn man auf die ursprüngliche Zeichnung schaut, während man eine andere Schaltung löst.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme den Strom I3 durch R3 (nach unten) in dieser Schaltung.
1
Betrachte die Schaltung
Es gibt zwei Quellen, V1 = 12 V und V2 = 6 V. Wir lösen also zwei einfachere Schaltungen.
2
Nur V₁ eingeschaltet
Ersetze V2 durch einen Draht. Jetzt führt R2 von Knoten A direkt zum unteren Draht, also sind R2 und R3 parallel geschaltet.
R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3
Spannungsteiler für V₁
V1 sieht R1 = 6 Ω in Reihe mit der Parallelschaltung aus 2 Ω. Die Spannung an A ist der Anteil des 2-Ω-Teils:
VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4
Nur V₂ eingeschaltet
Ersetze nun V1 durch einen Draht. R1 und R3 sind parallel: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.
VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5
Anteile addieren
Beide Beiträge fließen durch R3 nach unten, also sind beide positiv.
I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6
Antwort prüfen
Mit beiden Quellen eingeschaltet ist VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Die Ströme in A von beiden Seiten sind (12 − 4,5)/6 = 1,25 A und (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.
Zusammen sind das 1,5 A, genau der Strom, der durch R3 abfließt. Die Antwort stimmt.
Antwort
I3 = 1,5 A, nach unten fließend.
6Häufige Fehler
Eine Spannungsquelle entfernen und eine Lücke lassen. Eine abgeschaltete Spannungsquelle ist ein Draht.
Beiträge addieren, ohne ihre Richtungen zu prüfen. Zeichne für jeden Beitrag einen Pfeil.
Die Leistung mit dem Überlagerungssatz berechnen. Die Leistung ist nicht linear: Bestimme zuerst den Gesamtstrom, dann P = I²·R.
Eine Quelle vergessen. Bei drei Quellen brauchst du drei einfachere Schaltungen.
Selbsttest Im Beispiel sind I₃′ = 1 A und I₃″ = 0,5 A in einem 3-Ω-Widerstand. Welche Leistung nimmt R₃ auf?
2,25 W
3,75 W
4,5 W
6,75 W
Antwort: 6,75 W. Addiere zuerst die Ströme: 1,5 A. Dann ist P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Die beiden Einzelleistungen zu addieren (3 + 0,75 = 3,75 W) ist falsch, weil die Leistung nicht linear ist.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: zwei Spannungsquellen und drei Widerstände. Jede einfachere Schaltung ist ein Spannungsteiler.
Mittel: eine Spannungsquelle und eine Stromquelle. Denke daran, dass die abgeschaltete Stromquelle zur Lücke wird.
Schwer: drei Quellen, und die gesuchte Größe kann eine Knotenspannung oder ein Zweigstrom sein.
Manche Aufgaben geben nur Messwerte an. Zum Beispiel: Mit beiden Quellen eingeschaltet beträgt der Strom 6,5 mA, und bei ausgeschalteter V2 sind es 4,5 mA. Dann bewirkt V2 allein 2 mA.
Weil die Schaltung linear ist, verdoppelt eine Verdopplung von V1 ihren Beitrag. Nutze das, um den Strom vorherzusagen, nachdem sich eine Quelle geändert hat.
Bestimme mit dem Überlagerungssatz die Spannung VR3 über R3 mit der eingezeichneten Polarität.
V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω
Gesucht: VR3(V)
Tipps anzeigen
Diese Schaltung hat 2 unabhängige Quellen, also löse 2 einfachere Schaltungen, eine pro Quelle. Schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss, eine Stromquelle zum Leerlauf.
Wenn nur V₁ aktiv ist, liegen R₂ und R₃ parallel. Bestimme die Spannung an Knoten A mit einem Spannungsteiler.
Wenn nur V1 aktiv ist, gilt VR3′ = 2,634 V. Bestimme den anderen Anteil genauso und addiere beide.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Überlagerungssatz: In einer linearen Schaltung ist jede Spannung und jeder Strom die Summe der Wirkungen jeder unabhängigen Quelle für sich allein. Um eine Quelle abzuschalten, ersetzt man eine ideale Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und eine ideale Stromquelle durch einen Leerlauf. Die Widerstände bleiben, wo sie sind.
Fall 1 · V1 allein aktiv
V₂ wird zum Kurzschluss, daher liegt R₂ nun zwischen A und Masse, parallel zu R₃.
R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
Fall 2 · V2 allein aktiv
V₁ wird zum Kurzschluss, daher liegt R₁ nun zwischen A und Masse, parallel zu R₃.
R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V
Anteile addieren
VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V
Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass die tatsächliche Polarität der eingezeichneten entgegengesetzt ist.
Beispiel 2Mittel
Bestimme mit dem Überlagerungssatz die von R4 aufgenommene Leistung PR4.
Diese Schaltung hat 2 unabhängige Quellen, also löse 2 einfachere Schaltungen, eine pro Quelle. Schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss, eine Stromquelle zum Leerlauf.
Bestimme den Strom IR4 durch R4 mit dem Überlagerungssatz und quadriere ihn dann: P = I²R.
Ist nur V1 aktiv, gilt IR4′ = 0,07059 A.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Überlagerungssatz: In einer linearen Schaltung ist jede Spannung und jeder Strom die Summe der Wirkungen jeder unabhängigen Quelle für sich allein. Um eine Quelle abzuschalten, ersetzt man eine ideale Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und eine ideale Stromquelle durch einen Leerlauf. Die Widerstände bleiben, wo sie sind.
Fall 1 · V1 allein aktiv
Iₛ wird zum Leerlauf, daher bilden R₃ und R₄ einen Reihenzweig von A nach Masse, parallel zu R₂.
R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
Fall 2 · Is allein aktiv
V₁ wird zum Kurzschluss, daher liegt R₁ parallel zu R₂. Iₛ teilt sich in B zwischen R₄ und dem Pfad über R₃ auf.
R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A
Stromanteile addieren
IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A
Leistung im Widerstand
Die Leistung hängt vom Quadrat des Stroms ab und folgt daher nicht dem Überlagerungssatz: zuerst die Ströme addieren, dann quadrieren.
PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W
Antwort
PR4 = 14,06 W
Addiert man die Leistungen der Einzelfälle, erhält man 12,34 W, und das ist falsch.
Beispiel 3Schwer
Bestimme mit dem Überlagerungssatz die Spannung VR2 über R2 mit der eingezeichneten Polarität.
Diese Schaltung hat 3 unabhängige Quellen, also löse 3 einfachere Schaltungen, eine pro Quelle. Schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss, eine Stromquelle zum Leerlauf.
Beginne mit V₁ allein: V₂ kurzschließen, Iₛ öffnen. Von A aus gesehen liegt R₃ parallel zu R₂+R₄.
Wenn nur V1 aktiv ist, gilt VR2′ = 0,6379 V. Bestimme die anderen Anteile genauso und addiere sie.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Überlagerungssatz: In einer linearen Schaltung ist jede Spannung und jeder Strom die Summe der Wirkungen jeder unabhängigen Quelle für sich allein. Um eine Quelle abzuschalten, ersetzt man eine ideale Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und eine ideale Stromquelle durch einen Leerlauf. Die Widerstände bleiben, wo sie sind.
Fall 1 · V1 allein aktiv
V₂ wird zum Kurzschluss und Iₛ zum Leerlauf. Von A aus gesehen liegt R₃ parallel zur Reihenschaltung R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
Fall 2 · Is allein aktiv
Beide Spannungsquellen werden zu Kurzschlüssen. Iₛ teilt sich in B zwischen R₄ (jetzt nach Masse) und R₂ in Reihe mit R₁ ∥ R₃ auf.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, also ist der linke Pfad R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
Fall 3 · V2 allein aktiv
V₁ wird zum Kurzschluss und Iₛ zum Leerlauf. R₁ ∥ R₃ hängt an A, in Reihe mit R₂ zurück nach B.
R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V
Anteile addieren
VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V
Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass die tatsächliche Polarität der eingezeichneten entgegengesetzt ist.
Fragen und Antworten
Überlagerungssatz: Worum geht es?
Viele Schaltungen haben mehr als eine Quelle: zwei Batterien oder eine Batterie und eine Stromquelle.
Sie alle auf einmal zu lösen, kann schwierig sein. Mit dem Überlagerungssatz teilst du die Aufgabe in einfachere Teile auf.
Überlagerungssatz: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Zähle die unabhängigen Quellen. Für jede Quelle löst du eine einfachere Schaltung.
Behalte eine Quelle und schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss (ein Draht), eine Stromquelle zum Leerlauf (eine Unterbrechung).
Berechne in der einfacheren Schaltung die gesuchte Spannung oder den gesuchten Strom und achte auf die Richtung.
Wiederhole das für jede Quelle und addiere dann die Beiträge mit ihren Vorzeichen.
Überlagerungssatz: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Eine Spannungsquelle entfernen, statt sie durch einen Draht zu ersetzen.
Beiträge addieren, ohne ihre Richtungen zu prüfen.
Superposition für die Leistung verwenden: Die Leistung ist nicht linear, bestimme also zuerst den Gesamtstrom und dann die Leistung.
Überlagerungssatz: Was wird geübt?
Leicht: 2 Spannungsquellen
Mittel: Spannungs- + Stromquelle
Schwer: 3 Quellen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
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