Wechselstrom: Impedanz und Zeiger: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Wechselstrom und Impedanz sind

Die Netzspannung ist Wechselstrom (AC): Die Spannung schwingt wie eine Sinuswelle viele Male pro Sekunde auf und ab.

Die Frequenz f ist die Zahl der vollen Schwingungen pro Sekunde, in Hertz (Hz). Das Netz hat in Europa 50 Hz und in Nordamerika 60 Hz.

Wechselstromrechnungen verwenden oft die Kreisfrequenz:

Wechselspannungen und -ströme werden normalerweise als Effektivwerte (rms) angegeben. Ein Effektivwert leistet dieselbe Heizarbeit wie dieser Gleichstromwert. „230 V“ Netzspannung bedeutet 230 V rms.

In Wechselstromkreisen begrenzen auch Spulen und Kondensatoren den Strom, nicht nur Widerstände. Ihre gemeinsame Wirkung heißt Impedanz Z, gemessen in Ohm.

2Reaktanz einer Spule und eines Kondensators

Eine Spule und ein Kondensator widerstehen Wechselstrom auf eine frequenzabhängige Weise. Dieser frequenzabhängige Widerstand heißt Reaktanz X, in Ohm.

• Eine Spule wirkt schnellen Änderungen entgegen. Ihre Reaktanz X_L wächst mit der Frequenz. Bei Gleichstrom (f = 0) ist sie ein einfacher Draht.
• Ein Kondensator sperrt Gleichstrom, lässt aber schnelle Änderungen durch. Seine Reaktanz X_C sinkt mit steigender Frequenz.

Verwende L immer in Henry und C immer in Farad: 100 mH = 0,1 H und 10 µF = 10·10⁻⁶ F.

3Impedanz und Phasenwinkel

In einem Widerstand steigen und fallen Spannung und Strom gemeinsam. In einer Spule eilt der Strom der Spannung eine Viertelperiode nach; in einem Kondensator eilt er eine Viertelperiode vor.

Wegen dieser Verschiebung kannst du R und X nicht als einfache Zahlen addieren. Du addierst sie im rechten Winkel, geschrieben als komplexe Zahl mit j:

Der Betrag der Impedanz und ihr Winkel ergeben sich aus dem rechtwinkligen Dreieck:

Das ohmsche Gesetz arbeitet mit dem Betrag: I = V / |Z|. Der Winkel φ sagt, wie weit der Strom der Spannung nacheilt. Ein positives φ bedeutet induktiv (der Strom eilt nach); ein negatives φ bedeutet kapazitiv.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Rechne die Frequenz um: ω = 2π·f.
2. Bestimme jede Reaktanz: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC). Verwende H und F.
3. Bestimme die resultierende Reaktanz X = X_L − X_C (Reihenschaltung).
4. Bestimme |Z| = √(R² + X²) und, falls nötig, φ = arctan(X/R).
5. Verwende das ohmsche Gesetz: I = V/|Z|. Dann ist die Spannung an einem Teil I mal sein R oder X.

In einer Reihenschaltung fließt durch jeden Teil derselbe Strom. Deshalb kannst du zuerst I bestimmen und überall verwenden.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

6Häufige Fehler

• f statt ω = 2πf in X_L und X_C verwenden.
• R, X_L und X_C als einfache Zahlen addieren. R steht im rechten Winkel zu X; X_L und X_C zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
• Vergessen, dass die kapazitive Reaktanz subtrahiert wird: X = X_L − X_C.
• L in mH oder C in µF stehen lassen oder einen auf Bogenmaß eingestellten Taschenrechner verwenden, wenn du φ in Grad willst.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: eine RL-Reihenschaltung an einer 50-Hz- oder 60-Hz-Versorgung. Du bestimmst |Z| oder den Effektivwert des Stroms I.
• Mittel: eine RLC-Reihenschaltung bei verschiedenen Frequenzen. Du bestimmst den Strom I oder den Phasenwinkel φ, der negativ ist, wenn X_C größer als X_L ist.
• Schwer: eine RLC-Reihenschaltung, bei der du die Kondensatorspannung, den Strom oder die Resonanzfrequenz bestimmst.

Für die Kondensatorspannung bestimmst du zuerst I und dann V_C = I·X_C. Nahe der Resonanz kann sie größer sein als die Versorgungsspannung.

Bei Resonanz ist X_L = X_C, sie heben sich also auf und es gilt |Z| = R. Die Versorgungsfrequenz spielt dafür keine Rolle: