RC- und RL-Ausgleichsvorgänge: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Schaltvorgänge · Laden und Entladen eines Kondensators · Zeitkonstante
Kostenlose Übungsaufgaben zu RC- und RL-Ausgleichsvorgänge mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: RC-Aufladung, RL-Schaltung, Kondensator mit Anfangsladung.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 10 ms.
Schließt du in einer Schaltung nur mit Widerständen einen Schalter, springt jeder Strom sofort auf seinen neuen Wert.
Ein Kondensator oder eine Spule ändert das. Sie speichern Energie, und gespeicherte Energie kann sich nicht in null Zeit ändern. Die Schaltung geht also gleichmäßig vom alten in den neuen Zustand über.
Diese gleichmäßige Änderung heißt Einschwingvorgang (transienter Vorgang). Nach einer Weile hat sich die Schaltung eingeschwungen, und nichts ändert sich mehr.
Denk daran, einen Eimer durch einen engen Schlauch zu füllen. Der Eimer ist der Kondensator, der enge Schlauch der Widerstand. Der Pegel steigt zuerst schnell, dann immer langsamer, je voller der Eimer wird.
Selbsttest Ein ungeladener Kondensator wird über einen Widerstand an eine 12-V-Quelle angeschlossen. Wie groß ist die Kondensatorspannung unmittelbar nach dem Schließen des Schalters?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Antwort: 0 V. Eine Kondensatorspannung kann nicht springen. Sie war unmittelbar vor dem Schließen des Schalters 0 V, also ist sie unmittelbar danach noch 0 V. Sie erreicht 12 V erst nach langer Zeit.
2Kondensatoren und Spulen am Anfang und am Ende
Du brauchst für jedes Bauteil nur zwei Regeln: was nicht springen kann und wie es sich verhält, wenn alles eingeschwungen ist.
Kondensator: Seine Spannung vC kann nicht springen. Lange nach dem Schalten fließt kein Strom mehr in ihn, er wirkt dann als offener Stromkreis (eine Lücke).
Spule: Ihr Strom iL kann nicht springen. Lange nach dem Schalten liegt keine Spannung mehr an ihr, sie wirkt dann als Kurzschluss (ein Draht).
Der Wert unmittelbar nach dem Schalten ist der Anfangswert x(0). Der Wert nach dem Einschwingen ist der Endwert x(∞).
Für einen Kondensator, der sich aus einer Quelle Vs auflädt: vC(0) = 0 und vC(∞) = Vs. Für eine Spule: i(0) = 0 und i(∞) = Vs/R.
Selbsttest Eine 12-V-Quelle treibt einen 20-Ω-Widerstand in Reihe mit einer Spule. Welcher Strom fließt lange nach dem Schließen des Schalters?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Antwort: 0,6 A. Ist alles eingeschwungen, ist die Spule ein einfacher Draht, nur der Widerstand begrenzt also den Strom: 12/20 = 0,6 A. Die 0 A sind der Wert unmittelbar nach dem Schalten, nicht am Ende.
3Die Zeitkonstante
Wie schnell die Änderung abläuft, bestimmt eine einzige Zahl, die Zeitkonstante τ (Tau).
τ = R·C τ = L/R
Einheiten: kΩ mal µF ergibt Millisekunden. mH geteilt durch Ω ergibt ebenfalls Millisekunden.
Jede Spannung und jeder Strom folgt zwischen Anfangs- und Endwert derselben Exponentialkurve:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Nach 1τ ist die Änderung zu 63 % vollzogen. Nach 2τ sind es 86 %, nach 3τ 95 %.
Nach etwa 5τ ist die Schaltung für alle praktischen Zwecke eingeschwungen.
Für einen sich aufladenden Kondensator, der bei 0 V beginnt, wird die Formel zu:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Selbsttest Wie groß ist die Zeitkonstante eines 4,7-kΩ-Widerstands mit einem 10-µF-Kondensator?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Antwort: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, weil kΩ mal µF Millisekunden ergibt. Teilt man statt zu multiplizieren, erhält man 2,13 ms.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Bestimme den Anfangswert x(0) unmittelbar nach dem Schalten. Verwende die Regel: vC und iL können nicht springen.
Bestimme den Endwert x(∞). Ersetze einen Kondensator durch eine Lücke und eine Spule durch einen Draht und löse dann die Gleichstromschaltung.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = R·C oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator oder die Spule sieht.
Setze die drei Werte in x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ ein.
Setze die Zeit t in derselben Einheit wie τ ein und rechne.
Fragt die Aufgabe stattdessen nach einer Zeit, löse dieselbe Formel nach t. Dazu brauchst du den natürlichen Logarithmus ln.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Zeitkonstante und die Kondensatorspannung vC bei t = 100 ms.
1
Betrachte die Schaltung
Der Schalter verbindet Vs = 10 V über R = 10 kΩ mit dem Kondensator. C = 10 µF.
2
Anfangs- und Endwert
Der Kondensator ist ungeladen und seine Spannung kann nicht springen, also ist vC(0) = 0 V.
Lange danach fließt kein Strom, an R liegt also keine Spannung. Alle 10 V liegen an C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Zeitkonstante
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Spannung bei t = 100 ms
Hier ist t genau eine Zeitkonstante, also t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Antwort prüfen
Nach einer Zeitkonstante sollte der Kondensator zu 63 % geladen sein. 63 % von 10 V sind 6,3 V, die Antwort passt also.
Sie liegt auch unter den 10 V der Quelle, wie es bei einem sich aufladenden Kondensator sein muss.
Antwort
τ = 100 ms und vC = 6,32 V bei t = 100 ms.
6Häufige Fehler
Die Aufladeformel Vs·(1 − e−t/τ) verwenden, wenn der Kondensator schon eine Spannung hält. Verwende die allgemeine Formel mit x(0).
Einheiten mischen: kΩ mal µF sind Millisekunden, nicht Sekunden. Halte t und τ in derselben Einheit.
Mit Vs·e−t/τ antworten. Das ist der noch fehlende Teil (oder die Widerstandsspannung), nicht die Kondensatorspannung.
Den falschen Widerstand in τ verwenden. Verwende den Widerstand, den der Kondensator oder die Spule sieht.
Selbsttest Ein Kondensator hält 4 V, als er an eine 10-V-Quelle geschaltet wird. Wie groß ist vC nach einer Zeitkonstante? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Antwort: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. Die Aufladeformel allein ergibt 6,32 V, was die anfänglichen 4 V ignoriert. 2,21 V ist der noch fehlende Teil.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: RC-Aufladung ab 0 V, wie im Beispiel. Du bestimmst τ oder die Kondensatorspannung zu einer gegebenen Zeit.
Mittel: eine RL-Schaltung, bei der der Spulenstrom bei 0 beginnt. Du bestimmst i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), die Spulenspannung vL = Vs·e−t/τ oder die Zeit, bis ein Prozentsatz des Endstroms erreicht ist.
Schwer: ein Kondensator, der schon eine Spannung hält. Du bestimmst vC zu einer gegebenen Zeit oder die Zeit bis zu einer gegebenen Spannung.
Um eine Zeit zu bestimmen, stelle die allgemeine Formel um:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
Mit τ = L/R ergibt mH geteilt durch Ω ms. Eine 50-mH-Spule mit 10 Ω hat also τ = 5 ms.
Der Kondensator ist auf 5 V geladen. Bei t = 0 schließt der Schalter, und der Kondensator entlädt sich über R. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Gesucht: vC(V)
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Eine RC-Schaltung erster Ordnung hat die Zeitkonstante τ = RC. Mit R in kΩ und C in µF ergibt sich τ in ms.
Ohne Quelle klingt die Kondensatorspannung gegen null ab: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
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Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante
kΩ mal µF ergibt Millisekunden.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Entladekurve
Der Kondensator beginnt bei seiner gespeicherten Spannung und klingt gegen 0 V ab.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Antwort
vC = 2,397 V
Beispiel 2Mittel
Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 75 % seines Endwerts? Bestimme t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Gesucht: t(ms)
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Für eine RL-Schaltung gilt τ = L/R. Mit L in mH und R in Ω ergibt sich τ in ms.
Direkt nach dem Schließen ist der Spulenstrom noch null; lange danach wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, also i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
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Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante und Endstrom
Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Nach der Zeit auflösen
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Antwort
t = 4,159 ms
Beispiel 3Schwer
Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 18 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 8,4 V erreicht? Bestimme t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Gesucht: t(ms)
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Verwende die allgemeine Lösung erster Ordnung x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Hier ist x(0) die gespeicherte Kondensatorspannung und x(∞) die Quellenspannung, weil im eingeschwungenen Zustand kein Strom durch den Kondensator fließt.
τ = 100 ms.
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Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Antwort
t = 160,9 ms
Fragen und Antworten
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge: Worum geht es?
Schließt du in einer Schaltung nur mit Widerständen einen Schalter, springt jeder Strom sofort auf seinen neuen Wert.
Ein Kondensator oder eine Spule ändert das. Sie speichern Energie, und gespeicherte Energie kann sich nicht in null Zeit ändern. Die Schaltung geht also gleichmäßig vom alten in den neuen Zustand über.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Die Ladeformel für einen Entladevorgang verwenden.
Einheiten vermischen: kΩ mal µF ergibt ms, nicht s.
Den falschen Widerstand in der Zeitkonstante verwenden.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge: Was wird geübt?
Leicht: RC-Aufladung
Mittel: RL-Schaltung
Schwer: Kondensator mit Anfangsladung
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.