Blockschaltbilder: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Blockschaltbilder mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Reihe, Parallelschaltung und Rückführung, Übertragungsfunktionen und Fehler des geschlossenen Kreises, Störungen, Stabilität und Pole.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Das Signal R teilt sich auf zwei parallele Blöcke G₂ = 11 und G₃ = 8 auf. Ihre Ausgänge treffen an einem Summationspunkt mit den gezeigten Vorzeichen (+ and +) zusammen, und die Summe durchläuft G₁ = 9. Bestimme die Gesamtverstärkung T = C/R.
Ein Regelsystem ist eine Kette von Teilen: ein Regler, ein Motor, ein Sensor. Ein Blockschaltbild zeichnet jedes Teil als Kasten und jedes Signal als Pfeil.
Ein Block multipliziert sein Eingangssignal mit seiner Verstärkung oder Übertragungsfunktion G. Geht 3 in einen Block G = 5 hinein, kommt 15 heraus.
Eine Summationsstelle (ein Kreis) addiert oder subtrahiert Signale. Das Vorzeichen neben jedem ankommenden Pfeil sagt dir, welches von beiden. Ein Punkt ist eine Abzweigstelle: Das Signal wird kopiert, nicht aufgeteilt.
Dies ist das wichtigste Bild der Regelungstechnik. Die Ausgangsgröße C wird über H gemessen und von der Führungsgröße R subtrahiert. Die Differenz E = R − H·C ist die Regeldifferenz, die G antreibt.
Das ist eine Gegenkopplung: Ist der Ausgang zu hoch, schrumpft die Regeldifferenz und zieht ihn wieder nach unten.
Selbsttest An einer Summationsstelle geht R mit + und das Rückführsignal B mit − ein. R = 10 und B = 4. Was verlässt die Summationsstelle?
14
40
6
−6
Antwort: 6. Die Vorzeichen an der Summationsstelle sagen E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 ignoriert das Minuszeichen, und −6 subtrahiert falsch herum.
2Drei Regeln, um jedes Schaltbild zu vereinfachen
Du reduzierst ein Schaltbild Schritt für Schritt, bis ein Block übrig bleibt. Seine Verstärkung T = C/R ist die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises.
Reihenschaltung: Blöcke hintereinander werden multipliziert, G₁·G₂.
Parallelschaltung: Blöcke, die dieselbe Summationsstelle speisen, werden mit den Vorzeichen an der Summationsstelle addiert: G₁ + G₂ oder G₁ − G₂.
Rückkopplungsschleife: Ein Vorwärtsblock G mit Gegenkopplung H wird zu G/(1 + G·H).
Die Rückkopplungsregel folgt aus zwei Gleichungen. An der Summationsstelle gilt E = R − H·C, und der Block liefert C = G·E. Also C = G·R − G·H·C, und daher:
T = C/R = G/(1 + G·H)
Bei einer Mitkopplung wird das Signal an der Summationsstelle addiert, und das Vorzeichen im Nenner kehrt sich um: T = G/(1 − G·H).
Das Produkt G·H ist die Kreisverstärkung. Ist sie groß, nähert sich T dem Wert 1/H: Der Sensor, nicht die Strecke, bestimmt die Verstärkung.
Selbsttest G₁ = 2 und G₂ = 5 liegen in Reihe, mit Gegenkopplung H = 0,3. Wie groß ist T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Antwort: 2,5. G = 2·5 = 10 und G·H = 3, also T = 10/(1 + 3) = 2,5. Der Wert 10 ignoriert die Schleife, −5 verwendet 1 − G·H, und 0,75 setzt H in den Zähler.
3Schleifen mit Übertragungsfunktionen
Reale Blöcke hängen von s ab, zum Beispiel ein Motor G(s) = b/(s + a). Es gelten dieselben Regeln. Danach beseitigst du die Brüche in Brüchen.
Bei Einheitsrückführung (H = 1) multipliziere Zähler und Nenner von G/(1 + G) mit (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
Der Pol des geschlossenen Regelkreises ist die Nullstelle des Nenners: p = −(a + b). Er liegt weiter links als der Pol −a des offenen Kreises, der Regelkreis ist also schneller.
Die Zeitkonstante ist τ = 1/(a + b).
Die stationäre Verstärkung ist T(0) = b/(a + b). Ein Sprung der Größe A stellt sich bei css = A·T(0) ein.
Mit einer Sensorverstärkung H wird der Nenner zu s + a + b·H.
Die bleibende Regeldifferenz ess ist das, was nach dem Einschwingen von R − C übrig bleibt. Bei Einheitsrückführung verwende die Fehlerkonstanten:
Für einen Sprung der Größe A: ess = A/(1 + Kp), mit der Positionskonstante Kp = G(0).
Für eine Rampe r(t) = A·t: ess = A/Kv, mit der Geschwindigkeitskonstante Kv = lims→0 s·G(s).
Für G(s) = 8/(s(s + 4)) kürzt sich der Faktor s: Kv = 8/4 = 2. Eine Rampe r(t) = 1·t hinterlässt dann ess = 1/2 = 0,5.
Für einen Regelkreis zweiter Ordnung wie G(s) = K/(s(s + 6)) hat der geschlossene Kreis s² + 6s + K = 0. Zwei gleiche reelle Pole (aperiodischer Grenzfall) erfordern 6² = 4K, also K = 9.
Durchgerechnetes Beispiel
G(s) = 6/(s + 2) wird in einen Regelkreis mit Einheits-Gegenkopplung gesetzt. Bestimme den Pol des geschlossenen Kreises, die Zeitkonstante und den stationären Ausgang für einen Sprung der Größe 4.
1
Den Kreis schließen
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Pol und Zeitkonstante
Der Pol ist die Nullstelle von s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Stationärer Ausgang
Setze s = 0 für die stationäre Verstärkung und multipliziere dann mit der Sprunghöhe.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
Die Regeldifferenz ist 4 − 3 = 1. Die Konstante Kp = G(0) = 3 liefert dasselbe: 4/(1 + 3) = 1.
Antwort
p = −8, τ = 0,125 s und css = 3.
Selbsttest G(s) = 6/(s + 2) liegt in einem Regelkreis mit Einheits-Gegenkopplung. Welche Zahl ist der Pol des geschlossenen Kreises?
8
−0,125
−2
−8
Antwort: −8. T(s) = 6/(s + 8), der Pol ist also −8. −2 ist der Pol des offenen Kreises vor der Rückkopplung. Ein Pol ist ein Wert von s und hier daher negativ, und −0,125 verwechselt ihn mit τ = 1/8.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Finde die innerste Schleife. Reduziere sie zuerst mit G/(1 + G·H) oder G/(1 − G·H) bei Mitkopplung.
Fasse Blöcke in Reihe (multiplizieren) und parallel (addieren mit den Vorzeichen an der Summationsstelle) zusammen.
Wiederhole, bis ein Block übrig bleibt. Dieser Block ist T(s) = C/R.
Beseitige die Brüche: Multipliziere Zähler und Nenner mit den Nennern von G(s).
Lies, was gefragt ist: die Pole aus dem Nenner, T(0) für den stationären Zustand, τ = 1/(Betrag des Pols) für einen Regelkreis erster Ordnung.
Kurze Kontrolle: Bei s = 0 kannst du das Schaltbild mit reinen Zahlen reduzieren. Das liefert T(0) direkt und fängt die meisten Rechenfehler ab.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Das ist eine typische mittelschwere Frage mit einer Nebenschleife. Probiere jeden Schritt aus, bevor du ihn aufklappst.
Durchgerechnetes Beispiel
Die Strecke G(s) = 3/(s + 1) hat eine innere Gegenkopplungsschleife mit H₁ = 1. Ein Regler K = 4 und eine äußere Einheits-Gegenkopplungsschleife schließen das System. Bestimme den Pol p des geschlossenen Kreises und die stationäre Verstärkung T(0).
1
Das Schaltbild betrachten
Es gibt zwei Schleifen. Die innere Schleife geht nur um die Strecke. Die äußere Schleife geht um alles, von C zurück zu R.
2
Die innere Schleife reduzieren
Verwende G/(1 + G·H₁) und multipliziere Zähler und Nenner mit (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Reihenschaltung mit dem Regler
K und Gᵢ liegen nun in Reihe, multipliziere also:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Die äußere Schleife schließen
Einheitsrückführung um 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
Der Pol ist p = −16, und T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Antwort prüfen
Rechne es bei s = 0 nur mit Zahlen nach. G(0) = 3, die innere Schleife ergibt 3/(1 + 3) = 0,75, und K macht daraus 3.
Die äußere Schleife ergibt 3/(1 + 3) = 0,75. Das stimmt mit T(0) überein.
Antwort
T(s) = 12/(s + 16), also p = −16 und T(0) = 0,75.
6Häufige Fehler
1 − G·H für die Gegenkopplung verwenden. Gegenkopplung ergibt 1 + G·H, Mitkopplung ergibt 1 − G·H.
H in den Zähler setzen. T = G/(1 + G·H): H erscheint nur in der Kreisverstärkung.
Die äußere Schleife vor der inneren schließen. Arbeite immer von innen nach außen.
Die Sensorverstärkung H im Pol vergessen: Der Nenner ist s + a + b·H, nicht s + a + b.
Den Pol −a des offenen Kreises oder die Verstärkung G(0) des offenen Kreises angeben. Die Rückkopplung verändert beides.
A/Kp für die Regeldifferenz bei einem Sprung verwenden. Die richtige Formel ist A/(1 + Kp).
Selbsttest Ein Verstärker G = 10 hat Mitkopplung H = 0,05: Das Rückführsignal wird an der Summationsstelle addiert. Wie groß ist T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Antwort: 20. Mitkopplung ergibt T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. Der Wert 6,67 verwendet die Formel der Gegenkopplung 10/1,5. 10 ignoriert die Schleife, und 0,5 ist nur die Kreisverstärkung G·H.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Reihe, Parallelschaltung und Rückkopplung. Du reduzierst Verstärkungen in einer Schleife, parallele Blöcke mit Vorzeichen oder eine Mitkopplung. Oder du schließt einen Einheitskreis um b/(s + a) und gibst den Pol, τ, T(0) oder css an.
Mittel: Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises und Regeldifferenzen. Eine Nebenschleife wie im Beispiel, eine Sensorverstärkung H, die Verstärkung K für den aperiodischen Grenzfall oder die bleibende Regeldifferenz bei einem Sprung oder einer Rampe.
Schwer: Störungen, Stabilität und Pole. Eine Störung D am Streckeneingang oder die größte Verstärkung Kmax für Stabilität mit dem Routh-Hurwitz-Kriterium.
Verwende bei einer Störung die Superposition: Bestimme C aus R mit D = 0, dann C aus D mit R = 0, und addiere beide.
Das Signal R teilt sich auf zwei parallele Blöcke G₂ = 7 und G₃ = 12 auf. Ihre Ausgänge treffen an einem Summationspunkt mit den gezeigten Vorzeichen (+ and −) zusammen, und die Summe durchläuft G₁ = 10. Bestimme die Gesamtverstärkung T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12Vorzeichen: + G₂, − G₃
Gesucht: T
Tipps anzeigen
Parallele Blöcke, die einen Summationspunkt speisen, werden mit den Vorzeichen am Summationspunkt addiert.
Die Kombination liegt in Reihe mit G₁, also multipliziere.
G₂ − G₃ = -5.
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Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Parallele Blöcke
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
In Reihe mit G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Antwort
T = −50
Beispiel 2Mittel
Ein Regelkreis mit Einheits-Gegenkopplung hat G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). An der Führungsgröße wird ein Sprung der Größe 2 angelegt. Bestimme den stationären Fehler ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Gesucht: ess
Tipps anzeigen
Lagefehlerkonstante Kₚ = G(0).
Stationärer Fehler bei einem Sprung der Größe A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
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Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Lagefehlerkonstante
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Stationärer Fehler
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Antwort
ess = 1,455
Beispiel 3Schwer
Fasse das Blockschaltbild mit G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), einer inneren Gegenkopplung H₁ = 4 um G₂ und einer äußeren Gegenkopplung H₂ = 1 zusammen. Bestimme die statische Verstärkung T(0) von C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Gesucht: T(0)
Tipps anzeigen
Innere Schleife: G₂/(1 + G₂·H₁). Dann T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
Insgesamt T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Setze für die statische Verstärkung in jedem Block s = 0.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
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Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Ein Regelsystem ist eine Kette von Teilen: ein Regler, ein Motor, ein Sensor. Ein Blockschaltbild zeichnet jedes Teil als Kasten und jedes Signal als Pfeil.
Ein Block multipliziert sein Eingangssignal mit seiner Verstärkung oder Übertragungsfunktion G. Geht 3 in einen Block G = 5 hinein, kommt 15 heraus.
Blockschaltbilder: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Blockschaltbild-Algebra: Blöcke in Reihe werden multipliziert (G₁·G₂), parallele Blöcke werden addiert (G₁ + G₂), und ein Regelkreis mit Vorwärtspfad G und Rückführpfad H wird bei Gegenkopplung zu T = G/(1 + G·H) und bei Mitkopplung zu G/(1 − G·H) zusammengefasst. Fasse zuerst die inneren Schleifen zusammen und arbeite dich dann nach außen. Die Pole des geschlossenen Regelkreises sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 1 + G(s)H(s) = 0. Bei einem stabilen Kreis liefert ein Sprung der Größe A den stationären Ausgang A·T(0); bei Einheitsrückführung beträgt der stationäre Fehler auf einen Sprung A/(1 + Kp) mit Kp = G(0).
Blockschaltbilder: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Prüfe das Vorzeichen am Summationspunkt: Der G₃-Pfad geht mit − ein.
Nur parallele Blöcke werden addiert; G₁ liegt in Reihe mit ihnen und wird multipliziert.
Parallele Blöcke werden (mit ihren Vorzeichen) addiert; sie werden nicht multipliziert.
Blockschaltbilder: Was wird geübt?
Leicht: Reihe, Parallelschaltung und Rückführung
Mittel: Übertragungsfunktionen und Fehler des geschlossenen Kreises
Schwer: Störungen, Stabilität und Pole
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.