Transformatoren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Transformatoren mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Übersetzungsverhältnis, Ströme und Leistung, Wirkungsgrad und Verluste.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

Ein idealer Transformator soll 11500 V auf 230 V heruntersetzen. Seine Primärwicklung hat 5000 Windungen. Wie viele Windungen N2 braucht die Sekundärwicklung?

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
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Was du übst

  1. LeichtÜbersetzungsverhältnis
  2. MittelStröme und Leistung
  3. SchwerWirkungsgrad und Verluste

Wichtige Formeln

Übersetzungsverhältnis
a = N1/N2 = V1/V2
Stromverhältnis
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Nennstrom
I = S/V
Umgerechnete Impedanz
Z1′ = a²·ZL
Kupferverluste bei Teillast
Pcu = x²·Pcu,fl
Wirkungsgrad
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Maximaler Wirkungsgrad
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Transformatoren von Grund auf lernen

Davor: Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

1Was ein Transformator ist

Ein Transformator wandelt eine Wechselspannung in eine höhere oder niedrigere Wechselspannung um. Kraftwerke transformieren die Spannung hoch, um Strom weit zu übertragen; örtliche Transformatoren transformieren sie für Haushalte auf 230 V herunter.

Er hat zwei Drahtspulen auf einem Eisenkern. Die an die Versorgung angeschlossene Spule ist die Primärwicklung (1). Die an die Last angeschlossene Spule ist die Sekundärwicklung (2).

RL​N1​N2​V1​V2​

Der Wechselstrom in der Primärwicklung erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld im Kern. Dieses sich ändernde Feld induziert in jeder Windung der Sekundärwicklung eine Spannung.

Ein konstanter Gleichstrom erzeugt ein konstantes Feld, und ein konstantes Feld induziert nichts. Ein Transformator funktioniert also nur mit Wechselstrom.

Selbsttest Was liefert ein idealer Transformator an seiner Sekundärseite, wenn seine Primärseite an eine 12-V-Batterie (Gleichstrom) angeschlossen ist?
  1. 0 V, weil ein konstantes Feld keine Spannung induziert
  2. 12 V, dasselbe wie die Primärseite
  3. Eine Wechselspannung von 12 V
  4. Eine durch das Übersetzungsverhältnis bestimmte Spannung

Antwort: 0 V, weil ein konstantes Feld keine Spannung induziert. Nur ein sich änderndes Magnetfeld induziert eine Spannung. Ein Gleichstrom erzeugt ein konstantes Feld, die Sekundärseite liefert also nichts, sobald sich der Strom eingependelt hat.

2Das Übersetzungsverhältnis

Jede Drahtwindung auf dem Kern erhält dieselbe Spannung. Die Spannung jeder Spule ist also proportional zu ihrer Windungszahl N.

a = N1 / N2 = V1 / V2

Ein idealer Transformator verliert keine Leistung, die zugeführte Leistung ist also gleich der abgegebenen: V1·I1 = V2·I2. Die Ströme verhalten sich daher umgekehrt:

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • Abwärtstransformator (a > 1): niedrigere Spannung, höherer Strom auf der Sekundärseite.
  • Aufwärtstransformator (a < 1): höhere Spannung, niedrigerer Strom auf der Sekundärseite.
Selbsttest Ein idealer Transformator hat 400 Primärwindungen und 200 Sekundärwindungen. Die Primärseite liegt an 240 V. Wie groß ist die Sekundärspannung?
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

Antwort: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V. Stellt man das Verhältnis auf den Kopf, erhält man 480 V.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Bestimme das Übersetzungsverhältnis a = N1/N2 oder a = V1/V2 aus den Bemessungsspannungen.
  2. Bestimme die Spannung auf der anderen Seite: V2 = V1/a.
  3. Ist eine Last angeschlossen, bestimme ihren Strom mit dem Ohmschen Gesetz: I2 = V2/RL.
  4. Bestimme den Strom auf der anderen Seite: I1 = I2/a. Die Hochspannungsseite führt den kleinen Strom.
  5. Kontrolliere mit der Leistung: V1·I1 muss gleich V2·I2 sein.

Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Die Seite mit mehr Windungen hat die höhere Spannung und den niedrigeren Strom.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein idealer Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis N1:N2 = 10:1 hat 2300 V an seiner Primärseite. An der Sekundärseite ist ein Widerstand von 23 Ω angeschlossen. Bestimme V2, I2 und den Primärstrom I1.

1

Betrachte die Schaltung

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

Das Übersetzungsverhältnis ist a = 10, dies ist also ein Abwärtstransformator.

2

Sekundärspannung

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

Sekundärstrom

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

Primärstrom

Das Stromverhältnis ist der Kehrwert des Spannungsverhältnisses.

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

Antwort prüfen

Leistung ein: 2300·1 = 2300 W. Leistung aus: 230·10 = 2300 W. Sie sind gleich, wie es bei einem idealen Transformator sein muss.

Antwort

V2 = 230 V, I2 = 10 A und I1 = 1 A.

5Bemessungswerte, umgerechnete Lasten und Verluste

Ein Transformator wird in kVA angegeben, zum Beispiel „10 kVA, 7200/240 V“. Der Bemessungsstrom jeder Wicklung ist die Bemessungsleistung geteilt durch die Spannung dieser Wicklung:

I = S / V

Von der Primärseite aus gesehen erscheint eine Last RL auf der Sekundärseite um a² größer:

RL′ = a²·RL

Im Beispiel erscheinen 23 Ω von der Primärseite aus wie 10²·23 = 2300 Ω. Dann ist I1 = 2300/2300 = 1 A, dieselbe Antwort.

Ein realer Transformator hat zwei Arten von Verlusten:

  • Eisenverluste Pcore: im Eisen. Sie sind bei jeder Last gleich.
  • Kupferverluste Pcu: in den Wicklungen. Sie wachsen mit dem Quadrat des Lastanteils x (x = 0,5 bei halber Last): Pcu = x²·Pcu,fl.
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

Der Wirkungsgrad ist bei der Last am höchsten, bei der die Kupferverluste gleich den Eisenverlusten sind:

x = √(Pcore / Pcu,fl)
Selbsttest Ein Transformator mit 25 kVA hat Eisenverluste von 75 W und Kupferverluste bei Volllast von 300 W. Bei welcher Last ist sein Wirkungsgrad am höchsten?
  1. 12,5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6,25 kVA

Antwort: 12,5 kVA. x = √(75/300) = √0,25 = 0,5, also 0,5·25 = 12,5 kVA. Vergisst man die Quadratwurzel, erhält man x = 0,25 und 6,25 kVA.

6Häufige Fehler

  • Das Verhältnis auf den Kopf stellen. Die Seite mit mehr Windungen hat die höhere Spannung.
  • Das Spannungsverhältnis für die Ströme verwenden. Ströme verhalten sich umgekehrt: Die Hochspannungsseite hat den kleinen Strom.
  • Die falsche Wicklungsspannung für den Bemessungsstrom verwenden. Jede Wicklung verwendet ihre eigene Spannung in I = S/V.
  • Die Kupferverluste mit x statt mit x² skalieren. Bei halber Last sind sie ein Viertel des Volllastwerts.
Selbsttest Ein Transformator mit 10 kVA und 7200/240 V läuft mit Bemessungslast. Welcher Strom fließt in der Niederspannungswicklung?
  1. 0,0417 A
  2. 1,39 A
  3. 30 A
  4. 41,7 A

Antwort: 41,7 A. I = S/V = 10000/240 = 41,7 A. Mit 7200 V erhält man den Strom der Hochspannungsseite, 1,39 A. Lässt man S in kVA, erhält man 0,0417 A, und 30 ist nur das Übersetzungsverhältnis.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: das Übersetzungsverhältnis. Du bestimmst die Sekundärspannung oder die Zahl der Sekundärwindungen für eine gegebene Abwärtstransformation.
  • Mittel: Ströme und Leistung. Du bestimmst den Bemessungsstrom einer Wicklung, den Primärstrom mit einem Widerstand auf der Sekundärseite, den von der Primärseite aus gesehenen Widerstand oder das Übersetzungsverhältnis, das einen Lautsprecher an einen Verstärker anpasst.
  • Schwer: Wirkungsgrad und Verluste. Du bestimmst die gesamten Verluste bei Teillast, die Last für maximalen Wirkungsgrad oder die Kupferverluste bei Volllast aus einem gegebenen Wirkungsgrad.

Zur Anpassung muss die Last wie der Quellenwiderstand aussehen: a²·RL = Rsource, also a = √(Rsource/RL).

Für Verluste bei Teillast addiere die festen Eisenverluste und x²·Pcu,fl. Der Leistungsfaktor spielt für die Ausgangsleistung eine Rolle, nicht für die Verluste.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

Ein idealer Transformator hat 60 Windungen auf der Primärwicklung und 3000 Windungen auf der Sekundärwicklung. Die Primärseite ist an eine Wechselspannung von 240 V angeschlossen. Bestimme die Sekundärspannung V2.

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

Gesucht: V2 (V)

Tipps anzeigen
  1. Die Spannung pro Windung ist in beiden Wicklungen gleich.
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.

Spannungsverhältnis gleich Windungszahlverhältnis

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

Antwort

V2 = 12000 V
Beispiel 2Mittel
4 ΩN1​N2​256 Ω

Ein Verstärker mit einem Ausgangswiderstand von 256 Ω speist über einen idealen Transformator einen Lautsprecher mit 4 Ω. Für maximale Leistungsübertragung muss der Lautsprecher vom Verstärker aus wie 256 Ω erscheinen. Bestimme das Übersetzungsverhältnis a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

Gesucht: a

Tipps anzeigen
  1. Von der Primärseite aus erscheint die Last als a²·RL.
  2. Setze a²·RL gleich dem Ausgangswiderstand des Verstärkers.
  3. a² = 256/4.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.

Die umgerechnete Last anpassen

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Antwort

a = 8
Beispiel 3Schwer
pf 0,9525 kVA, 25% Last

Ein einphasiger Transformator mit 25 kVA hat Eisenverluste von 75 W und Kupferverluste von 300 W bei Nennlast. Er liefert 25 % seiner Nennscheinleistung bei einem Leistungsfaktor von 0,95 induktiv. Bestimme die Gesamtverluste Ploss in Watt bei dieser Last.

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,95

Gesucht: Ploss (W)

Tipps anzeigen
  1. Welche Verluste ändern sich mit der Last und welche nicht?
  2. Kupferverluste ∝ I², und der Strom ist proportional zur Last.
  3. x² = 0,0625.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Transformatorverluste: Die Eisenverluste (Hysterese und Wirbelströme) hängen von der Spannung ab und sind bei jeder Last gleich. Die Kupferverluste in den Wicklungen wachsen mit dem Quadrat des Stroms; beim Anteil x der Nennlast betragen sie also x²·Pcu,fl. Wirkungsgrad η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), mit Pout = x·S·pf. Der Wirkungsgrad ist bei der Last am höchsten, bei der die Kupferverluste gleich den Eisenverlusten sind.

Kupferverluste bei dieser Last

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Gesamtverluste

Die Eisenverluste sind bei jeder Last gleich.

Ploss = 75 + 18,75 = 93,75 W

Antwort

Ploss = 93,75 W

Der Wirkungsgrad bei dieser Last ist η = 98,45%.

Fragen und Antworten

Transformatoren: Worum geht es?

Ein Transformator wandelt eine Wechselspannung in eine höhere oder niedrigere Wechselspannung um. Kraftwerke transformieren die Spannung hoch, um Strom weit zu übertragen; örtliche Transformatoren transformieren sie für Haushalte auf 230 V herunter.

Er hat zwei Drahtspulen auf einem Eisenkern. Die an die Versorgung angeschlossene Spule ist die Primärwicklung (1). Die an die Last angeschlossene Spule ist die Sekundärwicklung (2).

Transformatoren: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.

Transformatoren: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Das Übersetzungsverhältnis ist umgedreht. Die Sekundärseite hat mehr Windungen, dieser Transformator setzt die Spannung also herauf: V2 = V1·N2/N1.
  • Impedanzen werden mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses umgerechnet, also zieh die Wurzel: a = √(Rs/RL).
  • Das Verhältnis ist umgedreht. Die Primärseite liegt am größeren Widerstand, braucht also mehr Windungen.
Transformatoren: Was wird geübt?
  • Leicht: Übersetzungsverhältnis
  • Mittel: Ströme und Leistung
  • Schwer: Wirkungsgrad und Verluste

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