Thévenin und Norton: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Ersatzspannungsquelle · Ersatzstromquelle · Zweipoltheorie

Kostenlose Übungsaufgaben zu Thévenin und Norton mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Spannungsteiler, mit Reihenwiderstand und Last, mit Stromquelle und Last.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Bestimme den Norton-Strom IN: den Strom, der von a nach b fließt, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
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Was du übst

  1. LeichtSpannungsteiler
  2. Mittelmit Reihenwiderstand und Last
  3. Schwermit Stromquelle und Last

So löst du Aufgaben zu Thévenin und Norton

  1. Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
  2. Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
  3. Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
  4. Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
  5. Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.

Häufige Fehler

  • Die Last angeschlossen lassen, während man Rth bestimmt.
  • Widerstände addieren, als lägen sie in Reihe, obwohl sie von den Klemmen aus gesehen parallel liegen.
  • Vergessen, dass die maximale Leistung bei Rload = Rth abgegeben wird.

Wichtige Formeln

Thévenin-Spannung
Vth = Vopen circuit
Thévenin-Widerstand
Rth: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom
IN = Vth/Rth
Laststrom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale Leistungsübertragung
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Thévenin und Norton von Grund auf lernen

Davor: Reihen- und Parallelschaltung

1Was eine Thévenin-Ersatzquelle ist

Oft interessiert dich nur, was an zwei Klemmen einer Schaltung geschieht, zum Beispiel dort, wo eine Last angeschlossen ist.

Der Satz von Thévenin besagt: Von zwei Klemmen a und b aus gesehen verhält sich jede Schaltung aus Quellen und Widerständen genau wie eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand.

+−Vth​Rth​ab

Eine Batterie ist ein gutes Bild: In ihr steckt eine chemische Zelle (die Quelle) mit einem gewissen Innenwiderstand. Von außen bemerkst du nur diese beiden Dinge.

Das spart viel Arbeit. Sobald du Vth und Rth hast, kannst du viele verschiedene Lasten mit je einer Zeile Rechnung ausprobieren.

Selbsttest Durch was ersetzt eine Thévenin-Ersatzquelle eine Schaltung?
  1. Eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand
  2. Eine Stromquelle in Reihe mit einem Widerstand
  3. Nur einen Widerstand
  4. Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen

Antwort: Eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand. Vth in Reihe mit Rth. Die Norton-Form verwendet eine Stromquelle, aber parallel zu Rth, nicht in Reihe.

2Vth und Rth bestimmen

Du findest die beiden Zahlen mit zwei getrennten kleinen Rechnungen.

  • Vth ist die Leerlaufspannung: die Spannung zwischen a und b, wenn nichts daran angeschlossen ist.
  • Rth ist der Widerstand, den du siehst, wenn du in a und b hineinschaust und alle unabhängigen Quellen abgeschaltet sind.

Das Abschalten funktioniert wie beim Überlagerungssatz: Eine Spannungsquelle wird zum Draht, eine Stromquelle zur Lücke.

Die Norton-Ersatzquelle ist dieselbe Schaltung in anderer Form: eine Stromquelle parallel zum selben Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Selbsttest Eine Schaltung hat Vth = 12 V und Rth = 4 Ω. Wie groß ist ihr Norton-Strom?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Antwort: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. Das ist auch der Strom, der fließen würde, wenn du a mit b kurzschließt.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Entferne die Last (falls vorhanden) und markiere die Klemmen a und b.
  2. Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b. Das ist Vth.
  3. Schalte alle unabhängigen Quellen ab. Bestimme den Widerstand zwischen a und b mit den Regeln für Reihen- und Parallelschaltung. Das ist Rth.
  4. Zeichne die Ersatzquelle: Vth in Reihe mit Rth, und schließe dann die Last wieder an.
  5. Der Laststrom ist IL = Vth / (Rth + RL).

Nützlicher Hinweis für Schritt 2: Bei offenen Klemmen a und b fließt in einem Widerstand, der nur zu a führt, kein Strom. An ihm liegt also keine Spannung an.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine Last RL = 4 Ω ist an a–b angeschlossen. Bestimme die Thévenin-Ersatzquelle und den Laststrom IL.

1

Betrachte die Schaltung

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Wir ersetzen alles links von a–b durch Vth und Rth.

2

Last entfernen und Vth bestimmen

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Bei offenem a–b fließt kein Strom durch R3, also liegt a auf derselben Spannung wie der Knoten zwischen R1 und R2.

Dieser Knoten ist ein Spannungsteiler:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Quelle abschalten und Rth bestimmen

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

Die Quelle wird zum Draht. Von a aus gesehen: R3 in Reihe mit (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Last wieder anschließen

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

Die Norton-Form

IN = 8 / 4 = 2 A

Dieselbe Schaltung in anderer Form: Eine 2-A-Quelle parallel zu 4 Ω liefert denselben Strom von 1 A in der Last.

Antwort

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω und IL = 1 A.

5Maximale Leistung an der Last

Eine klassische Anschlussfrage: Welche Last bekommt die meiste Leistung?

Die Antwort ist die Last, die dem Thévenin-Widerstand gleicht:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

Im Beispiel bekommt eine Last von 4 Ω 8² / (4·4) = 4 W. Das ist der 1 A, den wir gefunden haben: P = 1² · 4 = 4 W.

Selbsttest Eine Schaltung hat Vth = 10 V und Rth = 5 Ω. Welcher Lastwiderstand erhält die meiste Leistung?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Antwort: 5 Ω. Maximale Leistungsübertragung findet statt, wenn RL = Rth = 5 Ω ist. Die Last erhält dann 10²/(4·5) = 5 W.

6Häufige Fehler

  • Die Last beim Bestimmen von Vth oder Rth angeschlossen lassen. Entferne sie zuerst.
  • Die Quellen für Rth nicht abschalten oder eine Spannungsquelle als Lücke statt als Draht abschalten.
  • Widerstände in Reihe addieren, die von a und b aus gesehen eigentlich parallel liegen. Zeichne die Schaltung aus der Sicht der Klemmen neu.
  • Einen Spannungsabfall an einem Widerstand zählen, der im Leerlauf keinen Strom führt.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: eine Quelle mit einem Spannungsteiler. Du bestimmst Vth oder Rth.
  • Mittel: dasselbe, mit einem zusätzlichen Reihenwiderstand zur Klemme, wie im Beispiel.
  • Schwer: zusätzlich eine Stromquelle und eine Last, deren Strom du bestimmen musst. Die abgeschaltete Stromquelle wird zur Lücke.

Schreibe Vth und Rth deutlich auf, bevor du sie verwendest. Viele Aufgaben fragen unterwegs nach einer von beiden.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Bestimme die Thévenin-Spannung Vth an den Klemmen a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Gesucht: Vth (V)

Tipps anzeigen
  1. Du brauchst zwei Zahlen: Rth (alle Quellen abschalten und von a–b aus in die Schaltung schauen) und Vth (die Spannung an a–b, wenn nichts angeschlossen ist). Norton-Strom und Lastwerte folgen aus diesen beiden.
  2. Mit V₁ kurzgeschlossen liegen R₁ und R₂, von a–b aus gesehen, parallel.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.

R1​ = 10 ΩKURZSCHLUSSR2​8 ΩAabRth​

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt an den Klemmen kein Strom ab, daher bilden R₁ und R₂ einen einfachen Spannungsteiler.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Beispiel 2Mittel
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Bestimme den Thévenin-Widerstand Rth an den Klemmen a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Gesucht: Rth (Ω)

Tipps anzeigen
  1. Du brauchst zwei Zahlen: Rth (alle Quellen abschalten und von a–b aus in die Schaltung schauen) und Vth (die Spannung an a–b, wenn nichts angeschlossen ist). Norton-Strom und Lastwerte folgen aus diesen beiden.
  2. Mit V₁ kurzgeschlossen liegt R₁ ∥ R₂, von a–b aus gesehen, in Reihe mit R₃. Bei offenem a–b fließt kein Strom durch R₃.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩKURZSCHLUSSR2​12 ΩAabRth​

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Beispiel 3Schwer
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

An a–b wird eine Last RL = 2 Ω angeschlossen. Bestimme mit einem Thévenin-Ersatzschaltbild die an die Last abgegebene Leistung PL.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Gesucht: PL (W)

Tipps anzeigen
  1. Du brauchst zwei Zahlen: Rth (alle Quellen abschalten und von a–b aus in die Schaltung schauen) und Vth (die Spannung an a–b, wenn nichts angeschlossen ist). Norton-Strom und Lastwerte folgen aus diesen beiden.
  2. Mit V₁ kurzgeschlossen und Iₛ offen ist Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Für Vth muss ganz Iₛ durch R₃ in A fließen.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩKURZSCHLUSSR2​4 ΩAOFFENBabRth​

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen

Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Fragen und Antworten

Thévenin und Norton: Worum geht es?

Oft interessiert dich nur, was an zwei Klemmen einer Schaltung geschieht, zum Beispiel dort, wo eine Last angeschlossen ist.

Der Satz von Thévenin besagt: Von zwei Klemmen a und b aus gesehen verhält sich jede Schaltung aus Quellen und Widerständen genau wie eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand.

Thévenin und Norton: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
  2. Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist Vth.
  3. Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist Rth.
  4. Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: Vth in Reihe mit Rth.
  5. Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: IN = Vth/Rth, mit RN = Rth parallel.
Thévenin und Norton: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die Last angeschlossen lassen, während man Rth bestimmt.
  • Widerstände addieren, als lägen sie in Reihe, obwohl sie von den Klemmen aus gesehen parallel liegen.
  • Vergessen, dass die maximale Leistung bei Rload = Rth abgegeben wird.
Thévenin und Norton: Was wird geübt?
  • Leicht: Spannungsteiler
  • Mittel: mit Reihenwiderstand und Last
  • Schwer: mit Stromquelle und Last

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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