Stationärer Fehler und PID-Regelung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Stationärer Fehler und PID-Regelung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Systemtyp und Fehlerkonstanten, stationäre Fehler und Verstärkung, P-, PI- und PD-Entwurf.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Bestimme die Geschwindigkeitsfehlerkonstante Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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Stationärer Fehler und PID-Regelung kostenlos übenStationärer Fehler und PID-Regelung jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtSystemtyp und Fehlerkonstanten
  2. Mittelstationäre Fehler und Verstärkung
  3. SchwerP-, PI- und PD-Entwurf

So löst du Aufgaben zu Stationärer Fehler und PID-Regelung

  1. Zähle die Pole des offenen Kreises C(s)·G(s) bei s = 0: Das ist der Systemtyp.
  2. Berechne die Fehlerkonstante, die zur Eingangsgröße passt: Kp für einen Sprung, Kv für eine Rampe, Ka für eine Parabel.
  3. Wende ess = A/(1 + Kp), A/Kv oder A/Ka an, oder löse die Gleichung nach der benötigten Verstärkung auf.
  4. Schreibe bei einer Vorgabe zu Dämpfung oder Drehzahl das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Häufige Fehler

  • A/Kp statt A/(1 + Kp) für einen Sprung zu verwenden.
  • Die Streckenverstärkung beim Koeffizientenvergleich zu vergessen: Die Kreisverstärkung ist K mal die Streckenverstärkung.
  • Den Integrator des Reglers beim Zählen des Systemtyps zu ignorieren.
  • Zu erwarten, dass eine Proportionalverstärkung allein den Sprungfehler in einem Kreis vom Typ 0 beseitigt.

Wichtige Formeln

Systemtyp
Anzahl der Pole von G(s) bei s = 0
Fehlerkonstanten
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Sprung A
ess = A/(1 + Kp)
Rampe A·t
ess = A/Kv
Parabel A·t²/2
ess = A/Ka
PID-Regler
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Zielsystem zweiter Ordnung
s² + 2ζωns + ωn²
Überschwingen und Zeitverhalten
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Stationärer Fehler und PID-Regelung von Grund auf lernen

Davor: Blockschaltbilder, Sprungantwort

1Einem Sollwert folgen

Ein Regelkreis vergleicht den Sollwert r mit der Ausgangsgröße y und wirkt auf den Regelfehler e = r − y. Im Idealfall landet die Ausgangsgröße genau beim Sollwert.

Oft tut sie das nicht. Nachdem der Einschwingvorgang abgeklungen ist, kann eine Lücke bleiben: der stationäre Fehler ess.

tyress​

Wie groß ess ist, hängt von der Art der Eingangsgröße (Sprung, Rampe oder Parabel) und davon ab, wie viele Integratoren der Kreis enthält.

Selbsttest Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung erhält r = 1, und seine Ausgangsgröße stellt sich bei y = 0,95 ein. Wie groß ist der stationäre Fehler?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Antwort: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Die Ausgangsgröße selbst ist 0,95, und das Vorzeichen ist positiv, weil die Ausgangsgröße unter dem Sollwert bleibt.

2Systemtyp und Fehlerkonstanten

Der Systemtyp ist die Anzahl der Pole des offenen Kreises G(s) bei s = 0, also die Anzahl der Integratoren. G(s) = 10/(s(s + 5)) hat einen, also ist es Typ 1.

Drei Fehlerkonstanten fassen G(s) bei sehr niedriger Frequenz (s → 0) zusammen:

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Mit dem Endwertsatz liefern sie den Fehler für jede Eingangsgröße:

Sprung A: A/(1 + Kp) Rampe A·t: A/Kv Parabel A·t²/2: A/Ka
  • Typ 0: endlicher Sprungfehler, unendlicher Rampenfehler.
  • Typ 1: Sprungfehler null, endlicher Rampenfehler.
  • Typ 2: Sprung- und Rampenfehler null, endlicher Parabelfehler.
Selbsttest Wie groß ist die Geschwindigkeitsfehlerkonstante Kv von G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Antwort: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), das ist 10/5 = 2 bei s = 0. Der Wert 0,5 ist der Rampenfehler 1/Kv, nicht die Konstante.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe den offenen Kreis auf: den Regler mal die Strecke, C(s)·G(s).
  2. Zähle seine Pole bei s = 0, um den Systemtyp zu erhalten.
  3. Wähle die Fehlerkonstante, die zur Eingangsgröße passt: Kp für einen Sprung, Kv für eine Rampe, Ka für eine Parabel.
  4. Werte den Grenzwert aus: Kürze die Faktoren s und setze dann in dem, was bleibt, s = 0 ein.
  5. Wende die Fehlerformel an oder löse sie nach der Verstärkung auf, die einen geforderten Fehler ergibt.

Schreibe bei einer Vorgabe zu Dämpfung oder Drehzahl das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζωns + ωn².

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat G(s) = K/(s(s + 4)). Er soll der Rampe r(t) = 2t mit einem stationären Fehler von 0,1 folgen. Bestimme K und den sich ergebenden Dämpfungsgrad.

1

Systemtyp bestimmen

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) hat einen Pol bei s = 0, also ist der Kreis vom Typ 1: Eine Rampe ergibt einen endlichen Fehler.

2

Geschwindigkeitskonstante

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Erforderliches Kv

Die Rampensteigung ist A = 2, also ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Verstärkung

K = 4·Kv = 80
5

Prüfe die Dämpfung

Das charakteristische Polynom ist s² + 4s + 80, also ist ωn = √80 = 8,94 rad/s und ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Der Fehler wird eingehalten, aber die Sprungantwort überschwingt um etwa 49 %. Dieser Zielkonflikt ist der Grund, warum Regler mehr sind als eine einzelne Verstärkung.

Antwort

K = 80, was ζ = 0,22 ergibt.

5P-, PI- und PID-Regler

Der PID-Regler kombiniert drei Wirkungen auf den Regelfehler:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proportional (Kp): ein schnellerer Kreis und ein kleinerer Fehler bei einer Strecke vom Typ 0, aber der Sprungfehler erreicht nie null.
  • Integral (Ki/s): fügt einen Pol bei s = 0 hinzu, sodass der Typ um eins steigt und ein Sprung ohne Fehler verfolgt wird.
  • Differenzial (Kd·s): erhöht die Dämpfung und verringert das Überschwingen.

Um die Verstärkungen zu wählen, vergleiche die Koeffizienten. Ein PI-Regler an G(s) = 2/(s + 3) ergibt das charakteristische Polynom s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Für ωn = 5 rad/s und ζ = 0,8 ist das Zielpolynom s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Selbsttest Zum Regler eines Kreises vom Typ 0 wird ein Integrator hinzugefügt. Was geschieht mit dem stationären Fehler bei einem Einheitssprung?
  1. Er wird größer
  2. Er wird kleiner, aber nicht null
  3. Er wird null
  4. Er wird unendlich

Antwort: Er wird null. Der Integrator macht den Kreis zum Typ 1, also ist Kp unendlich und A/(1 + Kp) = 0. Eine größere Proportionalverstärkung allein würde den Fehler nur verkleinern.

6Häufige Fehler

  • A/Kp statt A/(1 + Kp) für einen Sprung zu verwenden.
  • Die Streckenverstärkung beim Koeffizientenvergleich zu vergessen: Die Kreisverstärkung ist die Reglerverstärkung mal die Streckenverstärkung.
  • Nur die Integratoren der Strecke zu zählen und den im PI-Regler zu übersehen.
  • Die Nullstellen bei der Berechnung von Kv wegzulassen: Ein Faktor (s + 3) ist bei s = 0 gleich 3.
Selbsttest Ein Sprung der Höhe 5 wird auf einen Kreis vom Typ 0 mit Kp = 9 gegeben. Wie groß ist der stationäre Fehler?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Antwort: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Die Division allein durch Kp ergibt 0,556, ohne die Sprunghöhe ergibt sich 0,1, und 4,5 ist die Ausgangsgröße im Endzustand.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Systemtyp und Fehlerkonstanten. Du bestimmst den Typ, Kp, Kv oder Ka einer Übertragungsfunktion, einen Sprungfehler oder die Endausgangsgröße eines Kreises mit P-Regelung.
  • Mittel: stationäre Fehler und Verstärkung. Du bestimmst den Fehler für eine Rampe, eine Parabel oder einen Sprung plus eine Rampe oder die Verstärkung, die einen geforderten Fehler ergibt.
  • Schwer: P-, PI- und PD-Entwurf. Du wählst K für einen Dämpfungsgrad, bestimmst Überschwingen, Überschwingzeit oder Ausregelzeit für ein gegebenes K, wählst PI- oder PD-Verstärkungen durch Koeffizientenvergleich oder bestimmst den Rampenfehler mit einem PI-Regler.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Bestimme die Beschleunigungsfehlerkonstante Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Gesucht: Ka

Tipps anzeigen
  1. K_a = lim s²·G(s) für s → 0.
  2. Das s² hebt den doppelten Pol im Ursprung auf.
  3. Ka = 2·2/2.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Stationärer Fehler: In einem Regelkreis mit Einheitsrückführung und der Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) ist der Fehler E(s) = R(s)/(1 + G(s)), und nach dem Endwertsatz gilt ess = lims→0 s·E(s). Der Systemtyp ist die Anzahl der Pole von G(s) bei s = 0. Die Fehlerkonstanten sind Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) und Ka = lim s²·G(s), jeweils für s → 0. Ein Sprung der Höhe A liefert ess = A/(1 + Kp), eine Rampe A·t liefert A/Kv und eine Parabel A·t²/2 liefert A/Ka. Ein Kreis vom Typ 0 folgt einem Sprung mit endlichem Fehler, ein Kreis vom Typ 1 folgt ihm exakt und einer Rampe mit endlichem Fehler.

Beschleunigungskonstante

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Antwort

Ka = 2
Beispiel 2Mittel
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Bestimme die Verstärkung K, die für einen Sprung einen stationären Fehler von 2 % ergibt.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Gesucht: K

Tipps anzeigen
  1. Für einen Einheitssprung ist e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Stationärer Fehler: In einem Regelkreis mit Einheitsrückführung und der Übertragungsfunktion des offenen Kreises G(s) ist der Fehler E(s) = R(s)/(1 + G(s)), und nach dem Endwertsatz gilt ess = lims→0 s·E(s). Der Systemtyp ist die Anzahl der Pole von G(s) bei s = 0. Die Fehlerkonstanten sind Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) und Ka = lim s²·G(s), jeweils für s → 0. Ein Sprung der Höhe A liefert ess = A/(1 + Kp), eine Rampe A·t liefert A/Kv und eine Parabel A·t²/2 liefert A/Ka. Ein Kreis vom Typ 0 folgt einem Sprung mit endlichem Fehler, ein Kreis vom Typ 1 folgt ihm exakt und einer Rampe mit endlichem Fehler.

Erforderliche Fehlerkonstante

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Verstärkung

K/10 = 49 → K = 490

Antwort

K = 490

Prüfe auch die Stabilität des geschlossenen Kreises: Für diesen Kreis zweiter Ordnung ist jedes K > 0 stabil.

Beispiel 3Schwer
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Ein Proportionalregler K = 8 regelt die Strecke G(s) = 5/(s(s + 2)) in einem Regelkreis mit Einheitsrückführung. Bestimme die 2-%-Ausregelzeit ts der Sprungantwort mit ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Gesucht: ts (s)

Tipps anzeigen
  1. Das charakteristische Polynom ist s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ ist die Hälfte des Koeffizienten von s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

P-, PI- und PID-Regelung: Der Regler C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s wirkt auf den Regelfehler. Eine proportionale Verstärkung macht den Kreis schneller und verkleinert den Fehler einer Strecke vom Typ 0, beseitigt ihn aber nie. Der Integralanteil fügt einen Pol bei s = 0 hinzu: Der Systemtyp steigt um eins, und ein Sprung wird ohne Fehler verfolgt. Der Differenzialanteil erhöht die Dämpfung. Um die Verstärkungen zu wählen, schreibe das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζωns + ωn². Dann gilt %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd mit ωd = ωn√(1 − ζ²) und ts ≈ 4/(ζωn).

Charakteristisches Polynom

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ und ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Ausregelzeit

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Antwort

ts = 4 s

Die Ausregelzeit hängt hier nicht von K ab: Eine größere Verstärkung lässt die Antwort nur schneller schwingen.

Fragen und Antworten

Stationärer Fehler und PID-Regelung: Worum geht es?

Ein Regelkreis vergleicht den Sollwert r mit der Ausgangsgröße y und wirkt auf den Regelfehler e = r − y. Im Idealfall landet die Ausgangsgröße genau beim Sollwert.

Oft tut sie das nicht. Nachdem der Einschwingvorgang abgeklungen ist, kann eine Lücke bleiben: der stationäre Fehler ess.

Stationärer Fehler und PID-Regelung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Zähle die Pole des offenen Kreises C(s)·G(s) bei s = 0: Das ist der Systemtyp.
  2. Berechne die Fehlerkonstante, die zur Eingangsgröße passt: Kp für einen Sprung, Kv für eine Rampe, Ka für eine Parabel.
  3. Wende ess = A/(1 + Kp), A/Kv oder A/Ka an, oder löse die Gleichung nach der benötigten Verstärkung auf.
  4. Schreibe bei einer Vorgabe zu Dämpfung oder Drehzahl das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf und vergleiche es mit s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Stationärer Fehler und PID-Regelung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • A/Kp statt A/(1 + Kp) für einen Sprung zu verwenden.
  • Die Streckenverstärkung beim Koeffizientenvergleich zu vergessen: Die Kreisverstärkung ist K mal die Streckenverstärkung.
  • Den Integrator des Reglers beim Zählen des Systemtyps zu ignorieren.
  • Zu erwarten, dass eine Proportionalverstärkung allein den Sprungfehler in einem Kreis vom Typ 0 beseitigt.
Stationärer Fehler und PID-Regelung: Was wird geübt?
  • Leicht: Systemtyp und Fehlerkonstanten
  • Mittel: stationäre Fehler und Verstärkung
  • Schwer: P-, PI- und PD-Entwurf

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