Knotenpotenzialverfahren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Knotenpotentialverfahren · Knotenspannungsanalyse · Knotenanalyse
Kostenlose Übungsaufgaben zu Knotenpotenzialverfahren mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: 1 unbekannter Knoten, 2 unbekannte Knoten, 2 Knoten, 3 Quellen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren den Strom IR1 durch R1 in Pfeilrichtung.
Die Knotenpotentialanalyse ist ein Standardverfahren, um jede Spannung in einer Schaltung zu bestimmen. Sie funktioniert auch dann, wenn die Regeln für Reihen- und Parallelschaltung nicht ausreichen.
Ein Knoten ist ein Punkt, an dem zwei oder mehr Teile einer Schaltung zusammentreffen. Ein ganzes Stück einfacher Leitung zählt als ein Knoten, weil an einer Leitung keine Spannung abfällt.
Du wählst einen Knoten als Bezugsknoten, auch Masse genannt, und gibst ihm 0 V. Jede andere Knotenspannung wird von diesem Knoten aus gemessen.
Denk an Höhen auf einer Karte, vom Meeresspiegel aus gemessen. Wasser fließt von hoch nach tief, und der Fluss in einem Rohr hängt vom Höhenunterschied zwischen seinen Enden ab.
Kennst du die Knotenspannungen, liefert das ohmsche Gesetz jeden Strom. Die Knotenspannungen sind also die einzigen Unbekannten, die du brauchst.
Selbsttest Welcher Knoten hat per Definition eine Spannung von 0 V?
Der Bezugsknoten (Masse), den du gewählt hast
Der Knoten mit den meisten Widerständen
Der Knoten neben der größten Quelle
Jeder Knoten ohne Quelle
Antwort: Der Bezugsknoten (Masse), den du gewählt hast. Du wählst den Bezugsknoten selbst und nennst ihn 0 V. Alle anderen Knotenspannungen werden von ihm aus gemessen.
2Kirchhoffsche Knotenregel
Ladung kann sich in einem Knoten nicht ansammeln. Der gesamte Strom, der in einen Knoten hineinfließt, muss ihn also wieder verlassen. Das ist das Kirchhoffsche Knotengesetz (KCL).
ΣIin = ΣIout
Fließen zum Beispiel 3 A und 2 A in einen Knoten, müssen insgesamt 5 A ihn über die anderen Zweige verlassen.
Du schreibst den Strom in jedem Widerstand mit dem ohmschen Gesetz auf, mit den Spannungen an seinen beiden Enden:
I = (Va − Vb) / R
Das ist der Strom von a nach b. Ist das Ergebnis negativ, fließt der Strom in Wahrheit von b nach a. Das ist in Ordnung: Behalte das Vorzeichen.
Selbsttest Knoten a liegt auf 9 V und Knoten b auf 4 V. Ein 5-Ω-Widerstand verbindet sie. Welcher Strom fließt von a nach b?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Antwort: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Addiert man die Spannungen, erhält man 2,6 A, vertauscht man sie, −1 A, und 1,8 A ignoriert die Spannung bei b.
3Das Verfahren Schritt für Schritt
Wähle den Bezugsknoten. Die untere Leitung ist die übliche Wahl. Markiere ihn mit dem Massesymbol.
Finde die Knoten, deren Spannung du schon kennst. Ein Knoten, der über eine Spannungsquelle mit Masse verbunden ist, liegt auf der Spannung dieser Quelle.
Benenne jeden anderen Knoten (A, B, …). Ihre Spannungen VA, VB, … sind die Unbekannten.
Schreibe an jedem unbekannten Knoten KCL auf: Die Ströme, die über die Widerstände abfließen, summieren sich zum Strom, den Stromquellen hineindrücken.
Schreibe jeden Widerstandsstrom als (VKnoten − Vanderes Ende)/R und löse dann die Gleichungen.
Verwende das ohmsche Gesetz, um jeden Zweigstrom zu bestimmen, nach dem gefragt ist.
Wenn du jeden Widerstandsstrom als vom Knoten abfließend schreibst, ergeben sich die Vorzeichen von selbst. Du musst die wahren Richtungen nicht zuerst raten.
Du brauchst eine Gleichung pro unbekanntem Knoten. Schreibe nie eine Gleichung für den Bezugsknoten: Seine Spannung ist schon bekannt.
4Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme die Knotenspannung VA und den Strom IR1 durch R1, von der Quelle in Richtung A.
1
Betrachte die Schaltung
Die untere Leitung ist Masse. Das obere Ende von V1 liegt 15 V über Masse, dieser Knoten ist also bekannt: 15 V.
Nur Knoten A ist unbekannt, du brauchst also eine Gleichung.
2
KCL an A aufschreiben
Zwei Widerstände verlassen A: R1 führt zum 15-V-Knoten und R2 zur Masse. Die Stromquelle drückt 1 A in A hinein.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Nach VA auflösen
Multipliziere beide Seiten mit 6, um die Brüche zu beseitigen.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Den Strom in R₁ bestimmen
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
Das Ergebnis ist positiv, es fließt also wirklich 1 A von der Quelle in Richtung A.
5
Antwort prüfen
R2 führt 12/6 = 2 A nach unten zur Masse. In A fließen 1 A durch R1 und 1 A aus der Stromquelle hinein.
Das sind 2 A hinein und 2 A heraus, KCL gilt also an A.
Antwort
VA = 12 V und IR1 = 1 A.
5Zwei unbekannte Knoten
Bei zwei unbekannten Knoten schreibst du an jedem Knoten eine KCL-Gleichung auf und löst die beiden Gleichungen gemeinsam.
An Knoten A fließen drei Widerstände ab: R1, R2 und R3. An Knoten B fließen zwei Widerstände ab, und die Stromquelle drückt 2 A hinein.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Multipliziere die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit 3:
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Addiere die beiden Gleichungen. Die VB-Terme heben sich auf, also 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Beachte, dass R3 in beiden Gleichungen vorkommt, als (VA − VB) bei A und als (VB − VA) bei B. Das ist eine schnelle Probe, ob deine Gleichungen stimmen.
6Häufige Fehler
Das Vorzeichen eines gemeinsamen Widerstands verwechseln: Es ist (VA − VB) bei A, aber (VB − VA) bei B.
Eine Stromquelle vergessen, die in den Knoten hinein- oder aus ihm herausfließt.
Eine KCL-Gleichung für den Bezugsknoten aufstellen oder einen bekannten Knoten als unbekannt behandeln.
Das Minuszeichen eines negativen Stroms weglassen. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Strom gegen den Pfeil fließt.
Selbsttest An Knoten A führt ein 4-Ω-Widerstand zur Masse und ein weiterer 4-Ω-Widerstand zu einem 12-V-Knoten. Eine 2-A-Quelle drückt Strom in A hinein. Wie groß ist VA?
10 V
12 V
2 V
6 V
Antwort: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 ergibt 2·VA − 12 = 8, also VA = 10 V. Wer die Quelle vergisst, erhält 6 V; wer sie als von A abfließend behandelt, erhält 2 V.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: ein unbekannter Knoten A, mit einer Spannungsquelle und entweder einer Stromquelle oder einer zweiten Spannungsquelle. Eine KCL-Gleichung genügt.
Mittel: zwei unbekannte Knoten A und B, mit einer Stromquelle an B. Schreibe zwei Gleichungen auf und löse sie gemeinsam.
Schwer: zwei unbekannte Knoten und drei Quellen: zwei Spannungsquellen und eine Stromquelle. Das Verfahren ist dasselbe, mit mehr Termen.
Die Aufgabe fragt nach einer Knotenspannung oder nach dem Strom durch einen Widerstand in Pfeilrichtung.
Bestimme für einen Zweigstrom zuerst die Knotenspannungen. Verwende dann I = (VAnfang − VEnde)/R entlang des Pfeils.
Nur Knoten A ist unbekannt. Stelle eine Knotengleichung auf: Die Summe der von A abfließenden Zweigströme ist null.
Jeder Zweigstrom ist (VA − Vk)/Rk. Bringe die Terme mit VA auf eine Seite.
Σ1/R = 0,9583 S.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.
Knotenregel am Knoten A
Nimm die untere Leitung als Masse. Jeder Zweig führt (VA − Vk)/Rk von A weg, wobei Vk die Spannung seiner Quelle ist (null bei einem reinen Widerstand). Die von A abfließenden Ströme ergeben zusammen null.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Nach VA auflösen
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Antwort
VA = 13,04 V
Beispiel 2Mittel
Die Spannungsquelle Vₛ zwischen A und B hat ihren Pluspol bei B, sie bewirkt also VB − VA = Vₛ. Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren und einem Superknoten den Strom Ix durch die Spannungsquelle, von A nach B wie durch den Pfeil angegeben.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Gesucht: Ix(A)
Tipps anzeigen
Eine Spannungsquelle zwischen zwei Knoten ohne Masse legt deren Differenz fest: VB − VA = Vs.
Stelle eine Knotengleichung für den Superknoten um A, B und die Quelle auf: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.
Einen Superknoten bilden
Die Spannungsquelle zwischen A und B führt einen unbekannten Strom, daher kann die Knotenregel nicht getrennt an A oder B aufgestellt werden. Fasse A, B und die Quelle zu einem Superknoten zusammen: Der hineinfließende Strom ist gleich dem herausfließenden.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Lösen
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Strom durch die Spannungsquelle
Alles, was von A nach B durch die Quelle fließt, verlässt den Knoten B über R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Antwort
Ix = 1,333 A
Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der tatsächliche Strom entgegen dem Pfeil fließt.
Beispiel 3Schwer
Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren den Strom IR4 durch R4 in Pfeilrichtung.
Nimm den unteren Leiter als Masse (0 V). Knoten, die direkt an einer Spannungsquelle hängen, sind schon bekannt, also sind die Unbekannten VA und VB.
Stelle die Knotenregel an A auf: für jeden Widerstand (VA − Vanderes Ende)/R, und setze ihre Summe gleich dem Quellenstrom, der in A hineinfließt.
Durch Lösen ergibt sich VA = 2,455 V. Dann ist IR4 = (Potenzial am Pfeilende − Potenzial an der Pfeilspitze)/R4.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.
Knoten festlegen
Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Unbekannt: VA, VB.
KCL am Knoten A
Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
KCL am Knoten B
Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Lösen
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Antwort
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Fragen und Antworten
Knotenpotenzialverfahren: Worum geht es?
Die Knotenpotentialanalyse ist ein Standardverfahren, um jede Spannung in einer Schaltung zu bestimmen. Sie funktioniert auch dann, wenn die Regeln für Reihen- und Parallelschaltung nicht ausreichen.
Ein Knoten ist ein Punkt, an dem zwei oder mehr Teile einer Schaltung zusammentreffen. Ein ganzes Stück einfacher Leitung zählt als ein Knoten, weil an einer Leitung keine Spannung abfällt.
Knotenpotenzialverfahren: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Wähle einen Bezugsknoten (Masse) und benenne die übrigen Knotenspannungen.
Stelle an jedem unbekannten Knoten die Knotenregel auf: Die über alle Zweige abfließenden Ströme sind gleich den zufließenden.
Drücke jeden Zweigstrom als (Va − Vb)/R aus.
Löse das Gleichungssystem und bestimme dann jeden benötigten Strom.
Knotenpotenzialverfahren: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Das Vorzeichen eines Zweigstroms in den beiden Knotengleichungen vertauschen.
Eine Gleichung für den Bezugsknoten aufstellen.
Eine Stromquelle vergessen, die in einen Knoten hinein- oder aus ihm herausfließt.
Knotenpotenzialverfahren: Was wird geübt?
Leicht: 1 unbekannter Knoten
Mittel: 2 unbekannte Knoten
Schwer: 2 Knoten, 3 Quellen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
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