Operationsverstärker: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: OPV · invertierender Verstärker · nichtinvertierender Verstärker

Kostenlose Übungsaufgaben zu Operationsverstärker mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: invertierender Verstärker, nichtinvertierender Verstärker, Summierverstärker.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
−+Vout​Rf​ = 100 kΩVin​ = −1,6 VR1​ = 10 kΩ

Die Schaltung ist ein invertierender Verstärker. Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt; sein Ausgang geht bei ±12 V in die Sättigung. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.

Vin = −1,6 VR1 = 10 kΩRf = 100 kΩVsat = ±12 V
V
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Was du übst

  1. Leichtinvertierender Verstärker
  2. Mittelnichtinvertierender Verstärker
  3. SchwerSummierverstärker

Wichtige Formeln

Invertierender Verstärker
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Nichtinvertierender Verstärker
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Summierverstärker
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealer Operationsverstärker
V+ = V−, Iin = 0

Operationsverstärker von Grund auf lernen

Davor: Knotenpotenzialverfahren

1Was ein Operationsverstärker ist

Ein Operationsverstärker (Op-Amp) ist ein kleiner Chip, der Spannungen verstärkt. Er wird in Audiogeräten, Sensoren und Filtern eingesetzt.

−+V−​V+​Vout​

Er hat zwei Eingänge, gekennzeichnet mit − (invertierend) und + (nichtinvertierend), und einen Ausgang. Er verstärkt die winzige Differenz zwischen den beiden Eingängen um einen enormen Faktor, oft 100 000 oder mehr.

Für sich allein ist diese Verstärkung viel zu groß, um sie zu nutzen. Deshalb schaltest du Widerstände vom Ausgang zurück zum −-Eingang. Das nennt man Gegenkopplung, und die Widerstände bestimmen dann die Verstärkung.

Der Ausgang kann nie über die Versorgungsspannungen hinausgehen, zum Beispiel ±15 V.

Selbsttest Was bestimmt die Verstärkung einer Op-Amp-Schaltung mit Gegenkopplung?
  1. Die Eingangsspannung
  2. Die Versorgungsspannungen
  3. Die Widerstände um den Op-Amp
  4. Die eigene interne Verstärkung des Op-Amps

Antwort: Die Widerstände um den Op-Amp. Mit Gegenkopplung fällt die riesige interne Verstärkung aus dem Ergebnis heraus. Nur die Widerstandswerte bestimmen die Verstärkung.

2Die zwei Regeln des idealen Op-Amps

Mit Gegenkopplung kannst du fast jede Op-Amp-Schaltung mit zwei einfachen Regeln analysieren:

  • Regel 1: Die beiden Eingänge liegen auf derselben Spannung, V− = V+. Der Ausgang stellt sich so ein, bis das stimmt.
  • Regel 2: In keinen der beiden Eingänge fließt Strom.

Ist der +-Eingang mit Masse verbunden, sagt Regel 1, dass auch der −-Eingang auf 0 V liegt. Er ist nicht mit Masse verbunden, liegt aber auf 0 V. Das nennt man eine virtuelle Masse.

Regel 2 bedeutet, dass ein Strom, der am −-Eingang ankommt, nicht in den Op-Amp fließen kann. Er muss durch den Rückkopplungswiderstand Rf weiterfließen.

Selbsttest In einer Schaltung mit Rückkopplung ist der +-Eingang mit Masse verbunden. Wie groß ist die Spannung am −-Eingang?
  1. +15 V
  2. 0 V
  3. Die Ausgangsspannung
  4. Die Eingangsspannung

Antwort: 0 V. Regel 1: V− = V+ = 0 V. Der −-Eingang ist eine virtuelle Masse.

3Invertierende und nichtinvertierende Verstärker

Der invertierende Verstärker führt das Signal über R1 in den −-Eingang. Der +-Eingang liegt an Masse.

−+Vout​Rf​Vin​R1​
Vout = −(Rf / R1)·Vin

Das Minuszeichen bedeutet, dass der Ausgang auf dem Kopf steht: Ein positiver Eingang ergibt einen negativen Ausgang.

Der nichtinvertierende Verstärker führt das Signal direkt in den +-Eingang. R1 geht vom −-Eingang nach Masse.

−+Vout​Rf​R1​Vin​
Vout = (1 + Rf / R1)·Vin

Seine Verstärkung ist immer mindestens 1, und der Ausgang hat dasselbe Vorzeichen wie der Eingang.

Selbsttest Ein nichtinvertierender Verstärker hat R1 = 1 kΩ, Rf = 9 kΩ und Vin = 0,5 V. Wie groß ist Vout?
  1. 0,5 V
  2. 4,5 V
  3. 5 V
  4. −4,5 V

Antwort: 5 V. Verstärkung = 1 + 9/1 = 10, also Vout = 10·0,5 = 5 V. 4,5 V vergisst das „1 +“, und −4,5 V verwendet die Formel des invertierenden Verstärkers.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

Du kannst die Formeln verwenden, aber es ist sicherer zu wissen, woher sie kommen. Diese Methode funktioniert für jede Schaltung in diesem Thema:

  1. Bestimme V+. An Masse: 0 V. Mit dem Eingang verbunden: Vin.
  2. Verwende Regel 1: V− = V+.
  3. Bestimme den Strom durch R1 mit dem Ohmschen Gesetz anhand der Spannungen an seinen beiden Enden.
  4. Verwende Regel 2: Derselbe Strom fließt durch Rf.
  5. Gehe vom −-Eingang durch Rf zum Ausgang: Vout = V− − I·Rf, wobei I zum Ausgang hin fließt.

Mit kΩ und V ergeben sich Ströme in mA. Das hält die Zahlen klein.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein invertierender Verstärker mit einem idealen Op-Amp hat R1 = 2 kΩ, Rf = 10 kΩ und Vin = 0,5 V. Bestimme den Strom I1 und die Ausgangsspannung Vout.

1

Betrachte die Schaltung

−+Vout​Rf​ = 10 kΩ0,5 VR1​ = 2 kΩI1​I1​0 V

Der +-Eingang liegt an Masse, das ist also ein invertierender Verstärker.

2

Virtuelle Masse

V+ = 0 V, und die Rückkopplung erzwingt V− = V+.

V− = 0 V
3

Strom durch R₁

I1 = (Vin − V−) / R1 = (0,5 − 0) / 2 = 0,25 mA
4

Ausgangsspannung

Es fließt kein Strom in den Op-Amp, also fließen die 0,25 mA durch Rf weiter zum Ausgang.

Vout = 0 − 0,25·10 = −2,5 V
5

Antwort prüfen

Mit der Formel: Vout = −(10/2)·0,5 = −2,5 V. Die Verstärkung ist −5, und −2,5 V liegen deutlich innerhalb der Versorgungsspannungen von ±15 V.

Antwort

I1 = 0,25 mA und Vout = −2,5 V.

6Häufige Fehler

  • Das Minuszeichen des invertierenden Verstärkers vergessen.
  • Rf/R1 für die Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers verwenden. Sie ist 1 + Rf/R1.
  • Verwechseln, an welchen Eingang das Signal geht. Sieh dir die Zeichnung an: Signal über R1 in − bedeutet invertierend.
  • Bei einem Summierverstärker nur einen Eingang verwenden. Die Ströme aller Eingänge addieren sich in Rf.
Selbsttest Ein invertierender Verstärker hat R1 = 1 kΩ, Rf = 4,7 kΩ und Vin = −0,2 V. Wie groß ist Vout?
  1. 0,94 V
  2. 1,14 V
  3. −0,94 V
  4. −1,14 V

Antwort: 0,94 V. Vout = −(4,7/1)·(−0,2) = +0,94 V: Zwei Minuszeichen ergeben ein Plus. −0,94 V lässt ein Vorzeichen weg, und ±1,14 V verwendet die Verstärkung 5,7 des nichtinvertierenden Verstärkers.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: ein invertierender Verstärker. Du bestimmst Vout oder den Strom I1 durch R1. Der Eingang kann negativ sein.
  • Mittel: ein nichtinvertierender Verstärker. Du bestimmst Vout oder wählst Rf für eine gegebene Verstärkung: Rf = (Verstärkung − 1)·R1.
  • Schwer: ein Summierverstärker mit zwei Eingängen, jeder über seinen eigenen Widerstand in den −-Eingang.

In einem Summierverstärker ist der −-Eingang eine virtuelle Masse, daher schickt jeder Eingang seinen eigenen Strom V/R in den Knoten. Die Ströme addieren sich und fließen alle durch Rf:

If = V1/R1 + V2/R2 Vout = −Rf·If

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
−+Vout​Rf​ = 47 kΩVin​ = 1,5 VR1​ = 10 kΩ

Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung Vout.

Vin = 1,5 VR1 = 10 kΩRf = 47 kΩ

Gesucht: Vout (V)

Tipps anzeigen
  1. Der +-Eingang liegt auf Masse, daher ist der −-Eingang eine virtuelle Masse: V₋ = 0.
  2. In den Operationsverstärker fließt kein Strom, daher fließt der Strom durch R₁ weiter durch Rf.
  3. I1 = 0,15 mA.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Virtuelle Masse

V₊ = 0, und die Gegenkopplung erzwingt V₋ = V₊.

V₋ = V₊ = 0 V
I1 = (Vin − 0)/R1 = 1,5/10 = 0,15 mA

Ausgangsspannung

Derselbe Strom fließt durch Rf, vom −-Eingang zum Ausgang.

Vout = 0 − I1·Rf = −0,15·47 = −7,05 V
(Verstärkung = −Rf/R1 = −4,7)

Antwort

Vout = −7,05 V
Beispiel 2Mittel
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 1 kΩVin​

Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt; sein Ausgang geht bei ±12 V in die Sättigung. Der nicht invertierende Verstärker wird mit einer Sinusspannung angesteuert. Bestimme die größte Eingangsamplitude Vin,max (Scheitelwert), bei der der Ausgang nicht begrenzt wird.

R1 = 1 kΩRf = 47 kΩVsat = ±12 V

Gesucht: Vin,max (V)

Tipps anzeigen
  1. Für einen nichtinvertierenden Verstärker ist die Verstärkung 1 + Rf/R₁.
  2. Der Ausgangsscheitelwert |Verstärkung|·Vin muss unter Vsat bleiben.
  3. |Av| = 48.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Verstärkung

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 47/1 = 48

Größter Eingang vor der Begrenzung

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/48 = 0,25 V

Antwort

Vin,max = 0,25 V
Beispiel 3Schwer
−+Vout​C = 4,7 µFVin​ = −2,6 VR = 22 kΩ

Der Integrierer verwendet einen idealen Operationsverstärker mit ±15 V Versorgung; sein Ausgang geht bei ±12 V in die Sättigung. Der Kondensator ist ungeladen, als bei t = 0 eine konstante Eingangsspannung Vin = −2,6 V angelegt wird. Wie lange nach t = 0 erreicht der Ausgang die Sättigung? Bestimme t.

Vin = −2,6 VR = 22 kΩC = 4,7 µFVsat = ±12 V

Gesucht: t (ms)

Tipps anzeigen
  1. Der −-Eingang ist eine virtuelle Masse, es fließt also ein konstanter Strom Vin/R durch R und weiter in den Kondensator.
  2. Ein konstanter Strom lädt den Kondensator linear: Vout(t) = −Vin·t/(RC).
  3. RC = 103,4 ms.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Eingangsstrom und Anstiegsrate

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

RC = 22 kΩ · 4,7 µF = 103,4 ms
Anstiegsrate = −Vin/(RC) = −(−2,6)/103,4 = 0,02515 V/ms

Zeit bis zur Sättigung

|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 12·103,4/2,6 = 477,2 ms

Antwort

t = 477,2 ms

Fragen und Antworten

Operationsverstärker: Worum geht es?

Ein Operationsverstärker (Op-Amp) ist ein kleiner Chip, der Spannungen verstärkt. Er wird in Audiogeräten, Sensoren und Filtern eingesetzt.

Er hat zwei Eingänge, gekennzeichnet mit − (invertierend) und + (nichtinvertierend), und einen Ausgang. Er verstärkt die winzige Differenz zwischen den beiden Eingängen um einen enormen Faktor, oft 100 000 oder mehr.

Operationsverstärker: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Operationsverstärker: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Das ist die Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers. Hier liegt ein invertierender Verstärker vor: Vout = −(Rf/R₁)·Vin.
  • Der Ausgang ist der Eingang mal die Verstärkung, die Eingangsgrenze ist also Vsat geteilt durch die Verstärkung.
  • Eine Zeitkonstante RC ist hier nicht die Antwort: Der Ausgang steigt linear mit Vin/(RC) Volt pro Millisekunde, bis er Vsat erreicht.
Operationsverstärker: Was wird geübt?
  • Leicht: invertierender Verstärker
  • Mittel: nichtinvertierender Verstärker
  • Schwer: Summierverstärker

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