Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & Flipflops: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Einsen, Nullen und Gatter

Digitale Schaltungen arbeiten mit zwei Werten: 0 (niedrige Spannung, falsch) und 1 (hohe Spannung, wahr). Ein Logikgatter hat einen oder mehrere Eingänge und einen Ausgang.

• AND gibt nur 1 aus, wenn alle Eingänge 1 sind. Geschrieben A·B oder AB.
• OR gibt 1 aus, wenn mindestens ein Eingang 1 ist. Geschrieben A + B.
• NOT invertiert: 0 wird zu 1 und 1 wird zu 0. Geschrieben A′ (oder mit einem Strich über A).
• NAND und NOR sind AND und OR gefolgt von NOT; der kleine Kreis an einem Symbol bedeutet „invertiert“.
• XOR (A ⊕ B) gibt 1 aus, wenn sich die Eingänge unterscheiden.

Eine Wahrheitstabelle listet den Ausgang für jede Kombination der Eingänge auf: 2ⁿ Zeilen bei n Eingängen. Die Zeile ABC = 101 ist Zeile Nummer 5, genannt Minterm m₅.

2Boolesche Algebra

Logische Ausdrücke folgen Regeln wie die gewöhnliche Algebra, dazu einigen eigenen. Die nützlichsten:

Die Zusammenfassungsregel X·Y + X·Y′ = X ist der Kern der Vereinfachung: Zwei Terme, die sich in einer Variablen unterscheiden, verschmelzen, und diese Variable fällt weg.

Eine Summe von Produkten (SOP) ist ein OR von AND-Termen, etwa F = AB′ + C. Ein Produkt von Summen (POS) ist ein AND von OR-Termen, etwa F = (A + B)(B′ + C). Jeder Produktterm besteht aus Literalen: Variablen, mit oder ohne Strich.

3Karnaugh-Diagramme

Ein Karnaugh-Diagramm ist eine Wahrheitstabelle in Form eines Rasters, in dem benachbarte Felder sich in genau einer Variablen unterscheiden. Deshalb laufen Zeilen und Spalten als 00, 01, 11, 10 (Gray-Code) und nicht in binärer Reihenfolge.

1. Schreibe in das Feld jedes Minterms eine 1; die kleine Zahl in jedem Feld ist seine Mintermnummer.
2. Zeichne Rechtecke aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern um die Einsen. Gruppen dürfen über den Rand hinausgehen: Die linke und die rechte Spalte sind Nachbarn, ebenso die obere und die untere Zeile.
3. Mache jede Gruppe so groß wie möglich und benutze so wenige Gruppen wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist.
4. Lies jede Gruppe als Produktterm ab: Behalte nur die Variablen, die sich innerhalb der Gruppe nicht ändern. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen.

Im obigen Diagramm bilden die vier Einsen eine Gruppe. Darin ändern sich A und C, nur B = 1 bleibt, also F = B.

Mit X markierte Felder sind Don’t-Cares: Eingangskombinationen, die nie auftreten. Nutze ein X als 1, wenn dadurch eine Gruppe größer wird, und ignoriere es sonst. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

5Flipflops und Zähler

Gatter reagieren sofort auf ihre Eingänge. Ein Flipflop speichert ein Bit und ändert sich nur bei der aktiven Flanke des Takts (meist die steigende Flanke).

• D-Flipflop: Q wird bei jeder Taktflanke zu D (Q⁺ = D).
• T-Flipflop: kippt bei T = 1, hält bei T = 0.
• JK-Flipflop: JK = 00 hält, 01 setzt auf 0 zurück, 10 setzt auf 1, 11 kippt.

Ein kippendes Flipflop ändert sich bei jeder steigenden Flanke, sein Ausgang hat also die halbe Taktfrequenz. Verkettet man n davon, erhält man einen n-Bit-Binärzähler mit 2ⁿ Zuständen. Ein Mod-N-Zähler läuft 0, 1, …, N − 1 und wieder auf 0; er braucht das kleinste n mit 2ⁿ ≥ N, und sein letzter Ausgang läuft mit f_clk/N.

In einem Asynchronzähler wird jede Stufe von der vorherigen getaktet, daher addieren sich die Verzögerungen: Die Taktperiode muss mindestens n·t_pd betragen. Schieberegisterzähler nutzen weniger Zustände: Ein Ringzähler aus n Flipflops hat n Zustände, ein Johnson-Zähler 2n.

6Häufige Fehler

• Die Spalten des KV-Diagramms als 00, 01, 10, 11 schreiben. Die Reihenfolge ist der Gray-Code: 00, 01, 11, 10.
• Vergessen, dass Gruppen über den Rand des Diagramms hinausgehen.
• Gruppen aus 3 oder 6 Feldern bilden. Gruppen haben 1, 2, 4, 8 oder 16 Felder.
• Ein Don’t-Care abdecken, das nicht hilft: Ein X muss nie abgedeckt werden.
• Eine Gruppe ablesen, indem man die Variablen behält, die sich ändern. Behalte nur die, die konstant bleiben.
• Vergessen, dass ein Zähler überläuft: Ein n-Bit-Zähler zählt modulo 2ⁿ.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: eine Gatterschaltung für gegebene Eingänge auswerten, die Einsen ihrer Wahrheitstabelle zählen, einen Minterm in ein Karnaugh-Diagramm eintragen, die Anzahl der NAND-Gatter für eine Funktion oder die Signallaufzeit im ungünstigsten Fall bestimmen.
• Mittel: einen Ausdruck vereinfachen, die minimale SOP- oder POS-Form mit einem Karnaugh-Diagramm finden, eine mit einem Multiplexer aufgebaute Funktion oder die isolierte 1 eines Diagramms bestimmen.
• Schwer: Diagramme mit Don’t-Cares, wesentliche Primimplikanten, Zeitdiagramme von Flipflops, Zähler nach vielen Impulsen, die Anzahl der Flipflops oder die Ausgangsfrequenz sowie Schieberegister.

Prüfe einen vereinfachten Ausdruck, indem du ein oder zwei Zeilen der Wahrheitstabelle testest: Der ursprüngliche und der vereinfachte Ausdruck müssen denselben Ausgang liefern.