Zahlensysteme: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Binärsystem · Hexadezimalsystem · Zahlenumrechnung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Zahlensysteme mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: binär und hex nach dezimal, Zweierkomplement, Bits, Wertebereiche und Speicher.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Setze die Bits so, dass das 8-Bit-Register 0x99 enthält. Welchen Wert N hat das Muster dezimal?
0x99
Klicke auf ein Bit, um es zwischen 0 und 1 umzuschalten. Das Feld zeigt dein Muster als vorzeichenlose Zahl, und du kannst es auch eintippen. Exakte Antwort: eine ganze Zahl, ohne Rundung.
durch die Basis teilen, die Reste von unten nach oben lesen
Hex ↔ binär
eine Hex-Ziffer = 4 Bits
Zweierkomplement
die Bits invertieren und 1 addieren
Zahlensysteme von Grund auf lernen
1Was ein Zahlensystem ist
Im Alltag zählst du dezimal, zur Basis 10. Es hat zehn Ziffern, 0 bis 9, und jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts davon.
In 352 ist die 3 gleich 300 wert, die 5 gleich 50 und die 2 gleich 2. Die Stellen sind von rechts 1, 10, 100 wert.
352 = 3 · 100 + 5 · 10 + 2 · 1
Ein Computer speichert alles als Schalter, die an oder aus sind. Er zählt also binär, zur Basis 2, mit nur den Ziffern 0 und 1.
Eine Binärziffer ist ein Bit. Eine Gruppe von 8 Bits ist ein Byte.
Die Regel ist in jeder Basis dieselbe: Jede Ziffer ist ihr Wert mal eine Potenz der Basis wert.
Selbsttest Was ist die 7 in der Dezimalzahl 4721 wert?
7000
700
70
7
Antwort: 700. Von rechts gezählt sind die Stellen 1, 10, 100 und 1000 wert. Die 7 steht an der dritten Stelle, ist also 7 · 100 = 700 wert.
2Binär und hexadezimal
Im Binärsystem sind die Stellen von rechts 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter wert. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts davon.
Bei einer 8-Bit-Zahl sind die Stellen 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 und 1 wert.
Um eine Binärzahl zu lesen, addiere die Stellenwerte aller Bits, die 1 sind. Für 0011 0010 ist das 32 + 16 + 2 = 50.
Lange Bitfolgen sind schwer zu lesen. Programmierer schreiben sie deshalb oft hexadezimal (hex), zur Basis 16.
Hex braucht 16 Ziffern. Es verwendet 0 bis 9 und dann die Buchstaben A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 und F = 15.
Die Hex-Stellen sind von rechts 1, 16, 256 und 4096 wert. Eine Hexzahl wird oft mit 0x davor geschrieben, zum Beispiel 0x2F.
Eine Hexziffer sind genau 4 Bits, also ist 0011 0010 gleich 0x32: 0011 ist 3 und 0010 ist 2.
Selbsttest Was ist 0x1A dezimal?
110
11
161
26
Antwort: 26. A = 10. Die Stellen sind 16 und 1, also 1 · 16 + 10 · 1 = 26. Die Ziffern nebeneinander zu schreiben (110) oder zu addieren (11) ignoriert die Stellenwerte. 161 verwendet die Stellen in der falschen Reihenfolge.
3Negative Zahlen: Zweierkomplement
Ein Byte, bei dem alle Stellen positiv sind, speichert 0 bis 255. Das nennt man vorzeichenlos (unsigned).
Um negative Zahlen zu speichern, verwenden Computer das Zweierkomplement. Die einzige Änderung ist, dass das linke Bit −128 statt +128 wert ist.
So ist 1000 0011 gleich −128 + 2 + 1 = −125. Das linke Bit heißt Vorzeichenbit: Ist es 1, ist die Zahl negativ.
Eine 8-Bit-Zweierkomplementzahl reicht von −128 (1000 0000) bis +127 (0111 1111).
Um eine negative Zahl −x zu schreiben, gehe von +x binär aus, invertiere jedes Bit (0 wird 1, 1 wird 0) und addiere 1.
Beispiel für −5: 5 ist 0000 0101. Invertiert ist es 1111 1010. Addiert man 1, erhält man 1111 1011.
Dasselbe Muster vorzeichenlos gelesen hat den Wert 256 − x. Für −5 ist das 251, und 1111 1011 ist tatsächlich 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251.
Selbsttest Das 8-Bit-Muster 1111 1111 speichert eine Zweierkomplementzahl. Welchen Wert hat sie?
255
−127
−128
−1
Antwort: −1. −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −1. 255 ist die vorzeichenlose Lesart. −127 entsteht, wenn man das erste Bit als Minuszeichen vor 111 1111 behandelt.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Binär oder hex nach dezimal:
Schreibe unter jede Ziffer den Stellenwert: Potenzen von 2 für binär, Potenzen von 16 für hex, beginnend mit 1 rechts.
Ersetze bei hex jeden Buchstaben durch seinen Wert: A = 10 bis F = 15.
Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert und addiere alles.
Zweierkomplement:
Um ein Muster zu lesen, gib dem linken Bit den Wert −128 (bei 8 Bit) und addiere die Stellenwerte aller 1-Bits.
Um −x zu schreiben, schreibe +x in 8 Bit, invertiere jedes Bit und addiere 1.
Der vorzeichenlose Wert dieses Musters ist 256 − x. Prüfe damit deine Bits.
Bits, Wertebereiche und Speicher:
n Bits ergeben 2ⁿ verschiedene Muster.
Vorzeichenlos speichern sie 0 bis 2ⁿ − 1. Im Zweierkomplement speichern sie −2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹ − 1.
Damit k Objekte jeweils einen eigenen Code erhalten, suche das kleinste b mit 2b ≥ k.
Für den Speicher multipliziere die Anzahl der Objekte mit den Bits pro Objekt und teile dann durch 8 für Bytes und durch 1024 für KiB.
M = Breite × Höhe × Bits pro Pixel / 8 / 1024 (KiB)
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Das 8-Bit-Muster 1011 0110 speichert eine vorzeichenbehaftete ganze Zahl im Zweierkomplement. Welchen Wert N hat sie dezimal?
1
Schreibe die Stellenwerte auf
Im Zweierkomplement ist die linke Stelle −128 wert. Die anderen Stellen sind 64, 32, 16, 8, 4, 2 und 1.
2
Betrachte das Vorzeichenbit
Das linke Bit ist 1, die Zahl ist also negativ.
3
Addiere die 1-Bits
Die 1-Bits stehen an den Stellen −128, 32, 16, 4 und 2.
N = −128 + 32 + 16 + 4 + 2 = −74
4
Prüfe mit dem vorzeichenlosen Wert
Vorzeichenlos gelesen ist das Muster 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182.
Bei einer negativen Zahl ist der vorzeichenlose Wert 256 − x, also x = 256 − 182 = 74. Das ergibt wieder N = −74.
5
Prüfe durch Invertieren
Invertiere 1011 0110, um 0100 1001 zu erhalten, und addiere dann 1, um 0100 1010 zu erhalten.
0100 1010 ist 64 + 8 + 2 = 74. Das ursprüngliche Muster ist also −74.
Antwort
N = −74
6Häufige Fehler
Vergessen, nach dem Invertieren der Bits 1 zu addieren. Du landest um eins zu niedrig.
Ein Zweierkomplement-Muster vorzeichenlos lesen, zum Beispiel 1111 1111 als 255 statt als −1.
Das Vorzeichenbit als Minuszeichen vor den übrigen Bits behandeln. Im Zweierkomplement ist es −128 wert.
Die Stellen in der falschen Reihenfolge angeben. Die Stelle mit dem Wert 1 steht immer rechts.
A = 11 bei hex verwenden. Die Buchstaben beginnen bei A = 10.
Bits und Bytes in Speicheraufgaben verwechseln. Teile die Anzahl der Bits durch 8.
Selbsttest Wie lautet −5 als 8-Bit-Zweierkomplement-Muster?
0000 0101
1000 0101
1111 1010
1111 1011
Antwort: 1111 1011. 5 ist 0000 0101. Invertieren ergibt 1111 1010, und das Addieren von 1 ergibt 1111 1011. 1111 1010 vergisst das Addieren von 1, und 1000 0101 setzt ein Minuszeichen vor die 5.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: binär und hex nach dezimal. Wandle eine 8-Bit-Binärzahl oder eine 3-stellige Hexzahl in eine Dezimalzahl um.
Mittel: Zweierkomplement. Lies den Wert eines vorzeichenbehafteten 8-Bit-Musters ab oder schreibe eine negative Zahl als Muster und gib ihren vorzeichenlosen Wert an.
Schwer: Bits, Wertebereiche und Speicher. Der größte oder kleinste Wert, der in n Bits passt, die Anzahl der Bits für k Codes oder der Speicher, den ein Bild belegt.
Beispiel für eine schwere Aufgabe: Ein Bild mit 256 × 256 Pixeln und 24 Bit pro Pixel belegt 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB.
Selbsttest Wie viele Bits sind mindestens nötig, damit 375 Objekte jeweils einen eigenen Code erhalten?
188
512
8
9
Antwort: 9. 2⁸ = 256 sind zu wenige Codes, 2⁹ = 512 reichen, also 9 Bits. 512 ist die Anzahl der Codes, nicht die Anzahl der Bits.
Wandle die Hexadezimalzahl 0x2BE ins Dezimalsystem um. Bestimme N.
0x2BEA = 10 … F = 15
Gesucht: N
Tipps anzeigen
Hex-Stellen sind von rechts 1, 16, 256, 4096 wert.
Ersetze Buchstaben durch ihre Werte (A = 10 … F = 15), multipliziere mit dem Stellenwert und addiere.
2 = 2, B = 11, E = 14.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Jede Ziffer mit ihrem Stellenwert multiplizieren
2·256 + 11·16 + 14·1 = 702
Antwort
0x2BE = 702
Beispiel 2Mittel
Setze die Bits so, dass sie −45 im 8-Bit-Zweierkomplement speichern. Welchen Wert U hat das Muster, wenn man es als vorzeichenlose Zahl liest?
N = −458 bit
Gesucht: U
Tipps anzeigen
Schreibe 45 binär, invertiere jedes Bit und addiere dann 1.
45 = 0010 1101₂.
Als vorzeichenlose Zahl ist das Muster gleich 256 + N.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Bits setzen: Jedes Bit hat den Wert einer Zweierpotenz (128, 64, …, 1). Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bits, und im 8-Bit-Zweierkomplement hat das linke Bit den Wert −128. Bitweise Operationen wirken auf jede Bitposition einzeln.
Invertieren und eins addieren
45 = 0010 1101
invertiert: 1101 0010
+1 → 1101 0011
Vorzeichenlos lesen
1101 0011₂ = 256 − 45 = 211
Antwort
U = 211
Beispiel 3Schwer
Setze die Bits auf das 8-Bit-Ergebnis von 0111 0001 >> 3. Welchen Wert R hat das Ergebnis dezimal?
0111 0001>> 3
Gesucht: R
Tipps anzeigen
Das Rechtsschieben um 3 verschiebt jedes Bit um 3 Stellen nach rechts; Bits, die am rechten Ende herausfallen, gehen verloren, und links kommen Nullen nach.
Arbeite eine Bitposition nach der anderen ab, von links nach rechts.
Die ersten vier Bits des Ergebnisses sind 0000.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Bits setzen: Jedes Bit hat den Wert einer Zweierpotenz (128, 64, …, 1). Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bits, und im 8-Bit-Zweierkomplement hat das linke Bit den Wert −128. Bitweise Operationen wirken auf jede Bitposition einzeln.
Bit für Bit
Das Rechtsschieben um 3 verschiebt jedes Bit um 3 Stellen nach rechts; Bits, die am rechten Ende herausfallen, gehen verloren, und links kommen Nullen nach.
0111 0001 >> 3
= 0000 1110
Wert des Ergebnisses
0000 1110₂ = 14
Antwort
R = 14
Fragen und Antworten
Zahlensysteme: Worum geht es?
Im Alltag zählst du dezimal, zur Basis 10. Es hat zehn Ziffern, 0 bis 9, und jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts davon.
In 352 ist die 3 gleich 300 wert, die 5 gleich 50 und die 2 gleich 2. Die Stellen sind von rechts 1, 10, 100 wert.
Zahlensysteme: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Zahlensysteme: Was wird geübt?
Leicht: binär und hex nach dezimal
Mittel: Zweierkomplement
Schwer: Bits, Wertebereiche und Speicher
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.