Wheatstone-Brücke und Dehnungsmessstreifen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was eine Wheatstone-Brücke ist

Eine Wheatstone-Brücke besteht aus zwei Spannungsteilern, die an dieselbe Versorgung V_s angeschlossen sind. Die Ausgangsspannung ist die Spannung zwischen ihren Mittelpunkten a und b.

Haben die beiden Teiler dasselbe Verhältnis, liegen a und b auf derselben Spannung, und die Ausgangsspannung ist null: Die Brücke ist abgeglichen. Eine winzige Änderung in einem Zweig ergibt dann eine kleine Ausgangsspannung, die sich leicht messen lässt, ohne die große Gleichtaktspannung obendrauf.

Deshalb werden Brücken eingesetzt, um unbekannte Widerstände und die kleinen Widerstandsänderungen von Sensoren wie Dehnungsmessstreifen und Thermistoren zu messen.

2Knotenspannungen und die Abgleichbedingung

Jeder Mittelpunkt ist ein Spannungsteiler. Mit R₁ über R₂ und R₃ über R₄:

Die Ausgangsspannung ist null, wenn die Verhältnisse übereinstimmen:

Die Versorgungsspannung kommt in der Abgleichbedingung nicht vor. Deshalb lässt sich ein unbekannter Widerstand finden, indem man einen bekannten verstellt, bis ein Galvanometer null anzeigt.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Beschrifte die Zweige: R₁ und R₂ im linken Teiler, R₃ und R₄ im rechten, mit Knoten a zwischen R₁ und R₂ und Knoten b zwischen R₃ und R₄.
2. Löse bei einer abgeglichenen Brücke R₁·R₄ = R₂·R₃ nach der Unbekannten auf.
3. Bestimme bei einer nicht abgeglichenen Brücke V_a und V_b aus den Teilern und bilde die Differenz.
4. Belastet ein Messgerät mit dem Widerstand R_g den Ausgang, ersetze die Brücke durch ihre Thevenin-Ersatzschaltung: V_th = V_ab und R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. Dann ist I_g = V_th/(R_th + R_g).

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

5Dehnungsmessstreifen

Ein Dehnungsmessstreifen ist eine dünne Metallfolie, die auf ein Bauteil geklebt wird. Dehnt sich das Bauteil, wird die Folie länger und dünner, und ihr Widerstand steigt:

ε ist die Dehnung (oft in Mikrodehnung, µε = 10⁻⁶) und GF der k-Faktor, bei Metallfolie etwa 2. Die Änderung ist winzig: 500 µε an einem Streifen mit 350 Ω und GF = 2 ergeben ΔR = 0,35 Ω.

In einer Brücke mit lauter gleichen Zweigen R ist die Ausgangsspannung näherungsweise:

• Viertelbrücke (ein aktiver Streifen): V_o ≈ V_s·GF·ε/4.
• Halbbrücke (zwei Streifen mit entgegengesetzter Dehnung in einem Teiler): V_o = V_s·GF·ε/2.
• Vollbrücke (vier aktive Streifen): V_o = V_s·GF·ε.

Mit V_s = 5 V, GF = 2 und 500 µε ergibt eine Viertelbrücke 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. Die Spannung folgt aus dem Hookeschen Gesetz, σ = E·ε.

6Häufige Fehler

• In der Abgleichbedingung die falschen Zweige zu paaren. Vergleiche die beiden oberen Zweige mit den beiden unteren.
• Den Faktor 4 der Viertelbrücke für eine Halb- oder Vollbrücke zu verwenden.
• Zu vergessen, dass µε für 10⁻⁶ steht.
• Die Schätzung für kleine Änderungen V_s·ΔR/(4R) bei einer großen Widerstandsänderung zu verwenden; berechne dann beide Teiler exakt.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: Abgleich und Knotenspannungen. Du bestimmst den unbekannten oder einstellbaren Zweig einer abgeglichenen Brücke, eine Knotenspannung, die Leerlaufausgangsspannung, den Versorgungsstrom oder den unbekannten Widerstand einer Schleifdrahtbrücke.
• Mittel: nicht abgeglichene Brücken. Du bestimmst die exakte oder linearisierte Ausgangsspannung bei einer Widerstandsänderung, den Thevenin-Widerstand, den Galvanometerstrom, die Widerstandsänderung aus einer gemessenen Ausgangsspannung oder die Leistung in einem Streifen.
• Schwer: Dehnungsmessstreifen und Kraftaufnehmer. Du bestimmst die Dehnung aus ΔR, die Ausgangsspannung einer Viertel-, Halb- oder Vollbrücke, Dehnung oder Spannung aus einem Messwert, die Verstärkung für den Eingang eines Wandlers oder die Ausgangsspannung eines Kraftaufnehmers mit Nennwert in mV/V.

Bei einer Schleifdrahtbrücke übernehmen die beiden Drahtabschnitte die Rolle der Verhältniszweige: R/R_x = l/(100 − l).