Sprungantwort: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Sprungantwort mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Systeme erster Ordnung, Parameter zweiter Ordnung, Physikalische Systeme und Auslegung.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein ungeladener Kondensator C = 47 µF wird von einer Sprungquelle mit 5 V über einen Widerstand R = 4,7 kΩ geladen. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 220,9 ms.
Ein Sprung ist ein Eingang, der bei t = 0 von 0 auf einen konstanten Wert springt und dort bleibt. Denke ans Einschalten einer Heizung oder ans Gaspedal, das du durchdrückst und hältst.
Die Sprungantwort ist, wie der Ausgang folgt. Er kann nicht sofort springen: Er bewegt sich auf einen neuen Endwert y(∞) zu und stellt sich dort ein.
Kurve a steigt gleichmäßig und überschwingt nie. Das ist ein System erster Ordnung, wie eine RC-Schaltung oder ein beheizter Tank.
Kurve b überschwingt, schwingt einige Male und stellt sich dann ein. Das ist ein schwach gedämpftes System zweiter Ordnung, wie eine Fahrzeugfederung oder eine Masse an einer Feder.
Der Endwert ergibt sich aus der stationären Verstärkung G(0): Ein Sprung der Größe U stellt sich bei y(∞) = G(0)·U ein. Das ist der Endwertsatz der Laplace-Transformation.
Selbsttest Ein System G(s) = 3/(2s + 1) erhält einen Sprung der Größe 4. Wie groß ist der Endwert y(∞)?
12
3
4
6
Antwort: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, also y(∞) = 3·4 = 12. Der Wert 4 vergisst die Verstärkung, 3 vergisst die Sprunghöhe, und 6 teilt durch die 2 in 2s, die bei s = 0 verschwindet.
2Systeme erster Ordnung
Ein System erster Ordnung hat die untenstehende Standardform. K ist die statische Verstärkung und τ die Zeitkonstante in Sekunden.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Ist G(s) als b/(s + a) geschrieben, teile Zähler und Nenner durch a. Dann ist K = b/a und τ = 1/a.
Nach 1τ hat der Ausgang 63 % seiner Änderung vollzogen, nach 3τ 95 %, nach 5τ mehr als 99 %.
Die Zeit bis zu einem Anteil x des Endwerts: t = −τ·ln(1 − x). Für 90 % ist t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Die Anstiegszeit von 10 bis 90 % ist tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Für eine RC-Schaltung gilt τ = R·C. Beachte, dass kΩ mal µF Millisekunden ergibt.
Wenn du die Antwort misst, kannst du τ rückwärts bestimmen. Hat der Ausgang zur Zeit t einen Anteil x erreicht, dann ist τ = −t/ln(1 − x).
Durchgerechnetes Beispiel
G(s) = 10/(s + 5) erhält bei t = 0 einen Sprung der Größe 2. Bestimme den Endwert und die Zeit bis zu 90 % davon.
1
Standardform
Teile Zähler und Nenner durch 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Endwert
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Zeit bis 90 %
Löse 1 − e−t/τ = 0,9, also e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Antwort
y(∞) = 4, und der Ausgang erreicht 90 % nach t ≈ 0,461 s.
Selbsttest Wie groß ist die Zeitkonstante von G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Antwort: 0,2 s. Als 2/(0,2s + 1) geschrieben ist die Zeitkonstante τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s verwechselt τ mit a, und 2 ist die Verstärkung K, keine Zeit.
3Systeme zweiter Ordnung
Ein System zweiter Ordnung hat einen quadratischen Nenner. Vergleiche ihn mit der Standardform:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Der konstante Term ist ωn², die Eigenkreisfrequenz ist also ωn = √(konstanter Term), in rad/s.
Der Koeffizient von s ist 2ζωn, das Dämpfungsmaß ist also ζ = (Koeffizient von s)/(2ωn).
Für 0 < ζ < 1 überschwingt und schwingt die Antwort. Ein kleineres ζ bedeutet mehr Überschwingen.
Für einen Einheitssprung ist der Endwert G(0) = K/ωn². Fünf Zahlen beschreiben die Form der Antwort:
ωd ist die gedämpfte Frequenz: wie schnell die Antwort schwingt.
tp ist die Anregelzeit bis zum Maximum, wenn der Ausgang am höchsten ist. %OS ist das prozentuale Überschwingen über den Endwert.
ts ist die Ausregelzeit, nach der der Ausgang innerhalb von 2 % des Endwerts bleibt.
Die beiden Pole sind s = σ ± jωd mit dem Realteil σ = −ζωn. Ihr Abstand vom Ursprung ist ωn, und cos θ = ζ.
Selbsttest Ein System hat den Nenner s² + 4s + 25. Wie groß ist das Dämpfungsmaß ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Antwort: 0,4. ωn = √25 = 5, und 2ζωn = 4 ergibt ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 vergisst die 2, 0,08 teilt durch ωn² statt durch ωn, und 2 ist ζωn.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Bestimme die Ordnung: Ein Nenner vom Grad 1 ist erster Ordnung, vom Grad 2 zweiter Ordnung.
Erste Ordnung: Schreibe G(s) als K/(τs + 1) und lies K und τ ab.
Zweite Ordnung: Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωns + ωn². Bestimme zuerst ωn, dann ζ.
Bestimme den Endwert y(∞) = G(0)·U.
Wende die Formel für das Gesuchte an: y(t), eine Zeit, tp, %OS, ts oder σ.
Prüfe die Einheiten: Zeiten in Sekunden, ω in rad/s, und der Winkel in e… und π-Formeln im Bogenmaß.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Das ist eine typische mittelschwere Frage. Probiere jeden Schritt aus, bevor du ihn aufklappst.
Durchgerechnetes Beispiel
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) erhält einen Einheitssprung. Bestimme ζ, ωn, das prozentuale Überschwingen und die Anregelzeit bis zum Maximum.
1
Eigenfrequenz
Der konstante Term ist ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Dämpfungsgrad
Der Koeffizient von s ist 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ liegt zwischen 0 und 1, die Antwort überschwingt also.
3
Prozentuales Überschwingen
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Anregelzeit bis zum Maximum
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Antwort prüfen
Der Endwert ist G(0) = 16/16 = 1, das Maximum liegt also bei etwa 1,163. Die Abbildung im vorherigen Abschnitt verwendet dasselbe System.
Die Ausregelzeit 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s liegt später als das Maximum, wie es sein muss.
Antwort
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3 % und tp ≈ 0,907 s.
6Häufige Fehler
Den Anstieg als linear behandeln. Eine Exponentialfunktion erreicht 90 % nach 2,3τ, nicht nach 0,9τ: Verwende t = −τ·ln(1 − x).
ln(x) statt ln(1 − x) verwenden. Der Logarithmus nimmt den noch fehlenden Anteil.
τ = a aus b/(s + a) ablesen. Die Zeitkonstante ist 1/a.
ωn² als ωn verwenden. Ziehe die Wurzel aus dem konstanten Term.
Die 2 in 2ζωn vergessen oder ωn statt ωd in tp = π/ωd verwenden.
Das Überschwingen als Bruch (0,163) angeben, wenn die Aufgabe Prozent (16,3 %) verlangt.
Selbsttest G(s) = 2/(s + 4) erhält einen Sprung. Wie lange braucht der Ausgang, um 90 % seines Endwerts zu erreichen?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Antwort: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s und t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s behandelt den Anstieg als linear (0,9τ). 0,026 s verwendet ln(0,9) statt ln(0,1). 9,21 s verwendet a = 4 statt τ.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Systeme erster Ordnung. Du bestimmst y(∞), den Ausgang zu einer gegebenen Zeit, die Zeit bis zu einem Prozentsatz, τ aus einem gemessenen Punkt oder die Ladezeit einer RC-Schaltung.
Mittel: Parameter zweiter Ordnung. Aus G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) bestimmst du ζ, ωn, %OS, tp, ts oder den Realteil σ der Pole.
Schwer: physikalische Systeme und Entwurf. Ein Masse-Feder-Dämpfer-System oder eine RLC-Schaltung, oder ζ und ωn, rückwärts aus einem gemessenen Überschwingen und einer Anregelzeit bis zum Maximum bestimmt.
Für eine Masse m, einen Dämpfer c und eine Feder k ergibt die Gleichung m·x″ + c·x′ + k·x = F:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Um aus einem Überschwingen rückwärts zu rechnen, löse die %OS-Formel nach ζ auf:
Ein System erster Ordnung G(s) = 2/(2s + 1) erhält bei t = 0 einen Eingangssprung der Größe 2, ausgehend von der Ruhe. Bestimme den Endwert y(∞) des Ausgangs.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Gesucht: y(∞)
Tipps anzeigen
Endwertsatz: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) ist die statische Verstärkung.
G(0) = 2.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Statische Verstärkung
G(0) = 2
Endwert
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Antwort
y(∞) = 4
Beispiel 2Mittel
Ein System hat die Übertragungsfunktion G(s) = 213/(s² + 8s + 71) und erhält einen Einheitssprung am Eingang. Bestimme das prozentuale Überschwingen %OS der Sprungantwort.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Gesucht: %OS(%)
Tipps anzeigen
Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Mit der Normalform vergleichen
Der Nenner muss mit s² + 2ζωₙs + ωₙ² übereinstimmen.
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Ergebnis
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Antwort
%OS = 18,37 %
Beispiel 3Schwer
Eine Masse m = 2,5 kg hängt an einer Feder k = 800 N/m mit einem viskosen Dämpfer c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). In der Gleichgewichtslage in Ruhe wird plötzlich eine konstante Kraft F = 10 N aufgebracht. Bestimme den Zeitpunkt tp, zu dem die Auslenkung am größten ist.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Gesucht: tp(s)
Tipps anzeigen
Teile durch m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, also ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Die endgültige Auslenkung ist F/k = 12,5 mm.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsgrad
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Ergebnis
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Antwort
tp = 0,1765 s
Fragen und Antworten
Sprungantwort: Worum geht es?
Ein Sprung ist ein Eingang, der bei t = 0 von 0 auf einen konstanten Wert springt und dort bleibt. Denke ans Einschalten einer Heizung oder ans Gaspedal, das du durchdrückst und hältst.
Die Sprungantwort ist, wie der Ausgang folgt. Er kann nicht sofort springen: Er bewegt sich auf einen neuen Endwert y(∞) zu und stellt sich dort ein.
Sprungantwort: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jωd mit ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), Überschwingzeit (Scheitelzeit) tp = π/ωd und die 2-%-Ausregelzeit ts ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).
Sprungantwort: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Der Ausgang stellt sich auf K·U ein, nicht auf U: Die statische Verstärkung ist G(0) = 2.
Gib das Überschwingen in Prozent an: Multipliziere mit 100.
Der Exponent ist −ζπ/√(1 − ζ²).
Sprungantwort: Was wird geübt?
Leicht: Systeme erster Ordnung
Mittel: Parameter zweiter Ordnung
Schwer: Physikalische Systeme und Auslegung
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
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