LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Eigenfrequenz, Q und Energie, Reihen- und Parallel-RLC, Entwurf, Verluste und Abklingen.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
C = ?L = 4,7 mH

Ein LC-Kreis mit L = 4,7 mH soll bei 50 kHz in Resonanz sein. Bestimme die Kapazität C in nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
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LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite kostenlos übenLC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtEigenfrequenz, Q und Energie
  2. MittelReihen- und Parallel-RLC
  3. SchwerEntwurf, Verluste und Abklingen

So löst du Aufgaben zu LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite

  1. Bestimme zuerst die Resonanzfrequenz: ω₀ = 1/√(LC) und f₀ = ω₀/(2π).
  2. Entscheide, ob die Schaltung ein Reihen- oder ein Parallelkreis ist: Reihe Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
  3. Verwende BW = f₀/Q für die Bandbreite oder die Abkürzungen R/(2πL) (Reihe) und 1/(2πRC) (parallel).
  4. Nutze bei Energieaufgaben, dass die Gesamtenergie ½CV₀² im idealen LC-Kreis konstant bleibt und alle Viertelperiode zwischen C und L wechselt.

Häufige Fehler

  • ω₀ (rad/s) und f₀ (Hz) zu verwechseln: Sie unterscheiden sich um den Faktor 2π.
  • Die Reihenformel für Q in einem Parallelkreis zu verwenden, wo ein größeres R ein höheres Q bedeutet.
  • f₀ genau in die Mitte zwischen f₁ und f₂ zu legen: Es ist ihr geometrisches Mittel √(f₁f₂).
  • µH, nF und pF nicht in H und F umzurechnen.

Wichtige Formeln

Eigenfrequenz
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Spitzenstrom
Imax = V0√(C/L)
Güte
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Reihen-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreite
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halbleistungsfrequenzen
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Schwingkreis mit Spulenwiderstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Abklingen der Amplitude
e−Rt/(2L)

LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite von Grund auf lernen

Davor: Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

1Was in einem LC-Kreis geschieht

Lade einen Kondensator auf und schließe ihn an eine Spule an. Der Kondensator treibt einen Strom durch die Spule. Der Strom baut ein Magnetfeld auf, und wenn der Kondensator leer ist, hält das Feld den Strom aufrecht, sodass sich der Kondensator in die andere Richtung auflädt. Dann läuft alles zurück.

C+−Li

Die Energie pendelt zwischen dem elektrischen Feld von C (½Cv²) und dem magnetischen Feld von L (½Li²), so wie ein Pendel zwischen Höhe und Geschwindigkeit pendelt. Ohne Widerstand bleibt die Gesamtenergie ½CV0² gleich.

Selbsttest Wo befindet sich die Energie eines idealen LC-Kreises in dem Moment, in dem die Kondensatorspannung null ist?
  1. Ganz im Kondensator
  2. Ganz in der Spule, und der Strom ist am Maximum
  3. Je zur Hälfte in C und in L
  4. Sie ist als Wärme verloren gegangen

Antwort: Ganz in der Spule, und der Strom ist am Maximum. Bei v = 0 speichert der Kondensator ½Cv² = 0, also steckt die gesamte Energie als ½Li² in der Spule: Der Strom ist maximal. Ein idealer Kreis hat keinen Widerstand, also geht nichts verloren.

2Die Eigenfrequenz

Der Kreis schwingt bei der Frequenz, bei der die Blindwiderstände von L und C gleich sind, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Mit L = 10 mH und C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s und f0 = 1592 Hz. Die Energie wandert in einer Viertelperiode von T = 1/f0 von C nach L.

Die Energie liefert auch den Spitzenstrom: ½CV0² = ½LImax², also Imax = V0√(C/L).

Selbsttest Was geschieht mit f0, wenn du C verdoppelst?
  1. Sie fällt auf f0/√2, etwa 0,71·f0
  2. Sie halbiert sich
  3. Sie steigt um den Faktor √2
  4. Sie verdoppelt sich

Antwort: Sie fällt auf f0/√2, etwa 0,71·f0. f0 ist proportional zu 1/√C, also teilt eine Verdopplung von C sie durch √2. Sie halbiert sich erst, wenn C viermal so groß ist.

3Gütefaktor und Bandbreite

Reale Schaltungen verlieren Energie im Widerstand. Der Gütefaktor Q vergleicht die gespeicherte Energie mit dem Verlust: Q = 2π·(gespeicherte Energie)/(Energieverlust pro Periode). Ein hohes Q ergibt eine scharfe Resonanzspitze.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Die Bandbreite ist die Breite der Spitze zwischen den Halbleistungsfrequenzen f1 und f2, bei denen der Strom 0,707 seines Spitzenwerts beträgt:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Reihen-RLC: Q = (1/R)·√(L/C) und BW = R/(2πL). Ein kleiner Reihenwiderstand ergibt ein hohes Q.
  • Parallel-RLC: Q = R·√(C/L) und BW = 1/(2πRC). Ein großer Parallelwiderstand ergibt ein hohes Q.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Rechne L und C in H und F um und bestimme dann ω0 = 1/√(LC) und f0 = ω0/(2π).
  2. Entscheide, ob R in Reihe oder parallel liegt, und verwende die passende Formel für Q.
  3. Bestimme die Bandbreite BW = f0/Q.
  4. Für die Halbleistungsfrequenzen verwende f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); bei hohem Q ist f0 ∓ BW/2 nahe dran.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Reihen-RLC-Kreis hat R = 10 Ω, L = 10 mH und C = 1 µF. Bestimme seine Resonanzfrequenz, seinen Gütefaktor, seine Bandbreite und seine Halbleistungsfrequenzen.

1

Betrachte die Schaltung

RLC

Alle drei Bauteile führen denselben Strom, also ist dies ein Reihenkreis.

2

Resonanzfrequenz

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Güte

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Bandbreite

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Kontrolle: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Halbleistungsfrequenzen

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz und 1673 Hz

Kontrolle: 1673 − 1514 = 159 Hz, und √(1514·1673) = 1592 Hz.

Antwort

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz und f2 = 1,67 kHz.

6Häufige Fehler

  • ω0 in rad/s und f0 in Hz zu verwechseln: Sie unterscheiden sich um den Faktor 2π.
  • Die Reihenformel für Q in einem Parallelkreis zu verwenden.
  • f0 genau in die Mitte zwischen f1 und f2 zu legen: Es ist ihr geometrisches Mittel.
  • mH, µH, nF und pF nicht in H und F umzurechnen.
Selbsttest Ein Parallel-RLC-Kreis hat R = 10 kΩ, L = 10 mH und C = 1 µF. Wie groß ist sein Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Antwort: 100. Parallel gilt Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Die Reihenformel (1/R)·√(L/C) ergibt 0,01, und ohne die Wurzel ergibt sich 1.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Eigenfrequenz, Q und Energie. Du bestimmst f0 oder das C für ein gegebenes f0, die Bandbreite aus Q oder Q aus der Bandbreite, die gespeicherte Energie oder den Spitzenstrom.
  • Mittel: Reihen- und Parallel-RLC. Du bestimmst Q oder die Bandbreite eines Reihen- oder Parallelkreises, die exakte Halbleistungsfrequenz, die Zeit, in der die Energie von C nach L wandert, oder die Energie in L bei einer gegebenen Kondensatorspannung.
  • Schwer: Entwurf, Verluste und Abklingen. Du dimensionierst R für eine Bandbreite oder C für ein Filter, bestimmst den Energieverlust pro Periode, den dynamischen Widerstand eines Schwingkreises, die Anzahl der Perioden, bis die Amplitude auf die Hälfte sinkt, oder Q aus den beiden Halbleistungsfrequenzen.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
C = ?L = 47 µH

Ein LC-Kreis mit L = 47 µH soll bei 500 kHz in Resonanz sein. Bestimme die Kapazität C in nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Gesucht: C (nF)

Tipps anzeigen
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

LC-Resonanz: Ein aufgeladener Kondensator, der an eine Spule angeschlossen wird, treibt einen Strom, der ihn in die andere Richtung auflädt: Die Energie pendelt bei der Eigenfrequenz f0 = 1/(2π√(LC)) zwischen dem elektrischen Feld von C (½Cv²) und dem magnetischen Feld von L (½Li²). Ohne Widerstand bleibt die Gesamtenergie ½CV0² konstant, der Spitzenstrom ist also Imax = V0√(C/L). Eine Periode ist T = 1/f0; die Energie wandert in einem Viertel davon von C nach L.

Kreisfrequenz

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Kapazität

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Antwort

C = 2,156 nF
Beispiel 2Mittel
V2 Ω2,2 mH220 nF

Ein Reihen-RLC-Kreis hat R = 2 Ω, L = 2,2 mH und C = 220 nF. Bestimme seine Bandbreite BW in Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Gesucht: BW (Hz)

Tipps anzeigen
  1. Die Bandbreite ist f₀/Q.
  2. Für den Reihen-RLC-Kreis vereinfacht sich das zu BW = R/(2πL): C fällt heraus.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gütefaktor und Bandbreite: In einem Resonanzkreis gilt Q = 2π·(gespeicherte Energie)/(Energieverlust pro Periode). Für den Reihen-RLC-Kreis ist Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); für den Parallel-RLC-Kreis ist Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Die Bandbreite zwischen den Halbleistungsfrequenzen f1 und f2 (bei denen die Leistung halb so groß ist und Strom oder Spannung 1/√2 ihres Spitzenwerts betragen) ist BW = f2 − f1 = f0/Q, das heißt R/(2πL) in Reihe und 1/(2πRC) parallel. Die Resonanzfrequenz ist das geometrische Mittel f0 = √(f1f2), und f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verluste lassen die Schwingung auch abklingen: Im Reihen-RLC-Kreis fällt die Amplitude wie e−Rt/(2L).

Bandbreite in rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Bandbreite in Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Antwort

BW = 144,7 Hz

Mit f₀ = 7,234 kHz ergibt sich Q = 50.

Beispiel 3Schwer
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Ein Parallelschwingkreis besteht aus einem Kondensator mit 10 nF und einer Spule mit 47 µH und einem Wicklungswiderstand von 0,5 Ω. Bei Resonanz verhält er sich wie ein Widerstand, sein dynamischer Widerstand ist RD = L/(C·r). Bestimme RD in kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Gesucht: RD (kΩ)

Tipps anzeigen
  1. Der Schwingkreis nimmt bei Resonanz nur einen kleinen Strom auf, seine Impedanz ist also groß.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gütefaktor und Bandbreite: In einem Resonanzkreis gilt Q = 2π·(gespeicherte Energie)/(Energieverlust pro Periode). Für den Reihen-RLC-Kreis ist Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); für den Parallel-RLC-Kreis ist Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Die Bandbreite zwischen den Halbleistungsfrequenzen f1 und f2 (bei denen die Leistung halb so groß ist und Strom oder Spannung 1/√2 ihres Spitzenwerts betragen) ist BW = f2 − f1 = f0/Q, das heißt R/(2πL) in Reihe und 1/(2πRC) parallel. Die Resonanzfrequenz ist das geometrische Mittel f0 = √(f1f2), und f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verluste lassen die Schwingung auch abklingen: Im Reihen-RLC-Kreis fällt die Amplitude wie e−Rt/(2L).

Dynamischer Widerstand

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Kontrolle mit Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Antwort

RD = 9,4 kΩ

Fragen und Antworten

LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite: Worum geht es?

Lade einen Kondensator auf und schließe ihn an eine Spule an. Der Kondensator treibt einen Strom durch die Spule. Der Strom baut ein Magnetfeld auf, und wenn der Kondensator leer ist, hält das Feld den Strom aufrecht, sodass sich der Kondensator in die andere Richtung auflädt. Dann läuft alles zurück.

Die Energie pendelt zwischen dem elektrischen Feld von C (½Cv²) und dem magnetischen Feld von L (½Li²), so wie ein Pendel zwischen Höhe und Geschwindigkeit pendelt. Ohne Widerstand bleibt die Gesamtenergie ½CV0² gleich.

LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Bestimme zuerst die Resonanzfrequenz: ω₀ = 1/√(LC) und f₀ = ω₀/(2π).
  2. Entscheide, ob die Schaltung ein Reihen- oder ein Parallelkreis ist: Reihe Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
  3. Verwende BW = f₀/Q für die Bandbreite oder die Abkürzungen R/(2πL) (Reihe) und 1/(2πRC) (parallel).
  4. Nutze bei Energieaufgaben, dass die Gesamtenergie ½CV₀² im idealen LC-Kreis konstant bleibt und alle Viertelperiode zwischen C und L wechselt.
LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • ω₀ (rad/s) und f₀ (Hz) zu verwechseln: Sie unterscheiden sich um den Faktor 2π.
  • Die Reihenformel für Q in einem Parallelkreis zu verwenden, wo ein größeres R ein höheres Q bedeutet.
  • f₀ genau in die Mitte zwischen f₁ und f₂ zu legen: Es ist ihr geometrisches Mittel √(f₁f₂).
  • µH, nF und pF nicht in H und F umzurechnen.
LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite: Was wird geübt?
  • Leicht: Eigenfrequenz, Q und Energie
  • Mittel: Reihen- und Parallel-RLC
  • Schwer: Entwurf, Verluste und Abklingen

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

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