Bode-Diagramme und Reserven: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Frequenzgang · Amplitudenreserve · Phasenreserve
Kostenlose Übungsaufgaben zu Bode-Diagramme und Reserven mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Filter und Asymptoten, Betrag und Phase, Stabilitätsreserven.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme die Eckfrequenz (−3 dB) fc des gezeigten RC-Hochpass mit R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Gib sie in Hz an.
Gibst du eine Sinuswelle auf einen Filter oder Verstärker, kommt eine Sinuswelle mit derselben Frequenz heraus. Nur zwei Dinge ändern sich: ihre Größe und ihr zeitlicher Verlauf.
Die Verstärkung |H| ist das Verhältnis von Ausgangsamplitude zu Eingangsamplitude. Die Phase φ gibt an, wie weit der Ausgang verschoben ist, in Grad. Eine negative Phase bedeutet, dass der Ausgang nacheilt.
Beide hängen von der Frequenz ab. Ein Bode-Diagramm zeichnet sie über der Frequenz auf: die Verstärkung in Dezibel oben, die Phase darunter. Die Frequenzachse ist logarithmisch, sodass jede Dekade (×10) die gleiche Breite erhält.
Dezibel machen aus einem Verhältnis eine Zahl, die du addieren kannst:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
Eine Verstärkung von 1 sind 0 dB, 10 sind 20 dB, 100 sind 40 dB, und 0,1 sind −20 dB.
Eine Verstärkung von 1/√2 ≈ 0,707 sind −3 dB. Das ist der Rand des Durchlassbereichs eines Filters.
Selbsttest Ein Verstärker hat eine Verstärkung von 100. Wie groß ist seine Verstärkung in Dezibel?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Antwort: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB verwendet 10·log₁₀, das für Leistungsverhältnisse gilt, nicht für Spannungen. 2 ist nur log₁₀(100).
2Filter erster Ordnung
Ein Widerstand mit einem Kondensator oder einer Spule ergibt den einfachsten Filter. Ein Tiefpass lässt tiefe Frequenzen durch und schwächt hohe ab. Ein Hochpass tut das Gegenteil.
Beim RC-Tiefpass (links) liegt der Ausgang am Kondensator. Beim RC-Hochpass (rechts) liegt er am Widerstand. Mit einer Spule liegt der Ausgang eines Tiefpasses an R und der eines Hochpasses an L.
Die Änderung geschieht um die Eckfrequenz herum, bei der die Verstärkung −3 dB beträgt. Sie ist für die Tiefpass- und die Hochpassversion gleich:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc ist in rad/s und fc in Hz. Rechne R, C und L zuerst in Basiseinheiten um: Ω, F und H.
Das Diagramm zeigt einen Tiefpass. Unterhalb von ωc beträgt die Verstärkung etwa 0 dB. Darüber fällt sie um 20 dB pro Dekade. Die Phase geht von 0° nach −90° und beträgt an der Eckfrequenz −45°.
Bei jeder Frequenz, mit dem Verhältnis x = f/fc = ω/ωc:
Tiefpass: |H| = 1/√(1 + x²) und φ = −atan x.
Hochpass: |H| = x/√(1 + x²) und φ = 90° − atan x.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme die Eckfrequenz fc eines RL-Hochpasses mit R = 470 Ω und L = 47 mH.
1
Basiseinheiten
L = 47 mH = 0,047 H
2
Eckfrequenz in rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Eckfrequenz in Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Antwort
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Selbsttest Ein RC-Tiefpass hat R = 1 kΩ und C = 1 µF. Wie groß ist seine Eckfrequenz fc?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Antwort: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, also fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 ist ωc in rad/s, nicht in Hz. 6283 multipliziert mit 2π, und 159 kHz vergisst das k in kΩ.
3Geradlinige Bode-Diagramme
Für eine Übertragungsfunktion G(s) kannst du den Betrag mit Geraden skizzieren. Jeder Faktor ändert die Steigung bei seiner eigenen Eckfrequenz.
Ein Polfaktor (s + p) im Nenner knickt die Linie ab ω = p um 20 dB/Dekade nach unten.
Ein Nullstellenfaktor (s + z) im Zähler knickt sie ab ω = z um 20 dB/Dekade nach oben.
Ein Faktor s im Nenner (ein Integrator) ergibt bei jeder Frequenz −20 dB/Dekade und −90° Phase.
Ohne Integrator beginnt das Diagramm flach bei der in dB umgerechneten stationären Verstärkung G(0).
Die Abbildung zeigt G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, das Diagramm beginnt also bei 20 dB. Es knickt bei 10 rad/s auf −20 dB/Dekade und bei 100 rad/s auf −40 dB/Dekade.
Um die Steigung in einem Bereich zu bestimmen, beginne mit −20 dB/Dekade pro Integrator und addiere dann −20 für jede Polecke und +20 für jede Nullstellenecke unterhalb dieses Bereichs.
Selbsttest G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Wie groß ist die Steigung des geradlinigen Diagramms zwischen 5 und 50 rad/s?
0 dB/Dekade
−20 dB/Dekade
−40 dB/Dekade
−60 dB/Dekade
Antwort: −40 dB/Dekade. Der Integrator liefert von Anfang an −20. Der Pol bei 5 addiert −20, die Steigung beträgt also −40 zwischen 5 und 50. Die Nullstelle bei 50 bringt sie über 50 wieder auf −20 zurück. −60 behandelt die Nullstelle wie einen Pol.
4Exakte Werte bei einer Frequenz
Geraden sind eine Skizze. Für einen exakten Wert setze s = jω ein. Jeder Faktor (jω + a) ist eine komplexe Zahl mit:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
Der Betrag von G ist das Produkt der Zählerbeträge geteilt durch das Produkt der Nennerbeträge. Die Phase ist die Summe der Zählerwinkel minus die Summe der Nennerwinkel.
Beispiel: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) bei ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 und |j4 + 4| = 5,657, also |G| = 150/28,28 = 5,30, das sind 14,5 dB.
Die Phase ist −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.
Ein RLC-Reihenschwingkreis mit dem Ausgang an R ist ein Bandpass. Er lässt Frequenzen nahe der Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(LC) durch. Die Bandbreite ist BW = R/L in rad/s, und die Güte ist Q = ω₀/BW.
Schreibe G(s) oder H(jω) auf. Bestimme bei einem RC- oder RL-Filter zuerst ωc und das Verhältnis x = ω/ωc.
Bestimme für jeden Faktor seinen Betrag √(ω² + a²) und seinen Winkel atan(ω/a).
Multipliziere und dividiere die Beträge. Addiere die Nullstellenwinkel und subtrahiere die Polwinkel; ein Integrator addiert −90°.
Rechne den Betrag mit 20·log₁₀ in dB um.
Vergleiche mit der geradlinigen Skizze: Der exakte Wert sollte nahe daran liegen und an einer einzelnen Ecke 3 dB darunter.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Das ist eine typische mittelschwere Frage. Probiere jeden Schritt aus, bevor du ihn aufklappst.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein RC-Tiefpass hat R = 10 kΩ und C = 100 nF. Es wird eine Sinusschwingung von 480 Hz angelegt. Bestimme die Verstärkung |H| in dB und die Phasenverschiebung φ.
1
Eckfrequenz
Verwende Basiseinheiten: R = 10 000 Ω und C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Frequenzverhältnis
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
Der Eingang liegt über der Eckfrequenz, erwarte also einen deutlichen Verlust an Verstärkung.
3
Verstärkung
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Phase
Ein Tiefpass lässt den Ausgang nacheilen, die Phase ist also negativ.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Antwort prüfen
Die Gerade liefert −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, nahe am exakten Wert von −10,0 dB.
Antwort
|H| ≈ −10,0 dB und φ ≈ −71,7°.
6Häufige Fehler
10·log₁₀ für eine Spannungsverstärkung verwenden. Verstärkungen von Signalen verwenden 20·log₁₀.
ω und f verwechseln. ωc = 1/(RC) ist in rad/s; teile durch 2π für Hz.
L/R für die Eckfrequenz eines RL-Glieds verwenden. L/R ist die Zeitkonstante; die Eckfrequenz ist ωc = R/L.
Beträge wie ω + a addieren. Die Größe von jω + a ist √(ω² + a²).
Den Integrator vergessen: 1/s ergibt bei jeder Frequenz −20 dB/Dekade und −90°.
Den Wert der geradlinigen Näherung angeben, wenn die Aufgabe nach dem exakten Betrag fragt.
Selbsttest Wie groß ist die stationäre Verstärkung von G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) in dB?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Antwort: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, und 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB verwendet 10·log₁₀. 40 ist das Verhältnis, nicht dB. 52,0 dB vergisst, s = 0 auch im Nenner zu setzen.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Filter und Asymptoten. Die Eckfrequenz eines RC- oder RL-Filters in Hz oder rad/s, die Steigung eines geradlinigen Diagramms in einem Bereich oder die stationäre Verstärkung in dB.
Mittel: Betrag und Phase. Die Verstärkung in dB oder die Phase eines Filters bei einer gegebenen Frequenz, das exakte |G(jω)| oder ∠G(jω) einer Übertragungsfunktion oder f₀, BW oder Q eines RLC-Bandpasses.
Schwer: Stabilitätsreserven eines Kreises L(s), etwa 85/(s(s + 5)) oder K/(s(s + a)(s + b)).
Für den schweren Level brauchst du zwei Frequenzen. Bei der Durchtrittsfrequenz ωc gilt |L(jω)| = 1 (0 dB). Bei der Phasendurchtrittsfrequenz ω180 gilt ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
Für L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) liegt die Phasendurchtrittsfrequenz bei ω180 = √(a·b). Ein Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
Bestimme die Verstärkung bei niedriger Frequenz (DC) von G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) in Dezibel, |G(0)| in dB.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
Gesucht: |G(0)|(dB)
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Bei sehr niedriger Frequenz gilt s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
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Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ωc = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und fc = ωc/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) und φ = −atan(ω/ωc). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jωc). Phasendurchtrittsfrequenz ω180: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
Statische Verstärkung
G(0) = 0,3
In Dezibel
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Antwort
|G(0)| = −10,46 dB
Beispiel 2Mittel
Der gezeigte RC-Tiefpass hat R = 1 kΩ, C = 1 nF. Ein sinusförmiges Eingangssignal von 1600 kHz wird angelegt. Bestimme die Phasenverschiebung φ von vout relativ zu vin in Grad.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
Gesucht: φ(°)
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Bestimme zuerst die Eckfrequenz: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
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Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ωc = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und fc = ωc/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) und φ = −atan(ω/ωc). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jωc). Phasendurchtrittsfrequenz ω180: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
Eckfrequenz
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Phase
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Antwort
φ = −84,32°
Beispiel 3Schwer
Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s) = 185/(s(s + 5)). Bestimme die Phasenreserve PM in Grad.
Löse die quadratische Gleichung in x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ωc = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und fc = ωc/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) und φ = −atan(ω/ωc). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jωc). Phasendurchtrittsfrequenz ω180: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
Durchtrittsfrequenz
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Phasenreserve
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Antwort
PM = 20,82°
Fragen und Antworten
Bode-Diagramme und Reserven: Worum geht es?
Gibst du eine Sinuswelle auf einen Filter oder Verstärker, kommt eine Sinuswelle mit derselben Frequenz heraus. Nur zwei Dinge ändern sich: ihre Größe und ihr zeitlicher Verlauf.
Die Verstärkung |H| ist das Verhältnis von Ausgangsamplitude zu Eingangsamplitude. Die Phase φ gibt an, wie weit der Ausgang verschoben ist, in Grad. Eine negative Phase bedeutet, dass der Ausgang nacheilt.
Bode-Diagramme und Reserven: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ωc = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und fc = ωc/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) und φ = −atan(ω/ωc). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jωc). Phasendurchtrittsfrequenz ω180: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
Bode-Diagramme und Reserven: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Das ist die Verstärkung als Verhältnis. Rechne um: 20·log₁₀(0,3).
Verwende für ein Spannungs- oder Signalverhältnis 20·log₁₀, nicht 10·log₁₀ (das gilt für Leistung).
Setze s = 0 in jeden Faktor: G(0) = 0,3, nicht 12.
Bode-Diagramme und Reserven: Was wird geübt?
Leicht: Filter und Asymptoten
Mittel: Betrag und Phase
Schwer: Stabilitätsreserven
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.