Drehstromleistung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Drehstrom · Dreiphasenwechselstrom · Stern-Dreieck-Schaltung

Kostenlose Übungsaufgaben zu Drehstromleistung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Spannungen und Ströme in symmetrischer Stern- und Dreieckschaltung, Drehstromleistung, Blindleistungskompensation.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ωpro Strang

Eine symmetrische Last in Sternschaltung hat eine Impedanz von 24 + j7 Ω pro Strang. Sie wird aus einem symmetrischen Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 415 V gespeist. Bestimme den Betrag des Leiterstroms IL.

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω pro Strang
A
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Was du übst

  1. LeichtSpannungen und Ströme in symmetrischer Stern- und Dreieckschaltung
  2. MittelDrehstromleistung
  3. SchwerBlindleistungskompensation

Wichtige Formeln

Sternschaltung (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Dreieckschaltung (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Gesamte Wirkleistung
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schein- und Blindleistung
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator
Δ: VL Y: VL/√3
Aufgenommene Motorleistung
Pin = Pout/η

Drehstromleistung von Grund auf lernen

Davor: Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

1Was Drehstrom ist

Fast der gesamte Strom wird als dreiphasiger Wechselstrom (Drehstrom) erzeugt und verteilt. Drei Leiter, Außenleiter oder Phasen genannt (A, B und C), führen jeweils eine Sinuswelle.

Die drei Wellen haben dieselbe Größe und Frequenz, aber jede ist gegenüber der nächsten um ein Drittel einer Periode verschoben, 120°.

tABC120°

Stell dir drei Personen vor, die abwechselnd in die Pedale eines Fahrrads treten: Einer drückt, während sich die anderen erholen. Der gesamte Antrieb bleibt gleichmäßig. Genauso liefert ein symmetrisches Drehstromsystem eine konstante Gesamtleistung, wodurch Motoren ruhig laufen.

Es braucht für dieselbe Leistung auch weniger Kupfer als drei getrennte Wechselstromkreise.

In diesem Thema ist jede Last symmetrisch: Alle drei Phasen haben dieselbe Impedanz. Dann kannst du eine Phase berechnen und mit drei multiplizieren.

Selbsttest Um wie viel ist jede Phasenspannung gegenüber der nächsten verschoben?
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

Antwort: 120°. Drei Phasen teilen sich eine volle Periode von 360°, sie sind also 360/3 = 120° voneinander entfernt.

2Stern- und Dreieckschaltung

Eine Drehstromlast hat drei Impedanzen. Sie können auf zwei Arten geschaltet werden.

NABCYABCΔ
  • Y (Stern): Jede Impedanz geht von einem Außenleiter zu einem gemeinsamen Sternpunkt N.
  • Δ (Dreieck): Jede Impedanz liegt zwischen zwei Außenleitern und bildet ein Dreieck.

Die Spannung zwischen zwei Außenleitern ist die Leiterspannung VL, der normalerweise angegebene Wert (400 V, 415 V, 208 V …). Die Spannung an einer Impedanz ist die Strangspannung Vph. Dasselbe gilt für den Leiterstrom IL und den Strangstrom Iph.

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

In beiden Fällen folgt ein Strang dem Ohmschen Gesetz: Iph = Vph / |Z|, mit |Z| = √(R² + X²).

Selbsttest Eine in Stern geschaltete Last wird von einer Versorgung mit 400 V (Außenleiterspannung) gespeist. Welche Spannung liegt an jeder Impedanz?
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

Antwort: 231 V. In Y ist Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V. 400 V ist der Δ-Fall, 693 V multipliziert mit √3, und 133 V teilt zweimal durch √3.

3Drehstromleistung

Die gesamte Leistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs. Mit Leitergrößen geschrieben wird dieselbe Gesamtleistung zu:

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

Diese Formel ist für Y und Δ gleich. Der Leistungsfaktor cos φ ist der Leistungsfaktor einer Strangimpedanz: cos φ = R/|Z|.

Kennst du den Strangstrom und den Widerstand, kannst du auch P = 3·Iph²·R verwenden. Nur der Widerstand nimmt Wirkleistung auf.

Selbsttest Eine symmetrische Last nimmt aus einer Versorgung mit 400 V einen Strom von 10 A pro Leiter bei einem Leistungsfaktor von 0,9 auf. Welche gesamte Wirkleistung nimmt sie auf?
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

Antwort: 6235 W. P = √3·400·10·0,9 = 6235 W. Lässt man √3 weg, erhält man 3600 W, verwendet man mit Leitergrößen 3 statt √3, erhält man 10800 W, und 6928 W vergisst den Leistungsfaktor.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Notiere die Schaltung (Y oder Δ) und die Leiterspannung VL.
  2. Bestimme die Strangspannung: Vph = VL/√3 für Y, Vph = VL für Δ.
  3. Bestimme |Z| = √(R² + X²) und den Strangstrom Iph = Vph/|Z|.
  4. Bestimme den Leiterstrom: IL = Iph für Y, IL = √3·Iph für Δ.
  5. Bestimme die Leistung: P = 3·Iph²·R oder P = √3·VL·IL·cos φ mit cos φ = R/|Z|.

Arbeite so lange wie möglich in einem Strang. Wechsle erst am Ende zu Leitergrößen.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine symmetrische, in Stern geschaltete Last hat eine Impedanz von 6 + j8 Ω pro Strang und wird von einer Versorgung mit 400 V (Außenleiterspannung) gespeist. Bestimme den Leiterstrom IL und die gesamte Wirkleistung P.

1

Strangspannung

In einer Sternschaltung liegt an jeder Impedanz die Strangspannung.

Vph = 400 / √3 = 230,9 V
2

Betrag der Impedanz

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

Der Leistungsfaktor ist cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0,6.

3

Strang- und Leiterstrom

Iph = 230,9 / 10 = 23,1 A

In Y ist der Leiterstrom gleich dem Strangstrom, also IL = 23,1 A.

4

Gesamte Wirkleistung

P = 3·Iph²·R = 3·23,1²·6 = 9600 W
5

Antwort prüfen

Mit Leitergrößen: P = √3·400·23,1·0,6 = 9600 W. Beide Formeln stimmen überein.

Antwort

IL = 23,1 A und P = 9,6 kW.

6Häufige Fehler

  • Die Leiterspannung an eine Y-Impedanz legen. In Y liegt an jeder Impedanz VL/√3.
  • Vergessen, dass in Δ der Leiterstrom das √3-Fache des Strangstroms ist.
  • Bei der Bestimmung des Stroms durch R statt durch |Z| teilen.
  • In der Leistungsformel 3 mit Leitergrößen oder √3 mit Stranggrößen verwenden.
Selbsttest Dieselben Impedanzen von 6 + j8 Ω sind nun in Δ an die Versorgung mit 400 V geschaltet. Wie groß ist der Leiterstrom?
  1. 115 A
  2. 23,1 A
  3. 40 A
  4. 69,3 A

Antwort: 69,3 A. In Δ ist Vph = 400 V, also Iph = 400/10 = 40 A und IL = √3·40 = 69,3 A. 40 A ist nur der Strangstrom, und 115 A teilt durch R statt durch |Z|.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: eine Y- oder Δ-Last mit einer Impedanz wie 3 + j4 Ω. Du bestimmst den Leiterstrom oder den Strangstrom.
  • Mittel: gesamte Wirkleistung, aus der Impedanz oder aus VL, IL und dem Leistungsfaktor. Eine Motoraufgabe gibt die Ausgangsleistung und den Wirkungsgrad an: Bestimme zuerst Pin = Pout/η, dann IL = Pin/(√3·VL·cos φ).
  • Schwer: Blindleistungskompensation mit einer dreiphasigen Kondensatorbank. Du bestimmst die Blindleistung QC oder die Kapazität pro Strang.

Für die Kompensation gilt QC = P·(tan φ1 − tan φ2) wie beim Einphasensystem. Jeder der drei Kondensatoren liefert davon ein Drittel:

C = QC / (3·ω·V²)

Hier ist V die Spannung an jedem Kondensator: VL für Δ und VL/√3 für Y. Eine Y-Bank braucht also die dreifache Kapazität einer Δ-Bank.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ωpro Strang

Eine symmetrische Last in Dreieckschaltung hat eine Impedanz von 24 + j7 Ω pro Strang. Sie wird aus einem symmetrischen Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 400 V gespeist. Bestimme den Betrag des Leiterstroms IL.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω pro Strang

Gesucht: IL (A)

Tipps anzeigen
  1. In der Dreieckschaltung ist jede Impedanz zwischen zwei Außenleiter geschaltet.
  2. An jeder Impedanz liegt also die volle Leiterspannung, und IL = √3·Iph.
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Betrag der Impedanz

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

Strangstrom

Jede Impedanz ist zwischen zwei Außenleiter geschaltet, an ihr liegt VL.

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

Leiterstrom

IL = √3·Iph = √3·16 = 27,71 A

Antwort

IL = 27,71 A
Beispiel 2Mittel
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ωpro Strang

Eine symmetrische Last in Dreieckschaltung mit einer Impedanz von 24 + j18 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 400 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω pro Strang

Gesucht: P (kW)

Tipps anzeigen
  1. In der Dreieckschaltung liegt an jeder Impedanz die volle Leiterspannung.
  2. Bestimme den Strangstrom, dann P = 3·Iph²·R.
  3. Iph = 13,33 A.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Strangspannung

Vph = VL = 400 V

Strangstrom

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A

Gesamte Wirkleistung

Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.

P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Antwort

P = 12,8 kW

Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,8, und √3·VL·IL·cos φ ergibt dieselbe Leistung.

Beispiel 3Schwer
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 60 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv aus einem Netz mit 480 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Stern geschaltet. Bestimme die Kapazität Cph jedes Kondensators in µF.

P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz

Gesucht: Cph (µF)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme zuerst QC = P·(tan φ1 − tan φ2).
  2. Jeder Kondensator liefert QC/3.
  3. Im Stern liegt an jedem Kondensator VL/√3: QC/3 = (VL/√3)²·ω·C.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar

Kapazität pro Strang

In einer Sternbatterie ist jeder Kondensator zwischen einen Außenleiter und den Sternpunkt geschaltet.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277,1²) = 370,2 µF

Antwort

Cph = 370,2 µF

Fragen und Antworten

Drehstromleistung: Worum geht es?

Fast der gesamte Strom wird als dreiphasiger Wechselstrom (Drehstrom) erzeugt und verteilt. Drei Leiter, Außenleiter oder Phasen genannt (A, B und C), führen jeweils eine Sinuswelle.

Die drei Wellen haben dieselbe Größe und Frequenz, aber jede ist gegenüber der nächsten um ein Drittel einer Periode verschoben, 120°.

Drehstromleistung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Drehstromleistung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Das ist der Strangstrom durch eine Impedanz. In der Dreieckschaltung ist der Leiterstrom √3-mal größer.
  • Das ist das Ergebnis für eine Sternschaltung. In der Dreieckschaltung liegt an jeder Impedanz die volle Leiterspannung.
  • Teile durch den Betrag der Impedanz |Z| = √(R² + X²), nicht nur durch R.
Drehstromleistung: Was wird geübt?
  • Leicht: Spannungen und Ströme in symmetrischer Stern- und Dreieckschaltung
  • Mittel: Drehstromleistung
  • Schwer: Blindleistungskompensation

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