Maschenstromverfahren: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Maschenverfahren · Maschenanalyse · Maschenstromanalyse
Kostenlose Übungsaufgaben zu Maschenstromverfahren mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: 2 Maschen, 1 Quelle, 2 Maschen, 2 Quellen, 3 Maschen.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Strom IR1 durch R1 in Pfeilrichtung.
Die Maschenstromanalyse ist ein Standardverfahren, um die Ströme in einer Schaltung zu bestimmen. Sie ist das Gegenstück zur Knotenpotentialanalyse: Diese verwendet Spannungen als Unbekannte, die Maschenstromanalyse Ströme.
Sieh dir eine ebene Schaltungszeichnung an. Die leeren „Fenster“, die von Leitungen und Bauteilen umschlossen werden, heißen Maschen.
Du stellst dir in jedem Fenster einen kreisenden Strom vor. Das sind die Maschenströme. Jeder echte Zweigstrom setzt sich aus ihnen zusammen.
Denk an eine Reihe nebeneinanderliegender Zahnräder. Jedes Rad dreht sich für sich, und wo sich zwei Räder berühren, siehst du den Unterschied ihrer Bewegungen.
Selbsttest Eine ebene Schaltungszeichnung hat drei Fenster. Wie viele Maschenströme brauchst du?
1
2
3
6
Antwort: 3. Einen Maschenstrom pro Fenster, also drei. Dann schreibst du eine Gleichung pro Masche, insgesamt drei Gleichungen.
2Kirchhoffsche Maschenregel
Gehe einmal um einen beliebigen geschlossenen Umlauf und komme dorthin zurück, wo du gestartet bist. Du endest bei derselben Spannung, mit der du begonnen hast.
Die Spannung, die du in Quellen gewinnst, ist also gleich der Spannung, die du an Widerständen verlierst. Das ist das Kirchhoffsche Maschengesetz (KVL).
Σ Quellenspannungen = Σ Spannungsabfälle
Eine Quelle ist ein Anstieg, wenn du sie von − nach + durchläufst. Ein Widerstand ist ein Abfall von I·R, wenn du ihn in Richtung seines Stroms durchläufst.
In dieser Masche liefert die Quelle 12 V. Ein Widerstand nimmt 8 V, der andere muss also die restlichen 4 V nehmen.
Selbsttest Eine 10-V-Quelle speist eine Masche mit zwei Widerständen. Am ersten liegen 7 V. Wie groß ist die Spannung am zweiten?
10 V
17 V
3 V
7 V
Antwort: 3 V. Die Abfälle müssen sich zum Anstieg von 10 V addieren: 10 − 7 = 3 V. Die Spannungen zu addieren (17 V) verletzt KVL.
3Maschenströme in einem gemeinsamen Widerstand
Zeichne jeden Maschenstrom im Uhrzeigersinn, mit demselben Namensmuster: I1, I2, …
Ein Widerstand am Rand der Schaltung gehört nur zu einer Masche. Er führt diesen Maschenstrom.
Ein Widerstand zwischen zwei Fenstern ist gemeinsam. Beide Maschenströme fließen in entgegengesetzten Richtungen durch ihn. Sein echter Strom ist die Differenz.
IR3 (nach unten) = I1 − I2
In Masche 1 fließt I1 abwärts durch R3, du schreibst also I1 − I2. In Masche 2 fließt I2 aufwärts durch R3, du schreibst also I2 − I1.
Selbsttest In der obigen Schaltung ist I1 = 3 A und I2 = 1 A. Welcher Strom fließt abwärts durch R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Antwort: 2 A. Der gemeinsame Widerstand führt die Differenz: 3 − 1 = 2 A abwärts. Die Maschenströme zu addieren (4 A) ist der häufigste Ausrutscher.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zähle die Fenster. Zeichne in jedes einen Maschenstrom im Uhrzeigersinn: I1, I2, …
Gehe im Uhrzeigersinn um Masche 1. Addiere die Abfälle: für jeden Widerstand R mal den Strom durch ihn (sein eigener Maschenstrom oder die Differenz bei einem gemeinsamen Widerstand).
Setze die Abfälle gleich den Anstiegen der Quellen in dieser Masche. Eine Quelle zählt als +, wenn du sie von − nach + durchläufst, und als − in der anderen Richtung.
Wiederhole das für jede Masche. Du erhältst eine Gleichung pro Masche.
Löse die Gleichungen nach den Maschenströmen.
Bestimme den Zweigstrom oder die Spannung, die du brauchst. Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.
Gehe immer in derselben Richtung um die Masche wie der Maschenstrom. Dann beginnt jeder Widerstandsterm mit einem Pluszeichen.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Bestimme die Maschenströme und den Strom IR3 durch R3 in Pfeilrichtung.
1
Maschenströme festlegen
Es gibt zwei Fenster, also zwei Maschenströme im Uhrzeigersinn, I1 und I2. R3 wird von beiden gemeinsam genutzt.
2
KVL um Masche 1
Im Uhrzeigersinn durchläufst du V1 von − nach +: ein Anstieg von 10 V. R1 führt I1, und R3 führt I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL um Masche 2
Masche 2 hat keine Quelle, ihre Abfälle addieren sich also zu 0. R2 und R4 führen I2, und R3 führt I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Die Gleichungen lösen
Setze I1 = 2·I2 in die erste Gleichung ein.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Strom in R₃
Der Pfeil zeigt abwärts, in dieselbe Richtung wie I1 in R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Antwort prüfen
Masche 1: R1 nimmt 2·2 = 4 V und R3 nimmt 6·1 = 6 V. Zusammen 10 V, gleich V1.
Masche 2: R2 und R4 führen 1 A und nehmen 4 + 2 = 6 V. Das entspricht den 6 V an R3, wie es sein muss, denn sie liegen an denselben zwei Knoten.
Antwort
I1 = 2 A, I2 = 1 A und IR3 = 1 A abwärts.
6Häufige Fehler
Den vollen Maschenstrom in einem gemeinsamen Widerstand verwenden. Ein gemeinsamer Widerstand führt die Differenz zweier Maschenströme.
Das Vorzeichen einer Quelle falsch setzen. Eine Quelle in Umlaufrichtung von + nach − zu durchlaufen zählt als negativer Anstieg.
Manche Maschen gegen den Uhrzeigersinn umlaufen. Halte jeden Maschenstrom und jeden Umlauf im Uhrzeigersinn.
Vergessen, dass ein negatives Ergebnis erlaubt ist. Es bedeutet nur, dass der Strom gegen den Uhrzeigersinn fließt.
Selbsttest Im Uhrzeigersinn um Masche 2 durchläufst du eine 6-V-Quelle von ihrer +-Seite zu ihrer −-Seite. Masche 2 enthält R2 = 2 Ω und den gemeinsamen R3 = 4 Ω. Welche Gleichung ist richtig?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Antwort: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Eine Quelle von + nach − zu durchlaufen ist ein Abfall, zählt also als −6 V auf der Anstiegsseite. In Masche 2 führt der gemeinsame Widerstand I2 − I1, nicht I2 allein und nicht I1 − I2.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: zwei Maschen und eine Spannungsquelle, wie im durchgerechneten Beispiel. Masche 2 hat keine Quelle, ihre Gleichung ist also gleich 0.
Mittel: zwei Maschen und zwei Spannungsquellen, eine auf jeder Seite. Achte auf das Vorzeichen der rechten Quelle in Masche 2.
Schwer: drei Maschen mit zwei gemeinsamen Widerständen. Die mittlere Masche teilt sich mit jedem Nachbarn einen Widerstand.
Die Aufgabe fragt nach einem Maschenstrom, dem Strom durch einen Widerstand in Pfeilrichtung oder der Spannung an einem Widerstand mit der gezeigten Polarität.
Bestimme für eine Spannung zuerst den Strom durch den Widerstand und verwende dann V = I·R.
Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Strom IR2 durch R2 in Pfeilrichtung.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Gesucht: IR2(A)
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Es gibt 2 Fenster, also lege 2 Maschenströme im Uhrzeigersinn fest (I1, I2) und stelle pro Masche eine Maschengleichung auf.
In Masche 1 führt jeder Widerstand I1, außer einem gemeinsamen Widerstand, der I1 − I2 führt.
Als Lösung ergibt sich I1 = 0,95 A.
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Maschenstromverfahren: Gib jedem Fenster einer ebenen Schaltung einen eigenen Umlaufstrom, stelle für jeden Umlauf die Kirchhoffsche Maschenregel auf (Summe der Abfälle = Summe der Quellenspannungen) und löse. Zweigströme sind der Maschenstrom oder die Differenz zweier Maschenströme in einem gemeinsamen Zweig.
Maschenströme festlegen
Zeichne in jedes Fenster einen Strom im Uhrzeigersinn: I1, I2. Ein Widerstand, den zwei Maschen teilen, führt die Differenz ihrer Ströme.
Maschenregel in Masche 1
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
Maschenregel in Masche 2
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Lösen
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Antwort
IR2 = I2 = 0,15 A
Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.
Beispiel 2Mittel
Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Maschenstrom I1 (im Uhrzeigersinn).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Gesucht: I1(A)
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Es gibt 2 Fenster, also lege 2 Maschenströme im Uhrzeigersinn fest (I1, I2) und stelle pro Masche eine Maschengleichung auf.
In Masche 1 führt jeder Widerstand I1, außer einem gemeinsamen Widerstand, der I1 − I2 führt.
Als Lösung ergibt sich I1 = −0,3387 A.
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Maschenstromverfahren: Gib jedem Fenster einer ebenen Schaltung einen eigenen Umlaufstrom, stelle für jeden Umlauf die Kirchhoffsche Maschenregel auf (Summe der Abfälle = Summe der Quellenspannungen) und löse. Zweigströme sind der Maschenstrom oder die Differenz zweier Maschenströme in einem gemeinsamen Zweig.
Maschenströme festlegen
Zeichne in jedes Fenster einen Strom im Uhrzeigersinn: I1, I2. Ein Widerstand, den zwei Maschen teilen, führt die Differenz ihrer Ströme.
Maschenregel in Masche 1
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
Maschenregel in Masche 2
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Lösen
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Antwort
I1 = −0,3387 A
Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.
Beispiel 3Schwer
Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Strom IR4 durch R4 in Pfeilrichtung.
Es gibt 3 Fenster, also lege 3 Maschenströme im Uhrzeigersinn fest (I1, I2, I3) und stelle pro Masche eine Maschengleichung auf.
In Masche 1 führt jeder Widerstand I1, außer einem gemeinsamen Widerstand, der I1 − I2 führt.
Als Lösung ergibt sich I1 = 1,135 A.
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Maschenstromverfahren: Gib jedem Fenster einer ebenen Schaltung einen eigenen Umlaufstrom, stelle für jeden Umlauf die Kirchhoffsche Maschenregel auf (Summe der Abfälle = Summe der Quellenspannungen) und löse. Zweigströme sind der Maschenstrom oder die Differenz zweier Maschenströme in einem gemeinsamen Zweig.
Maschenströme festlegen
Zeichne in jedes Fenster einen Strom im Uhrzeigersinn: I1, I2, I3. Ein Widerstand, den zwei Maschen teilen, führt die Differenz ihrer Ströme.
Maschenregel in Masche 1
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
Maschenregel in Masche 2
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
Maschenregel in Masche 3
Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Lösen
Δ = Determinante der Koeffizientenmatrix = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Antwort
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.
Fragen und Antworten
Maschenstromverfahren: Worum geht es?
Die Maschenstromanalyse ist ein Standardverfahren, um die Ströme in einer Schaltung zu bestimmen. Sie ist das Gegenstück zur Knotenpotentialanalyse: Diese verwendet Spannungen als Unbekannte, die Maschenstromanalyse Ströme.
Sieh dir eine ebene Schaltungszeichnung an. Die leeren „Fenster“, die von Leitungen und Bauteilen umschlossen werden, heißen Maschen.
Maschenstromverfahren: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Zeichne in jeder Masche (jedem Fenster) der Schaltung einen Strom im Uhrzeigersinn ein.
Wende in jeder Masche die Maschenregel an: Die Summe der Spannungsabfälle ist null.
In einem Widerstand, den zwei Maschen gemeinsam haben, fließt die Differenz der beiden Maschenströme.
Löse die Gleichungen; ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Strom in die andere Richtung fließt.
Maschenstromverfahren: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Den vollen Maschenstrom in einem gemeinsamen Widerstand verwenden.
Beim Umlauf um die Masche das Vorzeichen einer Quelle falsch ansetzen.
Vergessen, dass eine Stromquelle in einem äußeren Zweig den Maschenstrom dieser Masche festlegt.
Maschenstromverfahren: Was wird geübt?
Leicht: 2 Maschen, 1 Quelle
Mittel: 2 Maschen, 2 Quellen
Schwer: 3 Maschen
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.