Faltung und LTI-Systeme: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Faltung und LTI-Systeme mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: diskrete Faltung, kontinuierliche Faltung, Impulsantwort und Fourier-Reihe.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Die Folgen x[n] = {−3, 2, 4, 3} und h[n] = {1, 1, 1} beginnen beide bei n = 0. Bestimme den Abtastwert y[1] der Faltung y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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Was du übst

  1. Leichtdiskrete Faltung
  2. Mittelkontinuierliche Faltung
  3. SchwerImpulsantwort und Fourier-Reihe

So löst du Aufgaben zu Faltung und LTI-Systeme

  1. Skizziere beide Signale und markiere, wo jedes ungleich null ist.
  2. Spiegle h und schiebe es: Bestimme für jeden Ausgangszeitpunkt den Bereich, in dem sich beide Signale überlappen.
  3. Multipliziere und addiere (diskret) oder multipliziere und integriere (kontinuierlich) nur über diese Überlappung.
  4. Prüfe das Ergebnis: Die Ausgangsgröße beginnt bei der Summe der Anfangszeiten, endet bei der Summe der Endzeiten, und ihre Fläche oder Summe ist das Produkt der Flächen oder Summen der Eingangsgrößen.

Häufige Fehler

  • Die beiden Signale Abtastwert für Abtastwert zu multiplizieren, statt sie zu falten.
  • h zu verschieben, ohne es zu spiegeln; das ergibt die Korrelation.
  • Eine Formel der Sprungantwort zu verwenden, wo die Impulsantwort gefragt ist, oder umgekehrt.
  • Die Ordnung der Oberschwingung falsch zu zählen: Die Komponente bei k/T ist die Oberschwingung k.

Wichtige Formeln

Diskrete Faltung
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Kontinuierliche Faltung
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Länge und Summe
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Beginn, Ende und Fläche
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Sprung auf e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
System erster Ordnung
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursion erster Ordnung
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusschwingung durch h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplituden der Fourier-Reihe
Rechteck ±A: 4A/(kπ), ungerades k; Dreieck ±A: 8A/(π²k²), ungerades k; Impulsfolge: A·D und (2A/(kπ))|sin kπD|

Faltung und LTI-Systeme von Grund auf lernen

Davor: Integrale

1Was die Faltung bewirkt

Ein lineares zeitinvariantes (LTI) System wird vollständig durch seine Impulsantwort h beschrieben: die Ausgangsgröße, die es liefert, wenn die Eingangsgröße ein einzelner kurzer Stoß ist.

Jede Eingangsgröße lässt sich als Reihe skalierter, verschobener Stöße auffassen. Jeder Stoß erzeugt eine skalierte, verschobene Kopie von h, und die Ausgangsgröße ist die Summe aller Kopien. Diese Summe ist die Faltung y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Die Faltung tritt überall dort auf, wo ein System ein Gedächtnis hat: Filter, Sensoren, Tragwerke, Schaltungen und die zeitliche Ausbreitung eines Signals.

Selbsttest Ein System hat h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Die Eingangsgröße ist ein einzelner Abtastwert x[0] = 2. Wie lautet die Ausgangsgröße?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Antwort: y[n] = {2, 6}. Ein Stoß der Höhe 2 ergibt eine mit 2 skalierte Kopie von h: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Die Faltung behält die Form von h; sie addiert die Abtastwerte nicht zusammen.

2Diskrete Faltung Schritt für Schritt

Für Folgen ist die Faltung eine Summe:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Spiegle h: h[−k] ist h, an k = 0 gespiegelt.
  2. Verschiebe das gespiegelte h um n.
  3. Multipliziere es Abtastwert für Abtastwert mit x und addiere die Produkte. Das ergibt y[n].
  4. Wiederhole das für jedes n. Hat x genau Lx Abtastwerte und h genau Lh, dann hat y genau Lx + Lh − 1 Abtastwerte, beginnend bei der Summe der beiden Anfangsindizes.

Eine schnelle Probe: Die Summe aller Abtastwerte von y ist gleich (Σx)·(Σh).

Selbsttest Was ist y[1] für x[n] = {1, 2} und h[n] = {3, 1}, die beide bei n = 0 beginnen?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Antwort: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Nur x[1]·h[1] zu multiplizieren ergibt 2, und 6 behält nur eines der beiden Produkte.

3Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Falte x[n] = {2, 1, −1} mit h[n] = {1, 3}, die beide bei n = 0 beginnen.

1

Die Folgen betrachten

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x hat 3 Abtastwerte und h hat 2, also hat y genau 3 + 2 − 1 = 4 Abtastwerte, von n = 0 bis n = 3.

2

y[0]

Nur x[0] und h[0] überlappen.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] und y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Antwort prüfen

Σx = 2 und Σh = 4, also muss Σy gleich 8 sein. Tatsächlich ist 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Antwort

y[n] = {2, 7, 2, −3} für n = 0 … 3.

4Kontinuierliche Faltung

Bei Signalen in kontinuierlicher Zeit wird die Summe zu einem Integral:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Das Verfahren ist dasselbe: Spiegle h, schiebe es an die Position t und integriere das Produkt über den Teil, in dem beide Signale ungleich null sind.

x(t)t12h(t)t1

Mit x(t) = 2 für 0 ≤ t < 1 s und h(t) = e−tu(t) ist die Ausgangsgröße, solange der Impuls anliegt, y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). Bei t = 1 s erreicht sie 2(1 − e−1) = 1,26, und danach klingt sie als 1,26·e−(t − 1) ab.

  • y beginnt bei der Summe der beiden Anfangszeiten und endet bei der Summe der beiden Endzeiten.
  • Die Fläche unter y ist die Fläche unter x mal die Fläche unter h.
  • Zwei Rechteckimpulse ergeben ein Trapez; zwei gleiche ergeben ein Dreieck.
Selbsttest x(t) ist von 0 bis 2 s ungleich null und h(t) von 1 s bis 4 s. Wann endet y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Antwort: 6 s. y endet bei der Summe der Endzeiten: 2 + 4 = 6 s. Es beginnt bei 0 + 1 = 1 s und dauert somit 5 s; 5 s ist die Dauer, nicht das Ende.

5Impulsantworten und Fourier-Reihen

Ein System erster Ordnung y′ + a·y = b·x hat die Impulsantwort h(t) = b·e−atu(t). Sein diskretes Gegenstück y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] hat h[n] = b·aⁿ für n ≥ 0.

Eine Sinusschwingung durchläuft ein LTI-System mit unveränderter Frequenz. Sie wird mit |H(jω)| skaliert und um ∠H(jω) verschoben, wobei H die Fourier-Transformierte von h ist. Für h(t) = b·e−atu(t) ist H(jω) = b/(a + jω).

Ein periodisches Signal mit der Periodendauer T ist eine Summe von Oberschwingungen bei den Frequenzen k/T. Einige Standardamplituden:

  • Rechteckschwingung zwischen −A und +A: nur ungerades k, Amplitude 4A/(kπ).
  • Dreieckschwingung zwischen −A und +A: nur ungerades k, Amplitude 8A/(π²k²).
  • Impulsfolge der Höhe A und des Tastgrads D: Mittelwert A·D, Oberschwingungen (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Selbsttest Eine Rechteckschwingung wechselt zwischen −2 und +2. Wie groß ist die Amplitude ihrer dritten Oberschwingung?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Antwort: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 ist die Grundschwingung, 0,283 teilt wie bei einer Dreieckschwingung durch k², und 0,424 verwendet 2A/(kπ), die Formel für eine Schwingung von 0 bis A.

6Häufige Fehler

  • Die beiden Signale Abtastwert für Abtastwert zu multiplizieren, statt sie zu falten.
  • h zu verschieben, ohne es zu spiegeln; das ergibt die Korrelation, nicht die Faltung.
  • Impulsantwort und Sprungantwort zu verwechseln: Die Sprungantwort ist die laufende Summe oder das Integral von h.
  • Die Oberschwingungen falsch zu zählen: Die Komponente bei k/T ist die Oberschwingung k.
Selbsttest x[n] = {1, 2} und h[n] = {1, 1}, beide ab n = 0. Was ist y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Antwort: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Das Produkt Abtastwert für Abtastwert x[1]·h[1] ergibt nur 2.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: diskrete Faltung. Du bestimmst einen Ausgangswert, den größten Abtastwert, die Summe aller Abtastwerte, den ersten oder letzten Index von y, die Ausgangsgröße eines FIR-Filters oder die Antwort auf einen Sprung.
  • Mittel: kontinuierliche Faltung. Du bestimmst y(t) zu einem gegebenen Zeitpunkt für zwei Impulse, für eine Exponentialfunktion mit einem Sprung oder einem Impuls oder für zwei Exponentialfunktionen sowie die Fläche, den Beginn, das Ende oder die Dauer von y.
  • Schwer: Impulsantworten und Fourier-Reihen. Du bestimmst h(t) einer Differenzialgleichung erster Ordnung, h[n] oder die Sprungantwort einer Rekursion, die Verstärkung oder Phase für eine Sinusschwingung oder eine Oberschwingung einer Rechteck-, Dreieck- oder Impulsschwingung.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Die Folgen x[n] = {4, −3, −2} und h[n] = {3, 1} beginnen beide bei n = 0. Bestimme den Abtastwert y[1] der Faltung y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Gesucht: y[1]

Tipps anzeigen
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Für n = 1 sind die Summanden k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Diskrete Faltung: Die Ausgangsgröße eines linearen zeitinvarianten Systems ist y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: Spiegle h, verschiebe es um n, multipliziere Abtastwert für Abtastwert mit x und addiere. Hat x genau Lx Abtastwerte ab nx und h genau Lh Abtastwerte ab nh, dann hat y genau Lx + Lh − 1 Abtastwerte ab nx + nh. Die Summe aller Abtastwerte von y ist gleich (Σx)·(Σh). Ein FIR-Filter y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … ist eine Faltung mit h[n] = bn.

Summanden der Summe

Nur die k, für die sowohl x[k] als auch h[n − k] existieren, tragen bei.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Addieren

y[1] = −5

Antwort

y[1] = −5
Beispiel 2Mittel
x(t)t11h(t)t1

Der Impuls x(t) = 1 für 0 ≤ t < 1 s (sonst null) wird auf ein System mit h(t) = e−2tu(t) gegeben. Bestimme die Ausgangsgröße y(2,5) bei t = 2,5 s, nachdem der Impuls geendet hat.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Gesucht: y(2.5)

Tipps anzeigen
  1. Schreibe den Impuls als Sprung bei t = 0 minus einen Sprung bei t = 1 s.
  2. Die Sprungantwort ist (A/a)(1 − e−at).
  3. Nach dem Impuls: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Kontinuierliche Faltung: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Spiegle h, verschiebe es an die Position t und integriere das Produkt der überlappenden Teile. Bei kausalen Signalen läuft das Integral von 0 bis t. Nützliche Ergebnisse: Die Fläche von y ist die Fläche von x mal die Fläche von h; dauert x von t₁ bis t₂ und h von t₃ bis t₄, dann dauert y von t₁ + t₃ bis t₂ + t₄. Für h(t) = e−atu(t) und einen Sprung der Höhe A ist y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Ausgangsgröße am Ende des Impulses

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Abklingen nach dem Impuls

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Antwort

y(2,5) = 0,02152
Beispiel 3Schwer
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Ein System gehorcht y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Bestimme seine Impulsantwort bei t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Gesucht: h(0.05)

Tipps anzeigen
  1. Bilde die Laplace-Transformierten mit Anfangswerten null: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Impulsantwort und Fourier-Reihe: Die Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig: Für y′ + a·y = b·x ist sie h(t) = b·e−atu(t), und für y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] ist sie h[n] = b·aⁿu[n]. Eine Sinusschwingung cos ωt durchläuft das System mit dem Verstärkungsfaktor |H(jω)| und der Phase ∠H(jω), wobei H die Fourier-Transformierte von h ist. Ein periodisches Signal ist eine Summe von Oberschwingungen bei k/T: Eine Rechteckschwingung mit ±A hat nur ungerade Oberschwingungen mit den Amplituden 4A/(kπ), eine Dreieckschwingung mit dem Scheitelwert A hat 8A/(π²k²), und eine Impulsfolge der Höhe A und des Tastgrads D hat den Mittelwert A·D und die Oberschwingungen (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Übertragungsfunktion

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Impulsantwort

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Antwort

h(0,05) = 2,336

Fragen und Antworten

Faltung und LTI-Systeme: Worum geht es?

Ein lineares zeitinvariantes (LTI) System wird vollständig durch seine Impulsantwort h beschrieben: die Ausgangsgröße, die es liefert, wenn die Eingangsgröße ein einzelner kurzer Stoß ist.

Jede Eingangsgröße lässt sich als Reihe skalierter, verschobener Stöße auffassen. Jeder Stoß erzeugt eine skalierte, verschobene Kopie von h, und die Ausgangsgröße ist die Summe aller Kopien. Diese Summe ist die Faltung y = x ∗ h.

Faltung und LTI-Systeme: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Skizziere beide Signale und markiere, wo jedes ungleich null ist.
  2. Spiegle h und schiebe es: Bestimme für jeden Ausgangszeitpunkt den Bereich, in dem sich beide Signale überlappen.
  3. Multipliziere und addiere (diskret) oder multipliziere und integriere (kontinuierlich) nur über diese Überlappung.
  4. Prüfe das Ergebnis: Die Ausgangsgröße beginnt bei der Summe der Anfangszeiten, endet bei der Summe der Endzeiten, und ihre Fläche oder Summe ist das Produkt der Flächen oder Summen der Eingangsgrößen.
Faltung und LTI-Systeme: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Die beiden Signale Abtastwert für Abtastwert zu multiplizieren, statt sie zu falten.
  • h zu verschieben, ohne es zu spiegeln; das ergibt die Korrelation.
  • Eine Formel der Sprungantwort zu verwenden, wo die Impulsantwort gefragt ist, oder umgekehrt.
  • Die Ordnung der Oberschwingung falsch zu zählen: Die Komponente bei k/T ist die Oberschwingung k.
Faltung und LTI-Systeme: Was wird geübt?
  • Leicht: diskrete Faltung
  • Mittel: kontinuierliche Faltung
  • Schwer: Impulsantwort und Fourier-Reihe

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