Wechselstromleistung und Leistungsfaktor: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Wirkleistung · Blindleistung · Scheinleistung · Blindleistungskompensation

Kostenlose Übungsaufgaben zu Wechselstromleistung und Leistungsfaktor mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: P und Q einer Last, Leiterstrom, Blindleistungskompensation.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
PQ = ?S = V·Iφ

Eine einphasige Last nimmt 11 A (Effektivwert) aus einer Versorgung mit 240 V (Effektivwert) bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv auf. Bestimme die Blindleistung Q, die sie aufnimmt.

V = 240 VI = 11 Apf = cos φ = 0,7
var
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Was du übst

  1. LeichtP und Q einer Last
  2. MittelLeiterstrom
  3. SchwerBlindleistungskompensation

Wichtige Formeln

Wirkleistung
P = V·I·cos φ
Blindleistung
Q = V·I·sin φ
Scheinleistung
S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor
pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor von Grund auf lernen

Davor: Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

1Was Wechselstromleistung ist

In einem Gleichstromkreis ist die Leistung einfach P = V·I. In einem Wechselstromkreis mit einer Spule oder einem Kondensator ist der Strom gegenüber der Spannung zeitlich um einen Winkel φ verschoben.

Wegen dieser Verschiebung fließt ein Teil der Energie nur zwischen Quelle und Last hin und her. Er leistet keine nutzbare Arbeit, aber die Leitungen müssen den Strom dafür trotzdem tragen.

Denk an ein Glas Bier. Das Bier ist der nutzbare Teil, der Schaum nimmt Platz ein, aber man kann ihn nicht trinken, und das Glas muss beides fassen.

  • Wirkleistung P in Watt (W): der nutzbare Teil, der zu Wärme, Licht oder Bewegung wird (das Bier).
  • Blindleistung Q in Volt-Ampere reaktiv (var): der Teil, der hin und her fließt (der Schaum).
  • Scheinleistung S in Voltampere (VA): was die Quelle und die Leitungen tragen müssen (das Glas).
Selbsttest Welche Leistungsart wird zu Wärme, Licht oder mechanischer Arbeit?
  1. Alle drei gleichermaßen
  2. Blindleistung Q in var
  3. Scheinleistung S in VA
  4. Wirkleistung P in W

Antwort: Wirkleistung P in W. Nur die Wirkleistung P leistet nutzbare Arbeit. Q pendelt nur hin und her, und S ist die Gesamtleistung, die die Quelle liefern muss.

2Das Leistungsdreieck und der Leistungsfaktor

Die drei Leistungen bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel φ ist derselbe wie der Winkel der Lastimpedanz.

PQSφ
S = V·I P = S·cos φ Q = S·sin φ
S = √(P² + Q²) Q = P·tan φ

Der Leistungsfaktor ist cos φ = P/S. Er gibt an, welcher Anteil der Scheinleistung nutzbare Arbeit leistet. Ein Leistungsfaktor von 1 ist ideal.

Motoren und andere Spulen haben einen nacheilenden (induktiven) Leistungsfaktor: Der Strom eilt der Spannung nach. Kondensatoren ergeben einen voreilenden (kapazitiven) Leistungsfaktor.

Selbsttest Eine Last nimmt 10 A aus einer 230-V-Versorgung bei einem Leistungsfaktor von 0,8 auf. Welche Wirkleistung nimmt sie auf?
  1. 1380 W
  2. 1840 W
  3. 2300 W
  4. 2875 W

Antwort: 1840 W. P = V·I·cos φ = 230·10·0,8 = 1840 W. 2300 W ist die Scheinleistung S, 1380 W verwendet sin φ = 0,6 statt cos φ, und 2875 W teilt durch den Leistungsfaktor.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe auf, was du weißt: V, I, P, den Leistungsfaktor cos φ und ob er nacheilend oder voreilend ist.
  2. Bestimme den Winkel: φ = arccos(Leistungsfaktor). Dann hast du auch sin φ und tan φ.
  3. Wenn V und I gegeben sind, beginne mit S = V·I. Dann ist P = S·cos φ und Q = S·sin φ.
  4. Wenn P gegeben ist, verwende Q = P·tan φ und S = P / cos φ.
  5. Für den Leiterstrom verwendest du I = P / (V·cos φ), mit P in Watt.

Zeichne das Dreieck mit den Zahlen, die du kennst. Ein Blick zeigt, ob deine Antwort die richtige Größe hat: S ist immer die längste Seite.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Einphasenmotor nimmt 4,6 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,8 nacheilend aus einer 230-V-Versorgung auf. Bestimme den Leiterstrom I und die Blindleistung Q.

1

Bestimme den Winkel

φ = arccos(0,8) = 36,9°

Also sin φ = 0,6 und tan φ = 0,75.

2

Leiterstrom

Nur der Wirkanteil der Leistung leistet Arbeit, also teile durch den Leistungsfaktor. Verwende Watt, nicht Kilowatt.

I = P / (V·cos φ) = 4600 / (230·0,8) = 25 A
3

Blindleistung

Q = P·tan φ = 4,6·0,75 = 3,45 kvar
4

Antwort prüfen

4,6 kW3,45 kvar5,75 kVAφ

S = V·I = 230·25 = 5750 VA = 5,75 kVA. Dann ist Q = S·sin φ = 5,75·0,6 = 3,45 kvar, das gleiche Ergebnis.

Auch √(4,6² + 3,45²) = 5,75, das Dreieck schließt sich also.

Antwort

I = 25 A und Q = 3,45 kvar.

5Blindleistungskompensation

Ein niedriger Leistungsfaktor bedeutet bei gleicher Nutzleistung einen großen Strom. Das kostet Geld für dickere Kabel und durch Verluste, deshalb wird er oft kompensiert.

Ein Kondensator, der parallel zur Last geschaltet wird, liefert Blindleistung vor Ort. Die Wirkleistung P bleibt gleich; nur die Blindleistung, die aus der Versorgung bezogen wird, sinkt.

QC = P·(tan φ1 − tan φ2)
12 kW16 kvarS1​φ1​7 kvar

Beispiel: Eine 12-kW-Last mit Leistungsfaktor 0,6 hat tan φ1 = 1,33, also Q1 = 16 kvar. Um 0,8 zu erreichen (tan φ2 = 0,75), darf sie nur noch Q2 = 9 kvar beziehen. Der Kondensator liefert 16 − 9 = 7 kvar.

Bei einer 400-V-Versorgung sinkt der Strom von 12000/(400·0,6) = 50 A auf 12000/(400·0,8) = 37,5 A.

Die Kapazität folgt aus QC = V²·ωC:

C = QC / (2π·f·V²)
Selbsttest Eine 20-kW-Last hat tan φ1 = 1 und soll tan φ2 = 0,5 erreichen. Wie viel Blindleistung muss der Kondensator liefern?
  1. 10 kvar
  2. 20 kvar
  3. 30 kvar
  4. 40 kvar

Antwort: 10 kvar. QC = P·(tan φ1 − tan φ2) = 20·(1 − 0,5) = 10 kvar. 20 kvar ist die gesamte alte Blindleistung, was auf einen Leistungsfaktor von 1 kompensieren würde.

6Häufige Fehler

  • cos φ und sin φ verwechseln. P gehört zu cos φ, Q zu sin φ.
  • kW mit V verwenden und den Strom 1000-mal zu klein erhalten. Rechne zuerst in Watt um.
  • Bei der Stromberechnung mit dem Leistungsfaktor multiplizieren. Der Strom ist größer als P/V, also teilst du.
  • Glauben, der Kondensator ändere die Wirkleistung. Er ändert nur Q und damit S und I.
Selbsttest Eine Last nimmt 2 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,8 aus einer 250-V-Versorgung auf. Wie groß ist der Leiterstrom?
  1. 0,01 A
  2. 10 A
  3. 6,4 A
  4. 8 A

Antwort: 10 A. I = P/(V·cos φ) = 2000/(250·0,8) = 10 A. Lässt du P in kW, erhältst du 0,01 A, Multiplizieren mit dem Leistungsfaktor ergibt 6,4 A, und 8 A ignoriert den Leistungsfaktor.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: eine Last mit gegebenem V, I und Leistungsfaktor. Du bestimmst die Wirkleistung P oder die Blindleistung Q.
  • Mittel: ein Motor mit gegebenem P (in kW), Leistungsfaktor und V. Du bestimmst den Leiterstrom I oder die Blindleistung Q.
  • Schwer: Blindleistungskompensation. Du bestimmst die Blindleistung QC des Kondensators, seine Kapazität C oder den neuen Leiterstrom.

Für den neuen Leiterstrom nach der Kompensation verwendest du den neuen Leistungsfaktor: Ineu = P / (V·cos φ2).

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
P = ?QS = V·Iφ

Eine einphasige Last nimmt 9 A (Effektivwert) aus einer Versorgung mit 400 V (Effektivwert) bei einem Leistungsfaktor von 0,9 induktiv auf. Bestimme die Wirkleistung P, die sie aufnimmt.

V = 400 VI = 9 Apf = cos φ = 0,9

Gesucht: P (W)

Tipps anzeigen
  1. Wirk-, Blind- und Scheinleistung bilden ein rechtwinkliges Dreieck: P = S·cos φ, Q = S·sin φ und S = V·I, wobei cos φ der Leistungsfaktor ist.
  2. P = V·I·cos φ.
  3. S = 3600 VA, φ = 25,84°.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Scheinleistung und Winkel

S = V·I = 400·9 = 3600 VA
φ = arccos(0,9) = 25,84°

Wirkleistung

P = S·cos φ = 3600·0,9 = 3240 W

Antwort

P = 3240 W
Beispiel 2Mittel
P = 35 kWQ = ?Sφ

Ein Einphasenmotor nimmt 35 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv aus einer 230-V-Versorgung auf. Bestimme die Blindleistung Q, die er aufnimmt.

P = 35 kWpf = 0,7V = 230 V

Gesucht: Q (kvar)

Tipps anzeigen
  1. Wirk-, Blind- und Scheinleistung bilden ein rechtwinkliges Dreieck: P = S·cos φ, Q = S·sin φ und S = V·I, wobei cos φ der Leistungsfaktor ist.
  2. Q = P·tan φ.
  3. φ = 45,57°.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Winkel

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Blindleistung

Q = P·tan φ = 35·1,02 = 35,71 kvar

Antwort

Q = 35,71 kvar
Beispiel 3Schwer
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Eine einphasige Last nimmt 45 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,65 induktiv aus einer Versorgung mit 240 V und 50 Hz auf. Ein parallel geschalteter Kondensator hebt den Leistungsfaktor auf 0,95. Bestimme den neuen Leiterstrom Inew.

P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

Gesucht: Inew (A)

Tipps anzeigen
  1. Wirk-, Blind- und Scheinleistung bilden ein rechtwinkliges Dreieck: P = S·cos φ, Q = S·sin φ und S = V·I, wobei cos φ der Leistungsfaktor ist.
  2. Der Kondensator liefert QC = P·(tan φ₁ − tan φ₂) und ändert P nicht.
  3. QC = 37,82 kvar.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung P ändert sich nicht; nur die aus dem Netz bezogene Blindleistung ändert sich.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,82 kvar

Neuer Leiterstrom

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A

Antwort

Inew = 197,4 A

Fragen und Antworten

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor: Worum geht es?

In einem Gleichstromkreis ist die Leistung einfach P = V·I. In einem Wechselstromkreis mit einer Spule oder einem Kondensator ist der Strom gegenüber der Spannung zeitlich um einen Winkel φ verschoben.

Wegen dieser Verschiebung fließt ein Teil der Energie nur zwischen Quelle und Last hin und her. Er leistet keine nutzbare Arbeit, aber die Leitungen müssen den Strom dafür trotzdem tragen.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor: Was wird geübt?
  • Leicht: P und Q einer Last
  • Mittel: Leiterstrom
  • Schwer: Blindleistungskompensation

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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