Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Routh-Schema und Polzahlen, Bereich von K für Stabilität, Wurzelortskurve.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Das charakteristische Polynom eines Regelkreises ist Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Stelle das Routh-Schema auf und bestimme, wie viele Wurzeln N von Q(s) in der rechten Halbebene liegen.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Exakte Antwort: eine ganze Zahl, ohne Rundung.

Nächste Aufgabe →
Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve kostenlos übenStabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtRouth-Schema und Polzahlen
  2. MittelBereich von K für Stabilität
  3. SchwerWurzelortskurve

So löst du Aufgaben zu Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve

  1. Schreibe das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf: den Nenner von 1 + K·G(s) = 0, ausmultipliziert.
  2. Trage die Koeffizienten abwechselnd in die ersten beiden Zeilen des Routh-Schemas ein und bilde die übrigen Zeilen.
  3. Zähle die Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte: Jeder entspricht einem Pol in der rechten Halbebene. Steht K im Schema, verlange, dass jeder Eintrag der ersten Spalte positiv bleibt.
  4. Markiere für eine Wurzelortskurve die Pole und Nullstellen, die Abschnitte der reellen Achse, die Asymptoten vom Schwerpunkt aus und die Verzweigungspunkte, an denen dK/ds = 0 gilt. Verwende K = 1/|G(s)| für die Verstärkung an einem Punkt.

Häufige Fehler

  • Zu schließen, ein System sei stabil, weil alle Koeffizienten positiv sind; bei einem Polynom dritter oder höherer Ordnung reicht das nicht.
  • Den konstanten Term der Strecke zu vergessen, wenn K addiert wird: Bei drei Polen abseits des Ursprungs ist der Eintrag der s⁰-Zeile abc + K.
  • Den Mittelpunkt zweier Pole als Verzweigungspunkt zu nehmen, obwohl ein dritter Pol oder eine Nullstelle in der Nähe liegt.
  • Die Polstellen ohne ihre Vorzeichen in die Schwerpunktformel einzusetzen.

Wichtige Formeln

Stabilität
alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms in der linken Halbebene
Routh-Schema, Eintrag der s¹-Zeile eines kubischen Polynoms
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Wurzeln in der rechten Halbebene
Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte
Kubisches Polynom s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stabil, wenn alle a > 0 und a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Charakteristische Gleichung
1 + K·G(s) = 0
Asymptoten
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Verzweigungs- und Einmündungspunkte
dK/ds = 0
Betragsbedingung
K = 1/|G(s)|
Abgangswinkel
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve von Grund auf lernen

Davor: Laplace-Transformationen, Blockschaltbilder

1Was Stabilität bedeutet

Ein System ist stabil, wenn jede beschränkte Eingangsgröße eine beschränkte Ausgangsgröße ergibt. Nach einer Störung beruhigt sich ein stabiles System; ein instabiles läuft weg oder schwingt mit wachsender Amplitude.

Das Verhalten wird von den Polen des geschlossenen Kreises bestimmt: den Wurzeln seines charakteristischen Polynoms. Ein Pol bei s = p fügt der Antwort einen Term ept hinzu.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Ein Pol mit negativem Realteil (linke Halbebene) ergibt einen Term, der abklingt.
  • Ein Pol mit positivem Realteil (rechte Halbebene) ergibt einen Term, der unbegrenzt wächst.
  • Das System ist also nur dann stabil, wenn alle Pole in der linken Halbebene liegen.
Selbsttest Ein geschlossener Kreis hat Pole bei −3, −1 + j2, −1 − j2 und +0,5. Ist er stabil?
  1. Ja, weil die komplexen Pole negative Realteile haben
  2. Ja, weil drei der vier Pole in der linken Halbebene liegen
  3. Nein, der Pol bei +0,5 macht ihn instabil
  4. Nein, weil komplexe Pole ein System immer instabil machen

Antwort: Nein, der Pol bei +0,5 macht ihn instabil. Ein Pol in der rechten Halbebene genügt: Sein Term e0,5t wächst. Komplexe Pole in der linken Halbebene sind unproblematisch; sie ergeben eine abklingende Schwingung.

2Das Routh-Schema

Bei einem Polynom dritter oder höherer Ordnung sind die Wurzeln von Hand schwer zu finden. Das Routh-Hurwitz-Kriterium sagt dir, wie viele Wurzeln in der rechten Halbebene liegen, ohne sie zu berechnen.

Schreibe die Koeffizienten abwechselnd in die ersten beiden Zeilen. Für s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Jede neue Zeile wird aus den beiden Zeilen darüber gebildet. Beim kubischen Polynom ist der Eintrag der s¹-Zeile:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte entspricht der Anzahl der Wurzeln in der rechten Halbebene.

Beispiel: s³ + 2s² + 3s + 10. Die erste Spalte ist 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Die Vorzeichen lauten +, +, −, +: zwei Wechsel, also liegen zwei Pole in der rechten Halbebene.

Selbsttest Was ist für s³ + 4s² + 5s + 2 der erste Eintrag der s¹-Zeile?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Antwort: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Wer nicht durch 4 teilt, erhält 18; wer die Produkte vertauscht, erhält −4,5.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises 1 + K·G(s) = 0 auf und multipliziere sie zu einem Polynom aus.
  2. Trage die Koeffizienten in die ersten beiden Zeilen des Routh-Schemas ein.
  3. Bilde die übrigen Zeilen; behalte K als Symbol bei, falls es vorkommt.
  4. Zähle die Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte, oder verlange, dass jeder Eintrag der ersten Spalte positiv ist, um den zulässigen Bereich von K zu finden.
  5. An der Grenzverstärkung ist die s¹-Zeile null. Die s²-Zeile liefert dann die Hilfsgleichung a·s² + b = 0, deren Wurzeln ±jω die Schwingfrequenz zeigen.

Schnelltest für ein kubisches Polynom s³ + a₂s² + a₁s + a₀: Es ist genau dann stabil, wenn alle Koeffizienten positiv sind und a₂·a₁ > a₀ gilt.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Der Kreis unten hat L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Für welche Verstärkungen K ist der geschlossene Kreis stabil, und mit welcher Frequenz schwingt er an der Grenze?

1

Den Kreis betrachten

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Die charakteristische Gleichung lautet 1 + L(s) = 0, also s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Ausmultiplizieren

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Das Routh-Schema aufstellen

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Der Eintrag der s¹-Zeile ist (6·8 − 1·K)/6.

4

Die erste Spalte positiv halten

Aus der s⁰-Zeile: K > 0. Aus der s¹-Zeile: 48 − K > 0, also K < 48.

5

Frequenz an der Grenze

Bei K = 48 ist die s¹-Zeile null. Die s²-Zeile ergibt 6s² + 48 = 0, also s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Antwort prüfen

Bei K = 48 ist das Polynom s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Seine Wurzeln sind −6 und ±j2,83, wie erwartet.

Antwort

Der Kreis ist stabil für 0 < K < 48; bei K = 48 schwingt er mit ω = 2,83 rad/s.

5Die Wurzelortskurve

Die Wurzelortskurve zeigt, wie sich die Pole des geschlossenen Kreises bewegen, wenn K von 0 bis ∞ wächst. Sie beginnt bei den Polen des offenen Kreises (×) und endet bei dessen Nullstellen (○) oder im Unendlichen.

  • Ein Punkt der reellen Achse liegt auf der Ortskurve, wenn die Anzahl der reellen Pole und Nullstellen rechts von ihm ungerade ist.
  • Die n − m Äste, die ins Unendliche laufen, folgen Asymptoten mit den Winkeln (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Die Asymptoten beginnen im Schwerpunkt σa = (Σ Pole − Σ Nullstellen)/(n − m).
  • Äste verlassen die reelle Achse oder münden dort ein, wo dK/ds = 0 gilt, mit K = −1/G(s) auf der Achse.
  • Die Verstärkung an jedem Punkt s der Ortskurve ist K = 1/|G(s)|, das Produkt der Abstände zu den Polen geteilt durch das zu den Nullstellen.

Für L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) ist der Schwerpunkt (0 − 2 − 4)/3 = −2, und die Asymptoten gehen unter 60°, 180° und 300° ab.

ReIm0−2−460°

Der Verzweigungspunkt zwischen 0 und −2 folgt aus dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, also s = −0,845.

Selbsttest Wo verlassen für L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) die beiden Äste die reelle Achse?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Antwort: s = −3. Bei zwei reellen Polen und ohne Nullstellen ist K = −(s + 1)(s + 5) genau in der Mitte zwischen ihnen am größten: dK/ds = −(2s + 6) = 0 ergibt s = −3.

6Häufige Fehler

  • Ein System stabil zu nennen, weil alle seine Koeffizienten positiv sind. Bei einem Polynom dritter oder höherer Ordnung braucht man zusätzlich den Routh-Test.
  • Den konstanten Term der Strecke zu vergessen: Für K/((s + a)(s + b)(s + c)) ist der Koeffizient von s⁰ gleich abc + K, nicht K.
  • Den Mittelpunkt zweier Pole als Verzweigungspunkt zu nehmen, obwohl ein dritter Pol oder eine Nullstelle die Ortskurve beeinflusst.
  • Die Vorzeichen im Schwerpunkt wegzulassen: Ein Faktor (s + 4) ist ein Pol bei s = −4.
Selbsttest Ist s³ + s² + 2s + 8 = 0 eine stabile charakteristische Gleichung?
  1. Ja: alle Koeffizienten sind positiv
  2. Ja: die Koeffizienten wechseln das Vorzeichen nicht
  3. Nein: a₂·a₁ = 2 ist kleiner als a₀ = 8
  4. Nein: ein Polynom dritter Ordnung ist nie stabil

Antwort: Nein: a₂·a₁ = 2 ist kleiner als a₀ = 8. Der Eintrag der s¹-Zeile ist (1·2 − 8)/1 = −6, also wechselt die erste Spalte 1, 1, −6, 8 zweimal das Vorzeichen: Zwei Pole liegen in der rechten Halbebene. Positive Koeffizienten reichen nicht.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: das Routh-Schema und Polzahlen. Du zählst die Pole eines Polynoms dritter oder vierter Ordnung in der rechten Halbebene, bestimmst einen Eintrag des Schemas, den Pol des geschlossenen Kreises bei einer Strecke erster Ordnung oder die Verstärkung, die ihn an einen vorgegebenen Punkt legt.
  • Mittel: der Bereich von K. Du bestimmst die größte stabile Verstärkung, die Schwingfrequenz bei dieser Verstärkung, die kleinste Verstärkung, die eine instabile Strecke stabilisiert, oder wie weit die Verstärkung steigen darf.
  • Schwer: die Wurzelortskurve. Du bestimmst den Schwerpunkt der Asymptoten, den Schnittpunkt mit der imaginären Achse, Verzweigungs- und Einmündungspunkte, den Abgangswinkel von einem komplexen Pol oder die Verstärkung an einem gegebenen Punkt oder Dämpfungsgrad.

Schreibe für eine Verstärkung bei einem Dämpfungsgrad das charakteristische Polynom auf und vergleiche es mit s² + 2ζωns + ωn².

Lerne Schritt für Schritt in der AppLerne Schritt für Schritt in der App

Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
R(s)+K1s + 10C(s)−

Ein Proportionalregler mit der Verstärkung K regelt die Strecke G(s) = 1/(s + 10) in einem Regelkreis mit Einheitsrückführung. Bestimme die Verstärkung K, die den Pol des geschlossenen Kreises auf s = −10,5 legt.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Gesucht: K

Tipps anzeigen
  1. Der Pol des geschlossenen Kreises ist die Wurzel von s + 10 + 1K = 0.
  2. Setze s = −10,5 in diese Gleichung ein.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Routh-Hurwitz-Kriterium: Ein lineares System ist stabil, wenn alle Wurzeln seines charakteristischen Polynoms in der linken Hälfte der s-Ebene liegen. Schreibe die Koeffizienten abwechselnd in die ersten beiden Zeilen des Routh-Schemas. Jeder Eintrag einer neuen Zeile ergibt sich aus den beiden Zeilen darüber; für ein kubisches Polynom a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ist der Eintrag der s¹-Zeile b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte entspricht der Anzahl der Wurzeln in der rechten Halbebene. Mit einer Verstärkung K in den Koeffizienten müssen alle Einträge der ersten Spalte positiv bleiben: Die Verstärkung, die den Eintrag der s¹-Zeile null macht, ist die Stabilitätsgrenze, und die s²-Zeile liefert dann die Frequenz der Dauerschwingung.

Charakteristische Gleichung

s + 10 + 1K = 0

Geforderte Verstärkung

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Antwort

K = 0,5
Beispiel 2Mittel
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Die Strecke G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) hat einen instabilen Pol bei s = 4. Ein Proportionalregler mit der Verstärkung K schließt einen Regelkreis mit Einheitsrückführung um sie. Bestimme die kleinste Verstärkung Kmin, die den geschlossenen Kreis stabil macht.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Gesucht: Kmin

Tipps anzeigen
  1. Das charakteristische Polynom ist (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Ein Polynom zweiter Ordnung ist stabil, wenn beide Koeffizienten positiv sind.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Routh-Hurwitz-Kriterium: Ein lineares System ist stabil, wenn alle Wurzeln seines charakteristischen Polynoms in der linken Hälfte der s-Ebene liegen. Schreibe die Koeffizienten abwechselnd in die ersten beiden Zeilen des Routh-Schemas. Jeder Eintrag einer neuen Zeile ergibt sich aus den beiden Zeilen darüber; für ein kubisches Polynom a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ist der Eintrag der s¹-Zeile b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte entspricht der Anzahl der Wurzeln in der rechten Halbebene. Mit einer Verstärkung K in den Koeffizienten müssen alle Einträge der ersten Spalte positiv bleiben: Die Verstärkung, die den Eintrag der s¹-Zeile null macht, ist die Stabilitätsgrenze, und die s²-Zeile liefert dann die Frequenz der Dauerschwingung.

Charakteristisches Polynom

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Bedingungen

Für s² + c₁s + c₀ liegen alle Wurzeln genau dann in der linken Halbebene, wenn c₁ > 0 und c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Antwort

Kmin = 3
Beispiel 3Schwer
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Die Wurzelortskurve von L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) verlässt die reelle Achse zwischen s = 0 und s = −4. Bestimme den Verzweigungspunkt sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Gesucht: sb

Tipps anzeigen
  1. Auf der reellen Achse ist K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Setze dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Nimm die Wurzel, die zwischen 0 und −4 liegt.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wurzelortskurve: Wenn die Verstärkung K von 0 bis ∞ wächst, wandern die Pole des geschlossenen Regelkreises, also die Wurzeln von 1 + K·G(s) = 0, von den Polen des offenen Kreises zu dessen Nullstellen oder ins Unendliche. Ein Punkt der reellen Achse gehört zur Ortskurve, wenn die Anzahl der reellen Pole und Nullstellen rechts von ihm ungerade ist. Die n − m Äste, die ins Unendliche laufen, folgen Asymptoten mit den Winkeln (2q + 1)·180°/(n − m), die im Schwerpunkt σₐ = (Σ Pole − Σ Nullstellen)/(n − m) beginnen. Äste verlassen die reelle Achse oder münden dort ein, wo dK/ds = 0 gilt. Die Winkelbedingung ∠G(s) = 180° legt die Form fest, und die Betragsbedingung K = 1/|G(s)| liefert die Verstärkung an jedem Punkt der Ortskurve.

Verstärkung entlang der reellen Achse

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Stationäre Punkte

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Wähle den Punkt auf der Ortskurve

Die Ortskurve liegt auf der reellen Achse zwischen 0 und −4; die andere Wurzel liegt nicht auf ihr.

sb = −1,761

Antwort

sb = −1,761

Fragen und Antworten

Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve: Worum geht es?

Ein System ist stabil, wenn jede beschränkte Eingangsgröße eine beschränkte Ausgangsgröße ergibt. Nach einer Störung beruhigt sich ein stabiles System; ein instabiles läuft weg oder schwingt mit wachsender Amplitude.

Das Verhalten wird von den Polen des geschlossenen Kreises bestimmt: den Wurzeln seines charakteristischen Polynoms. Ein Pol bei s = p fügt der Antwort einen Term ept hinzu.

Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Schreibe das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises auf: den Nenner von 1 + K·G(s) = 0, ausmultipliziert.
  2. Trage die Koeffizienten abwechselnd in die ersten beiden Zeilen des Routh-Schemas ein und bilde die übrigen Zeilen.
  3. Zähle die Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte: Jeder entspricht einem Pol in der rechten Halbebene. Steht K im Schema, verlange, dass jeder Eintrag der ersten Spalte positiv bleibt.
  4. Markiere für eine Wurzelortskurve die Pole und Nullstellen, die Abschnitte der reellen Achse, die Asymptoten vom Schwerpunkt aus und die Verzweigungspunkte, an denen dK/ds = 0 gilt. Verwende K = 1/|G(s)| für die Verstärkung an einem Punkt.
Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Zu schließen, ein System sei stabil, weil alle Koeffizienten positiv sind; bei einem Polynom dritter oder höherer Ordnung reicht das nicht.
  • Den konstanten Term der Strecke zu vergessen, wenn K addiert wird: Bei drei Polen abseits des Ursprungs ist der Eintrag der s⁰-Zeile abc + K.
  • Den Mittelpunkt zweier Pole als Verzweigungspunkt zu nehmen, obwohl ein dritter Pol oder eine Nullstelle in der Nähe liegt.
  • Die Polstellen ohne ihre Vorzeichen in die Schwerpunktformel einzusetzen.
Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve: Was wird geübt?
  • Leicht: Routh-Schema und Polzahlen
  • Mittel: Bereich von K für Stabilität
  • Schwer: Wurzelortskurve

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

Themen davor und danach

Zuerst lernen

Laplace-TransformationenBlockschaltbilder

Rechner

Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium-Rechner

Kurse mit diesem Thema

Regelungstechnik 1Regelungstechnik 2: ReglerentwurfÜbungsaufgaben für die Prüfung FE Electrical and Computer

Weitere Themen in Elektrotechnik

Reihen- und ParallelschaltungÜberlagerungssatzThévenin und NortonKnotenpotenzialverfahrenMaschenstromverfahrenRC- und RL-AusgleichsvorgängeWechselstrom: Impedanz und ZeigerWechselstromleistung und LeistungsfaktorLC-Resonanz, Gütefaktor und BandbreiteDrehstromleistungTransformatorenGleichstrommotorenOperationsverstärkerDioden und TransistorenGleichspannungswandlerDigitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & FlipflopsWheatstone-Brücke und DehnungsmessstreifenMessdatenerfassung und AbtastungLaplace-TransformationenBlockschaltbilderSprungantwortBode-Diagramme und ReservenStationärer Fehler und PID-RegelungFaltung und LTI-Systeme

Arbeitsblatt zum Ausdrucken

Arbeitsblatt Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve mit Lösungen
Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve kostenlos übenStabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.