Regelungstechnik 2: Reglerentwurf: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Sprungantwort: Ein System erster Ordnung G(s) = K/(τs + 1) beantwortet einen Sprung der Größe U mit y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): Es erreicht nach einer Zeitkonstante τ 63,2 % des Endwerts K·U und nach 4τ 98 %. Ein System zweiter Ordnung G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) hat die Pole s = −ζωₙ ± jω_d mit ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Für 0 < ζ < 1 schwingt die Sprungantwort über: prozentuales Überschwingen %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, Überschwingzeit (Scheitelzeit) t_p = π/ω_d und die 2-%-Ausregelzeit t_s ≈ 4/(ζωₙ). Vergleiche den Nenner mit s² + 2ζωₙs + ωₙ², um ωₙ und ζ abzulesen. Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System gilt ωₙ = √(k/m) und ζ = c/(2√(km)); für einen Reihen-RLC-Kreis gilt ωₙ = 1/√(LC) und ζ = (R/2)·√(C/L).

Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ω_c = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und f_c = ω_c/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) und φ = −atan(ω/ω_c). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jω_c). Phasendurchtrittsfrequenz ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.