Bode-Diagramm-Rechner (Amplituden- und Phasenreserve)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| ω (rad/s) | |G(jω)| | |G| (dB) | Phase (°) |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 99,99 | 40 | −90,86 |
| 0,02154 | 46,4 | 33,33 | −91,85 |
| 0,04642 | 21,52 | 26,65 | −93,99 |
| 0,1 | 9,938 | 19,95 | −98,57 |
| 0,2154 | 4,511 | 13,09 | −108,3 |
| 0,4642 | 1,904 | 5,591 | −128 |
| 1 | 0,6325 | −3,979 | −161,6 |
| 2,154 | 0,133 | −17,53 | −202,2 |
| 4,642 | 0,01796 | −34,92 | −234,5 |
| 10 | 0,001951 | −54,19 | −253 |
| 21,54 | 0,0001989 | −74,03 | −262 |
| 46,42 | 1,998 × 10⁻⁵ | −93,99 | −266,3 |
| 100 | 2 × 10⁻⁶ | −114 | −268,3 |
Zeichne das Bode-Diagramm einer Übertragungsfunktion G(s), die als Koeffizienten von Zähler und Nenner eingegeben wird. Der Rechner trägt den Betrag in dB und die Phase über der Frequenz auf, listet sie in einer Tabelle auf und bestimmt die Amplitudendurchtrittsfrequenz (|G| = 0 dB), die Phasendurchtrittsfrequenz (Phase = −180°), die Amplitudenreserve und die Phasenreserve.
Bode-Diagramm
Schritt-für-Schritt-Lösung
Frequenzgang
Amplitudendurchtritt: |G(jω)| = 1 (0 dB)
Phasendurchtritt: Phase = −180°
Stabilität
So bestimmst du Amplituden- und Phasenreserve aus einem Bode-Diagramm
- Setze s = jω ein und berechne |G(jω)| in dB (20·log₁₀|G|) und die Phase arg G(jω) über einen Frequenzbereich.
- Amplitudendurchtritt ω_gc: dort, wo |G(jω)| = 1, also 0 dB. Die Phasenreserve ist PM = 180° + Phase bei ω_gc.
- Phasendurchtritt ω_pc: dort, wo die Phase −180° beträgt. Die Amplitudenreserve ist GM = −|G(jω_pc)| in dB.
- Bei einem offenen Regelkreis ohne Pole in der rechten Halbebene ist der geschlossene Regelkreis stabil, wenn beide Reserven positiv sind.
- Typische Auslegungsziele sind eine Phasenreserve von 45° bis 60° und eine Amplitudenreserve von mindestens 6 dB.
Fragen und Antworten
Wie gebe ich G(s) ein?
Tippe die Koeffizienten von Zähler und Nenner von der höchsten Potenz von s abwärts ein, mit Nullen für fehlende Potenzen. 2/(s(s + 1)(s + 2)) = 2/(s³ + 3s² + 2s) ist Zähler 2 und Nenner 1 3 2 0.
Warum ist die Phase nicht auf −180° … 180° beschränkt?
Die Phase wird entfaltet: Sie ändert sich stetig mit der Frequenz, sodass ein System mit drei Polen bis auf −270° fällt. Der Durchtritt bei −180° wird auf dieser stetigen Kurve gefunden.
Was ist, wenn es keinen Durchtritt gibt?
Schneidet |G| nie 0 dB, ist die Phasenreserve unendlich; erreicht die Phase nie −180°, ist die Amplitudenreserve unendlich. Ein System erster oder zweiter Ordnung ohne Totzeit hat zum Beispiel eine unendliche Amplitudenreserve.
Wann können die Reserven irreführend sein?
Bei offenen Regelkreisen mit Polen oder Nullstellen in der rechten Halbebene oder mit mehreren Durchtritten entscheiden die Reserven allein nicht über die Stabilität; verwende das Nyquist-Kriterium. Bei mehreren Durchtritten meldet der Rechner die kleinsten Reserven.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Der Frequenzgang wird direkt aus der komplexen Übertragungsfunktion auf einem feinen logarithmischen Raster ausgewertet, und die Durchtritte werden durch Bisektion verfeinert, sodass Frequenzen und Reserven auf viele Stellen genau sind.
Übe es selbst
Bode-Diagramme und Reserven üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.