Signale und Systeme: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Kontinuierliche und diskrete Signale, die lineare zeitinvariante Systeme durchlaufen: Faltung, Impuls- und Sprungantworten, Laplace-Transformation, Frequenzgang und Fourier-Reihen. In Prüfungen mischen sich Skizzen mit kurzen Rechnungen.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Faltung und LTI-Systemediskrete Faltung · kontinuierliche Faltung · Impulsantwort und Fourier-ReiheRechenaufgaben
  2. Laplace-TransformationenTabellenpaare und Wertesätze · Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung · Differentialgleichungen und ÜbertragungsfunktionenRechenaufgaben
  3. SprungantwortSysteme erster Ordnung · Parameter zweiter Ordnung · Physikalische Systeme und AuslegungRechenaufgaben
  4. Bode-Diagramme und ReservenFilter und Asymptoten · Betrag und Phase · StabilitätsreservenRechenaufgaben

Prüfungstipps für Signale und Systeme

  • Skizziere die Signale, bevor du faltest: Die Überlappung zeigt dir die Grenzen der Summe oder des Integrals.
  • Die Ausgangsgröße eines LTI-Systems beginnt bei der Summe der Anfangszeiten und endet bei der Summe der Endzeiten.
  • Eine Sinusschwingung kommt mit derselben Frequenz heraus, skaliert mit |H(jω)| und verschoben um ∠H(jω).

Beispielaufgaben

Faltung und LTI-SystemeLeicht
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Die Folgen x[n] = {4, −3, −2} und h[n] = {3, 1} beginnen beide bei n = 0. Bestimme den Abtastwert y[1] der Faltung y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Gesucht: y[1]

Tipps anzeigen
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Für n = 1 sind die Summanden k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Diskrete Faltung: Die Ausgangsgröße eines linearen zeitinvarianten Systems ist y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: Spiegle h, verschiebe es um n, multipliziere Abtastwert für Abtastwert mit x und addiere. Hat x genau Lx Abtastwerte ab nx und h genau Lh Abtastwerte ab nh, dann hat y genau Lx + Lh − 1 Abtastwerte ab nx + nh. Die Summe aller Abtastwerte von y ist gleich (Σx)·(Σh). Ein FIR-Filter y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … ist eine Faltung mit h[n] = bn.

Summanden der Summe

Nur die k, für die sowohl x[k] als auch h[n − k] existieren, tragen bei.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Addieren

y[1] = −5

Antwort

y[1] = −5
Laplace-TransformationenMittel
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Ihre Rücktransformierte hat die Form f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Bestimme den Koeffizienten A mit der Partialbruchzerlegung.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Gesucht: A

Tipps anzeigen
  1. Zerlege den Nenner in Faktoren: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Zuhaltemethode: A = [(s + 6)·F(s)] bei s = −6.
  3. Bei s = −6: Zähler 16, anderer Faktor 2.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Laplace-Transformation: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt macht aus Ableitungen Multiplikationen mit s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standardpaare: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), und eine Verschiebung s → s + σ multipliziert die Zeitfunktion mit e−σt. Um eine rationale Funktion F(s) zurückzutransformieren, zerlege sie in Partialbrüche: Das Residuum eines einfachen Pols p ist A = [(s − p)·F(s)] bei s = p. Endwertsatz: f(∞) = lims→0 s·F(s), gültig nur, wenn alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen. Anfangswertsatz: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Nenner in Faktoren zerlegen

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Zuhaltemethode

Multipliziere mit (s + 6) und setze s = −6: Der B-Term verschwindet.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Antwort

A = 8
(B = −7, also f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für die inverse Laplace-Transformation (Partialbruchzerlegung)Dezibel-Rechner (dB, dBm und Schallpegel)Bode-Diagramm-Rechner (Amplituden- und Phasenreserve)Laplace-Transformation-Rechner

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